数学的起源1、1 数与形概念的产生一、数与记数法 § 1．数——由人类智慧所创造，可用来数（shǔ）各种集合中的对象的个数，它与对象的特征无关，也不依赖于表示它所采用的符号§ 数是可以用来进行运算，并能同客观事物相联系的符号系统《数学史》数学起源 §2．人类对数的意识§ 1）建立一一对应关系，产生数的概念.§ 2）数（shǔ）数，解决原始计数，促使数的概念的萌发.又通过记数而产生数字，进一步完善数的概念§结绳记事 结绳记数§狼骨《数学史》数学起源 数学的起源二、古代主要的记数系统§古埃及的象形数字§巴比伦的楔形数字§中国的甲骨文数字§玛雅数字《数学史》数学起源 玛雅 §玛雅文明是南美洲古代印第安人文明的杰出代表，以印第安玛雅人而得名主要分布在墨西哥南部、危地马拉、巴西、伯利兹以及洪都拉斯和萨尔瓦多西部地区§玛雅文明在物质文化、科学艺术等方面有很大成就§玛雅文明约形成于公元前1500年，公元前400年左右建立早期奴隶制国家，公元3～9世纪为繁盛期，15世纪衰落，最后为西班牙殖民者摧毁，此后长期湮没在热带丛林中。
《数学史》数学起源 玛雅金字塔 《数学史》数学起源 玛雅数字 《数学史》数学起源 §罗马数字是最早的数字表示方式，比阿拉伯数字早2000多年起源于罗马§如今我们最常见的罗马数字就是钟表的表盘符号：I ， II ， III ，IV ，V ，VI ，VII ，VIII ，IX ，X ，XI ，XII 《数学史》数学起源 《数学史》数学起源 数学的起源三、历史上数的进制问题§主要与人们生产生活中对应的匹配有关§（1）十进制，由于人的手指的使用如英语中的名称：one,two,…§（2）五进制，由于手的缘故如现在一些南美的部落§（3）十二进制，由于与量度有关，可能由于一年大约有12个朔望月，也可能由于12能被许多整数整除如1英尺是12英寸，钟有12个小时，古代的一英磅是12盎斯，1先令是12便士，一打是12个《数学史》数学起源 数学的起源§（4）二十进制，可能由于人类手脚合起来的缘故如玛雅人§（5）六十进制，古代巴比伦人使用过《数学史》数学起源 数学的起源四、形与几何知识的积累§产生于人类改造客观世界的结果，并与当时宗教有着密切的联系.§1. 宗教绘画为图形几何化创造条件.§2. 生产实践加深和扩大了对几何图形的认识，形成抽象意义的几何图形.量是在人们生产实践中不断地量（liáng）出来的结果.《数学史》数学起源 古老的埃及 《数学史》数学起源 古埃及样式花纹图案矢量素材《数学史》数学起源 1、2 河谷文明与早期数学一、埃及数学§ 埃及是数学古国，被人们认为是数学产生的最早国家之一，因此，在研究数学历史的时候，必须提及埃及的数学．§ 对埃及数学的产生，曾有过各种不同的看法，例如，希腊的逻辑学家亚里士多德(Aristotle，公元前384---约前322)在其《形而上学》一书中指出“之所以在埃及能够产生数学，是受到上帝的恩赐．”对此，恩格斯在《反杜林论》中明确指出：“数学是人的需要中产生的，是从丈量土地和测量容积，从计算时间和制造器皿产生的．”事实上，埃及的数学产生，符合恩格斯的精辟阐述．《数学史》数学起源 § 古埃及人创造出了几套文字，其中一套是象形文字．“象形文字”这个词源于希腊文，意思是神圣的文字．直到基督降生的年代，埃及在纪念碑文和器皿上还刻有象形字．自公元前2500年左右起，开始使用象形文字的缩写，称作僧侣文(hieraticwriting)．《数学史》数学起源 象形文字记号§1、2、3、4、5§单位分数§分数分解《数学史》数学起源 研究埃及数学的依据§ § § 《数学史》数学起源 §埃及最古老的文字是象形文字，后来演变成一种较简单的书写体，通常叫僧侣文。
除了这两卷纸草书外，还有一些写在羊皮上或用象形文字刻在石碑上和木头上的史料，藏于世界各地两卷纸草书的年代在公元前1850～前1650年之间，相当于中国的夏代单位分数之和： 《数学史》数学起源 § 莱因德纸草书用很大的篇幅来记载2/N(N从5到101)型的分数分解成单位分数的结果为什么要这样分解以及用什么方法去分解，到现在还是一个谜这种繁杂的分数算法实际上阻碍了算术的进一步发展§ 纸草书还给出圆面积的计算方法：将直径减去它的1/9之后再平方计算的结果相当于用3.1605作为圆周率，不过他们并没有圆周率这个概念根据莫斯科纸草书，推测他们也许知道正四棱台体积的计算方法总之，古代埃及人积累了一定的实践经验，但还没有上升为系统的理论《数学史》数学起源 §埃及的数学原典就是由象形文字书写而成，其中，对考察古埃及数学有重要价值的是“莱因德纸草书”，这部 纸草书是在埃及古都---底比斯(Thebes)的废墟中发现的．1858年由莱因德购买，尔后，遗赠给伦敦大英博物馆．因此， 叫做莱因德纸草书．这种纸草书长约550厘米、宽33厘米，摹本出版于1898年．《数学史》数学起源 记载着古埃及数学的另一部古典书籍是莫斯科纸草书，此书是由俄罗斯收藏者于1893年获得的．约20年后，即1912年转藏于莫斯科图书馆．这部纸草书长约550厘米、宽8厘米，共记载着25个问题．由于卷首遗失，书名无法考证． 俄罗斯历史学家古拉叶夫(1868---1920)于1917年和斯特卢威1891---1964)于1930年对莫斯科纸草书进行了研究，后-者完成了出版工作，对进一步研究埃及的数学提供了方便．《数学史》数学起源 § 两部纸草书中的问题，大部分来自现实生活，从这两部纸草书中可以看出埃及数学有如下几个突出的成就：§☆☆（1）单位分数的研究§ 从纸草书中的记载可以看出埃及人对单位分数研究的较为透彻，且被广泛使用，这成为埃及数学一个重要而有趣的特色。
《数学史》数学起源 §☆（2） 加法为基本算术运算 埃及人最基本的算术运算是加法运算，乘法运算是通过逐次加倍的程序来实现的，在除法运算中，埃及人将加倍程序倒过来执行，即除数取代了被除数的地位而被拿来逐次加倍§☆☆（3） 尼罗河泛滥后的土地重新测量给埃及人带来了赠礼——几何学 在纸草书中可以找到正方形，矩形，等腰梯形等图形面积的正确公式 P21§☆☆（4） 埃及人在体积计算中达到了很高水平，这表现在对金字塔的建造及计算方面《数学史》数学起源 胡夫金字塔《数学史》数学起源 所有这些都显示了埃及数学是实用数学，他们在命题证明方面几乎没有什么进展，不过他们常常对问题的数值结果加以验证《数学史》数学起源 § 埃及文明在历代王朝更迭中表现出一种静止的特性§莱茵德纸草书和莫斯科纸草书中的数学，就像祖传家宝一样世代相传，在数千年漫长的岁月中很少变化§公元前4世纪希腊人征服埃及以后，这一古老的数学文化完全被蒸蒸日上的希腊数学所取代《数学史》数学起源 埃及§（1）算术§关于加减法，主要用叠加法，即增加或减少一些记号.§关于乘除法，将其化成叠加步骤来进行. 《数学史》数学起源 埃及§（2）代数§主要来源于一些实际问题，如考虑面包的成分和啤酒的浓度，牛和家禽的饲料混和比例及谷物贮藏，大部分是用一元一次方程来解决.“已知‘堆’与七分之一‘堆’相加得19，求‘堆’的值”.§其方法相当于现代的试位法.《数学史》数学起源 美索不达米亚 《数学史》数学起源 美索不达米亚《数学史》数学起源 美索不达米亚（1）算术§主要体现在商业数学与农用数学，显示出古代人们高水平的计算能力.§关于加减法，采取加上或减去某些基本记号.§关于乘法，主要是整数的乘法，相当于用乘法对加法的分配律.§如乘以37，先是乘以30，另外再乘以7，然后，把结果相加.§关于除法，也主要是整数除以整数的运算，采用乘以除数的倒数的方法.由此出现倒数表.《数学史》数学起源 美索不达米亚§关于开方，表现相当高程序化的算法，即二分法，并将其制成数表.§例如，在耶鲁大学收藏的一块古巴比伦泥版载有 的近似值.《数学史》数学起源 美索不达米亚§代数§主要体现在用文字叙述的代数学，有相当于代入法和配方法来解二次方程，还讨论了某些三次方程和双二次方程.§例如，“已知依几布姆比依古姆大7，问依几布姆和依古姆各为多少？”§卢佛尔博物馆收藏的一块泥版发现有两个级数问题.《数学史》数学起源 美索不达米亚§普林顿322号《数学史》数学起源 美索不达米亚§普林顿322号《数学史》数学起源 美索不达米亚§普林顿322号（六十进制）《数学史》数学起源 美索不达米亚§（1）相当于给出了毕达哥拉斯三元数组，即§（2）相当于给出了正割的平方表.《数学史》数学起源 《数学史》数学起源 下面介绍两位大家比较熟悉的数学家： 柯西 和 欧拉。
《数学史》数学起源 柯西§柯西（Cauchy，Augustin Louis 1789-1857），出生生于巴黎，在数学领域，有很高的建树和造诣很多数学的定理和公式也都以他的名字来称呼，如柯西不等式、柯西积分公式...他在纯数学和应用数学的功力是相当深厚的，在数学写作上，他是被认为在数量上仅次于欧拉的人，他一生一共著作了789篇论文和几本书 《数学史》数学起源 §柯西在临终之前所说的一句话： 人总是要死的，但是他们的业绩永存《数学史》数学起源 欧拉 §欧拉，全名是莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler，1707-1783），1707年出生在瑞士的巴塞尔城18世纪最优秀的数学家，也是历史上最伟大的数学家之一，被称为“分析的化身”欧拉是18世纪科学界的代表人物，是那个时代的巨人他是历来最有才华、最博学的人物之一，也是历史上最多产的一位数学家 《数学史》数学起源 欧拉§ 欧拉渊博的知识，无穷无尽的创作精力和空前丰富的著作，都是令人惊叹不已的！他从19岁开始发表论文，直到76岁，半个多世纪写下了浩如烟海的书籍和论文据统计他那不倦的一生，共写下了856篇论文，专著32部，其中分析、代数、数论占40%，几何占18%，物理和力学占28%，天文学占11%，弹道学、航海学、建筑学等占3%，彼得堡科学院为了整理他的著作，足足忙碌了四十七年。
§ 到今几乎每一个数学领域都可以看到欧拉的名字，从初等几何的欧拉线，多面体的欧拉定理，立体解析几何的欧拉变换公式，四次方程的欧拉解法到数论中的欧拉函数，微分方程的欧拉方程，级数论的欧拉常数，变分学的欧拉方程，复变函数的欧拉公式等等数不胜数欧拉的兴趣十分广泛，他研究过天文学、物理学、航海学、建筑学、地质学、化学等等，在这些领域，欧拉也留下了大量的论文、著作《数学史》数学起源 欧拉§1735年，过度的工作使他得了眼病，并且不幸右眼失明了，这时他才28岁 1741年欧拉应普鲁士彼德烈大帝的邀请，到柏林担任科学院物理数学所所长，直到1766年，后来在沙皇喀德林二世的诚恳敦聘下重回彼得堡，不料没有多久，左眼视力衰退，最后完全失明不幸的事情接踵而来，1771年彼得堡的大火灾殃及欧拉住宅，带病而失明的64岁的欧拉被围困在大火中，虽然他被别人从火海中救了出来，但他的书房和大量研究成果全部化为灰烬了《数学史》数学起源 欧拉§沉重的打击，仍然没有使欧拉倒下，他发誓要把损失夺回来欧拉完全失明以后，虽然生活在黑暗中，但仍然以惊人的毅力与黑暗搏斗，欧拉的记忆力也确实罕见，他能够完整地背诵出几十年前的笔记内容，数学公式当然更能背诵如流。
欧拉总是把推理过程想得很细，然后口授，由他的长子记录他用这种方法又发表了论文４００多篇以及多部专著，这几乎占他全部著作的半数以上直到逝世，竟达17年之久《数学史》数学起源 欧拉§欧拉不但重视教育，而且重视人才当时法国的拉格朗日只有19岁，而欧拉已48岁拉格朗日与欧拉通信讨论"等周问题"，欧拉也在研究这个问题后来拉格朗日获得成果，欧拉就压下自己的论文，让拉格朗日首先发表，使他一举成名《数学史》数学起源 。