第四章 拉普拉斯变换 与S域分析,第一节 引言,一、拉氏变换的优点,把线性时不变系统的时域模型简便地进行变换，经求解再还原为时间函数拉氏变换是求解常系数线性微分方程的工具应用拉氏变换：（1）求解方程得到简化且初始条件自动包含在变换式里2）拉氏变换将“微分”变换成“乘法”，“积分”变换成“除法”即将微分方程变成代数方程拉氏变换将时域中卷积运算变换成“乘法”运算利用系统函数零点、极点分布分析系统的规律第二节 拉氏变换的定义、收敛域,一、单边拉氏变换定义,二、拉氏变换的物理意义,拉氏变换是将时间函数f(t)变换为复变函数F(s)，或作相反变换时域(t)变量t是实数，复频域F(s)变量s是复数变量s又称“复频率”拉氏变换建立了时域与复频域(s域）之间的联系看出：将频率变换为复频率s,且只能描述振荡的重复频率，而s不仅能给出重复频率，还给出振荡幅度的增长速率或衰减速率三、从算子法的概念说明拉氏变换的定义,四、拉氏变换收敛域,拉氏变换收敛域举例,五、 常用信号的拉氏变换,常用信号的拉氏变换,常用信号的拉氏变换,常用信号的拉氏变换,作业,P2504-1,第三节 拉氏变换的基本性质,一、 拉氏变换的基本性质,拉氏变换的基本性质,拉氏变换的基本性质,拉氏变换的基本性质,拉氏变换的基本性质,作业,P2504-2，4-3，4-5,第四节 拉氏逆变换,一、系统的s域分析方法,（1）部分分式展开法,（2）长除法,用拉氏变换方法分析系统时，最后还要将象函数进行拉氏反（逆）变换。
求解拉氏逆变换的方法有：,（3）留数法,二、部分分式展开法,部分分式展开法,部分分式展开法,部分分式展开法,部分分式展开法,部分分式展开法,部分分式展开法,部分分式展开法,三、留数法,留数法,举例4.1:,举例4.1:,举例4.1:,举例4.2:,举例4.2:,举例4.2:,举例4.3:,举例4.3:,举例4.3:,举例4.4:,举例4.4:,举例4.4:,作业,P2514-4,第五节 拉氏变换法求解常微分方程,一、 拉氏变换求解微分方程,拉氏变换求解微分方程,举例4.5:,举例4.5:,举例4.5:,二、 S域电路分析,S域电路分析,S域电路分析,举例4.16:,举例4.5B:,举例4.5B:,举例4.5B:,举例4.5B:,第六节 系统函数 （网络函数）H(s),一、 系统函数定义,二、系统函数求响应,系统函数求响应,系统函数求响应,作业,P2544-18,第七节 由系统函数零、极点分布决定 时域特性,一、系统函数的零、极点分布,H(s)零、极点分布与h(t)的对应,H(s)零、极点分布与h(t)的对应,H(s)零、极点分布与h(t)的对应,H(s)零、极点分布与h(t)的对应,H(s)零、极点分布与h(t)的对应图解,（1）极点在原点：为单极点，则系统冲激响应为阶跃函数；为多重极点，则系统为增长函数，为不稳定系统。
H(s)零、极点分布与h(t)的对应图解,（2）极点在s的左半平面：系统为衰减系统，为稳定系统H(s)零、极点分布与h(t)的对应图解,（3）极点在s的虚轴上：单极点（一定为一对共轭极点），则系统为振荡系统，则系统为临界稳定系统若系统为多重极点，系统为增长系统，则系统为不稳定系统H(s)零、极点分布与h(t)的对应图解,(4)极点在s的右半平面：系统为增长函数，则系统为不稳定系统H(s)零、极点分布与h(t)的对应,二、 H(s)、E(s)极点分布与自由响应、强迫响应特征的对应,H(s)极点与系统响应的对应,H(s)零、极点分布与系统响应的对应,H(s)零、极点分布与系统响应的对应,举例4.19:,举例4.19:,举例4.19:,举例4.19:,举例4.19:,作业,P2564-27,4-30,4-31,第八节 由系统函数零、极点分布决定频响特性,一、H(s)零、极点分布与频响特性的对应,H(s)零、极点分布与频响特性的对应,,系统正弦稳态响应,系统频响特性,二、举例-滤波网络的频响特性,滤波网络的频响特性,滤波网络的频响特性,滤波网络的频响特性,三、S平面几何分析法,S平面几何分析,S平面几何分析,当w沿虚轴移动时，各复数因子（矢量）的模和辐角都随之改变，于是就得出幅频特性曲线和相频特性曲线。
这种方法称为“s平面几何分析法”,S平面几何分析,讨论H(s)极点位于s平面实轴的情况，包括一阶与二阶系统S平面几何分析,举例4.7:,举例4.7:,举例4.7:,举例4.7:,此点为高通滤波器的截止频率点举例4.7:,举例4.7:,举例4.22:,举例4.22:,举例4.12:,举例4.12:,举例4.12:,举例4.12:,举例4.12:,举例4.12:,举例4.12:,第九节 二阶谐振系统的s平面分析,一、 二阶谐振系统的s平面分析,二阶谐振系统的s平面分析,二阶谐振系统的s平面分析,二阶谐振系统的s平面分析,二阶谐振系统的s平面分析,二阶谐振系统的s平面分析,3) 具共轭极点和零点的谐振系统:,二阶谐振系统的s平面分析,二阶谐振系统的s平面分析,二阶谐振系统的s平面分析,作业,P2594-37，4-38，4-39,第十节 全通函数与最小相移函数的零、极点分布,一、全通函数的定义,全通函数：一个系统函数，其： 极点位于左半平面， 零点位于右半平面， 且零点与极点对于jw轴互为镜像，那么，此系统函数称为全通函数此系统称为全通系统或全通网络。
二、全通函数的特性,全通：即指它的幅频特性为常数，对于全部频率的正弦信号都能按同样的幅度传输系数通过例4-23：,系统函数如下,其零、极点分布互为镜像因此为一个全通网络其频率特性：,三、最小相移网络与非最小相移网络,问题提出：为使系统稳定，必须限制网络函数的极点位于左半平面，而其零点落于s平面的右半或左半平面对系统特性有何影响？,结论：零点落于s平面的右半平面的图形，其相移的绝对值比较大，而零点落在左半平面的图形其相移比较小最小相移网络与非最小相移网络,最小相移函数：零点全部位于左半平面或jw轴的系统函数称之该系统称为“最小相移系统”非最小相移函数：系统函数在右半平面有一个或多个零点，那么，就称为“非最小相移函数”该系统称为“非最小相移系统”非最小相移函数=最小相移函数全通函数即：非最小相移系统=最小相移系统与全通系统的级联作业,P2614-41，4-42,第十一节 线性系统的稳定性,一、 线性系统的稳定性,线性系统的稳定性,例4-24,已知两因果系统的系统函数,激励信号分别为,求两种情况的响应,并讨论系统稳定性例4-24,解：激励信号的拉氏变换为：,系统响应的拉氏变换为,例4-24,系统响应的时域表达式：,看出：激励信号有界，而产生无界信号的输出。
说明：系统属不稳定从系统函数的极点看：系统在虚轴上有一阶极点，属临界稳定系统二、系统稳定性在电路中的具体体现,稳定系统：通常不含有受控源的RLC电路，一定为稳定系统振荡系统：只有LC元件构成的电路会出现H(s)极点位于虚轴的情况，h(t)呈等幅振荡以上两种情况都是无源网络，它们不能对外部供给能量，响应函数幅度有限的，属稳定或临界稳定系统含受控源的反馈系统可出现稳定、临界稳定和不稳定几种情况实际上由于电子器件的非线性，电路可从不稳定状态逐步调整至临界稳定状态利用它可产生自激振荡举例4.25:,举例4.25:,举例4.25:,举例4.26:,举例4.26:,举例4.26:,三、连续系统的稳定性准则,判别系统是否稳定，是否每次都要求出H(s)的极点位置，才能判别其稳定性呢？,否可以根据H(s)的分母多项式D(s)的系数来判断系统的稳定性系统稳定的必要条件：H(s)的分母多项式D(s)的所有系数ai都必须是正实数1、稳定系统必要条件的推导,将D(s)因式分解，求也它的根稳定系统必要条件的推导,稳定系统必要条件的推导,2、稳定系统判断,系统稳定的判断：,（a）各系数为正实数且不能等于0b）如果有一个系数=0，则系统处于临界稳定。
c）如果系统全部缺奇次项，或全部缺偶次项；系统都是临界稳定或不稳定3、罗斯-霍尔维兹稳定性判据,罗斯-霍尔维兹稳定性判据指出：若,则D(s)=0方程式的根位于s右半平面的个数等于罗斯阵列第一列数字符号改变的次数D(s)的根全部位于s左半平面的充要条件是： D(s)的系数全部是不等于0的正实数（无缺项），并且罗斯阵列第一列数字符号相同罗斯-霍尔维兹稳定性判据,罗斯阵列：（以n=6为例）,其中,罗斯-霍尔维兹稳定性判据,罗斯阵列：（以n=6为例）,其中,罗斯-霍尔维兹稳定性判据,罗斯阵列：（以n=6为例）,其中,例子1,符号改变两次，两个根在右半平面，系统不稳定例子2,凡遇到某一行元素全为0的情况，可以断言其根有出现在虚轴或原点处，是不稳定或临界稳定系统例子3,,,变二次符号,罗斯判别法的总结,（1）先观察H(s)分母多项式D(s)的各项系数均为正实数且无零系数这是系统稳定的必要条件即：若系数中有负数或零，则系统肯定是不稳定的2）若多项式D(s)的系数均为正实数，且是二次多项式，则系统肯定是稳定的但若是三次或三次以上的多项式，则系统是否稳定，就需要排出罗斯阵列才能确定3）罗斯阵列中第一列数字（元素）的符号全是正的，且在阵列中未出现全为零元素的行，则系统是稳定的。
这是系统稳定的充分条件若阵列中第一列元素的符号有变化，则系统肯定是不稳定的其符号变化的次数，就等于位于s平面右半平面上极点的个数罗斯判别法的总结,（4）若罗斯阵列中第一列中出现零元素时，则可用一个小的正数代替，因为第一列中元素符号改变的次数与的值无关注：在计算过程中，含2的项可略而不计5）当罗斯阵列中某一行的元素全为零时，这说明D(s)=0的根中有共轭虚根，此系统要么是临界稳定，要么是不稳定此时可利用上一行的元素构成一个s的辅助多项式（总是偶次的），然后再求一阶导数，并用此一导数的系数组成新的一行，来代替全为零的行，然后再按常规方法继续排列下去作业,P2644-46，4-47,本章小结,1、复习拉普拉斯定义，收敛域2、拉氏变换的基本性质3、拉普拉斯逆变换4、用拉普拉斯变换法分析电路、s域元件模型5、系统函数6、由系统函数零、极点分布决定时域特性7、由系统函数零、极分布决定频响特性8、二阶谐振系统的s平面分析9、全通函数与最小相移函数的零、极点分布10、线性系统的稳定性,。