同步发电机的数学模型,7 同步电机的数学模型,电力系统中的电源是同步发电机同步发电机的动态特性或者说动态数学模型是研究电力系统动态行为的基础在研究建立同步电机的数学模型的近百年历史中有两个重要的里程碑一个是 20 世纪 20 年代的双反应理论的建立另一个是20 世纪 30 年代提出的Park变换帕克在合适的理想化假设条件下，利用电机的双反应原理推导出了采用 dq坐标系的同步电机基本方程1 基本前提,2 同步电机的原始方程,3 dq0坐标系的同步发电机方程,同步电机方程的实用化,暂态电势与暂态电抗,转子运动方程,同步电机实用模型,几个概念,一、法拉第电磁感应定律,若回路为多匝，上式改为：,式中,为链过整个回路的磁链,，为回路的匝数,二、磁路欧姆定律（安培全电流定律）,磁路中的磁通等于作用在磁路上的磁势除以磁路的总磁阻,磁势F=,I,磁阻R,磁导（磁阻的倒数）,三、电感L=/i,四、旋转磁场与电枢反应（双反应理论）,1 基本前提,一、理想同步电机,二、假定正方向的选取,一、理想同步电机,不计磁路饱和、磁滞、涡流等的影响，即,假定电机的导磁系数为常数,；,叠加原理电机转子在结构上关于dq轴分别对称；,定子abc三相绕组在空间互差120，在气隙中产生正弦分布的磁动势；,电机空载，转子恒速旋转时，转子绕组的磁动势切割定子绕组所感应的空载电势为时间的正弦函数；,不计定子和转子的槽和通风沟对其电感的影响。
具有阻尼绕组的凸极机绕组布置,定子侧：a、b、c三个绕组；,转子侧：励磁绕组f、纵轴阻尼绕组D和横轴阻尼绕组Q说明：,水轮发电机：阻尼绕组模拟阻尼条阻尼作用；,汽轮发电机：模拟实心转子涡流所起的阻尼作用除了 D、Q 绕组外，有时在交轴上再增加一个等值阻尼绕组，记为 g 绕组g 绕组和 Q 绕组分别用于反映阻尼作用较强和较弱的涡流效应g绕组,位置角,二、假定正方向的选取,同步发电机的定子、转子各绕组的回路,电压电流正方向,同步发电机各绕组轴线的正方向,各绕组磁轴线正方向同该绕组磁链的正方向；对本绕组产生正向磁链的电流为该绕组的正电流；,定子电流的正方向为从绕组的中性点流向端点的方向；各相感应电势的正方向同相电流的方向；,电压的正方向为向外电路送出正向电流的方向；,转子各绕组感应电势的正方向同本绕组电流的正方向；,向励磁绕组提供正向励磁电流的电压方向为励磁电压的正方向；,D、Q阻尼绕组的外加电压为零转子横(q)轴落后于纵(d)轴90度,2 同步发电机的原始方程,一、电势方程和磁链方程,二、电感系数,一、电势方程和磁链方程,1.回路电势方程：,根据以上假定正方向，可得定转子各绕组的电势矩阵方程式为,式中，,v,为各绕组端电压，,i,各绕组电流，,r,定子各相绕组电阻，,各绕组总磁链。
相应的分块矩阵为,式中，分别为定子和转子的电阻矩阵式中，L,aa,为绕组的自感系数；L,ab,绕组a和绕组b之间的互感系数；其余类推,绕组的磁链方程（,Li）,总磁链本绕组电流产生的磁链其它绕组电流产生的与本绕组交链的磁链,用矩阵形式表示为,转子旋转时，定、转子绕组的相对位置不断变化，电机的许多自感、互感系数也随之变化，因而也是转子位置的函数也可用分块矩阵表示为,二、电感系数,定子各相绕组的自感系数,以a相为例分析如下：,a相绕组电流,正弦分布的磁势,(,d轴分量),(,q轴分量,),角为d轴与a相绕组轴线的夹角,如果用,ad,和,aq,分别表示沿d轴和q轴方向气隙磁通路径的磁导，则由定子磁势F,a,沿两个轴向产生的气隙磁通为,F,a,产生的定子绕组漏磁通为,由电流i,a,产生的与a相绕组交链的磁链为,于是有,式中,由此可见，定子绕组的自感系数是转子位置角的周期函数，其周期为自感系数有最大值和最小值的转子位置由于定子三相绕组对称，同理可得,定子绕组间的互感系数,由定子a相电流产生的磁通交链到b相绕组的,部分也是由气隙磁通和漏磁通两部分组成若假定漏磁通路径的磁导为,m,，则a、b,相绕组间的漏磁通为,“-”号是因为两相绕组轴线互差120，a相正电流产生的磁通将从反方向穿入b相绕组。
取b相绕组的等效匝数为w,b,，则由a相电流产生交链于b相绕组的磁链为,假定w,a,=w,b,=w，则定子a、b相间的互感系数为,式中,同理可得,转子上各绕组的自感系数和互感系数,自感系数,由于定子的内缘呈圆柱形，故对于凸极机和,隐极机，不论其转子的位置如何，其磁路的磁导,总是不变的，因而 转子上各绕组的自感系数均,为常数，记为,L,f,、L,D,、L,Q,以励磁绕组为例分析，若励磁绕组的等效匝数为w,f,，励磁电流为i,f,，则对励磁绕组产生的磁链为,互感系数,同理，转子各绕组间的互感系数亦为常数，具体值为：,两个纵轴绕组（f绕组和D绕组）之间的互感系数L,fD,=L,Df,=常数；,纵轴和横轴阻尼绕组之间的互感系数为零（因为两绕组相互垂直），即L,fQ,=L,Qf,=L,DQ,=L,QD,=0定子绕组和转子绕组间的互感系数,无论是凸极机还是隐极机，这些互感系数都与定子绕组和转子绕组的相对位置有关下面以励磁绕组和定子a相绕组间的互感为例分析如下：,当励磁绕组有电流i,f,时，其对定子a相绕,组产生的互感磁链为,因此有,式中,同理可得,互感系数L,af,与转子位置角的关系如图所示当=0或180时，互感系数L,af,的绝对值最大；,当=90或270时，互感系数L,af,为零。
同理可得定子各相绕组与纵轴阻尼绕组间的互感系数为,由于转子横轴落后于纵轴90，故定子各相绕组与横轴阻尼绕组间的互感系数为,磁链方程中的许多电感系数都与角有关，而角又是时间的函数，因而许多自感系数和互感系数都随时间周期性地发生变化；,将磁链方程代入电势方程后，电势方程将成为一组以时间的周期函数为系数的,变系数,微分方程3 dq0坐标系的同步电机方程,一、坐标变换和dq0系统,在原始方程中，定子各电磁变量是按三个,相绕组也就是对于空间静止不动的abc三相,坐标系列写的，而转子各绕组的电磁变量,是对于随转子一起旋转的dq0坐标系列写的磁链方程式中变系数产生的主要原因：,转子的旋转使定、转子绕组间产生相对运动；,转子在磁路上只是分别对于d、q轴对称而不是随意对称基于,电机学的双反应理论,，消除同步电机稳态分析中出现变系数,勃朗德(Blondel)提出：当电枢反应磁动势Fa幅值的位置既不和纵轴又不和横轴重合时，可将Fa分解为纵轴分量Fad和横轴分量Faq两个分量Fad和Faq分别作用在d轴和q轴磁路上，从而有确定的磁路和磁阻(确定的气隙和电机铁心磁路)，这样，作用在d轴和q轴上的电枢反应影响强弱，仅仅与该处磁动势大小有关，然后再把二者的结果迭加起来。
这种处理方法，为双反应理论组合成变换,abc坐标系,（固定）,dq0坐标系,（旋转）,或简记为,式中，,为,派克变换矩阵，其值为,矩阵表示式为,由此可得,则,上述变换称为派克正变换和逆变换矩阵，逆变换矩阵的展开式为三相零轴电流在气隙中的合成磁势为零，故不产生与转子绕组相交链的磁通，它只产生与定子绕组相交链的磁通，其值与转子的位置无关Park变换对电势、磁链和电压均适用二、dq0系统的电势方程,派克变换只是对定子各量实施变换定子的电势方程为,全式左乘 可得,由此可得,式中,由于 ，两边分别对时间求导，可得,由此可得dq0轴分量表示的电势方程为,相应的展开式为,说明：,式中的第一项为磁链对时间的导数，称为变压器电势；,第二项为磁链同转速的乘积，称为发电机电势；,式中的第三个方程是独立的，从磁的意义上讲，表示零轴绕组对其他绕组是隔离的三、dq0系统的磁链方程和电感系数,磁链方程可展开为,派克变换只需对定子侧进行，对上式左乘 ，,通过矩阵演算可得：,由此可得dq0坐标系的磁链方程展开式为,说明：,dq0坐标系磁链方程中的电感系数均为常数；,L,d,、L,q,分别是dd、等效绕组的电感系数，它们不但包含定子一相绕组的漏自感，还包含另两相绕组的漏互感；,穿过气隙的电感系数为一相绕组单独作用的3/2倍,纵轴同步电感:,横轴同步电感:,零轴电感,:,4 同步电机方程的实用化,一、基本方程的实用化,假定：,转子转速恒定且为额定转速。
电机纵轴向三绕组（d、f、D）只有一个公共磁通，而不存在只同两个绕组交链的漏磁通同步发电机通常带感性负载，定子端电压和电流相量落后电势相量，因而定子电压和电流的d轴分量将位于d轴的反方向调整后的各量实用正方向,采用实用正向后:,d轴电压、电流分量变号；两项假设,电势方程,磁链方程：,选择合适的参考基准，可以使转子与定子之间的互感系数变为相等，同时，在标幺制中，当,*,=1时，电抗与电感系数数值相等，习惯上直接用电抗代替电感其中：,二、稳态运行的电势方程式,电势方程式,同步电机稳态运行的特点：,定子电流为幅值恒定的三相正序电流；转速恒定且与转子保持同步；,常数,电势方程（不计定子电阻）,（2）,等效阻尼绕组中的电流为零；,（3）,励磁电流等于常数4）,分别代表励磁电流对定子绕组产生的互感磁链（即有用磁链）和相应的感应电势（即空载电势）定子电压和电流的d、q轴分量是三相交流系统中电压和电流通用相量在旋转坐标轴上的投影若选q轴为虚轴，落后q轴90的d轴负方向为实轴，则有：,相量形式电势方程式,相应的等值电路如图所示令：,则有,：,定义：,则有：,虚拟电势,相量图：,dq坐标系与复平面xy坐标系间的变换,在电力系统潮流计算完成以后，已知的是复平面下x-y 坐标系下的同步电机的机端电压和电流。
欲得到同步电机 d-q 坐标系下的 机端电压电流分量，需确定这两个坐标系之间的变换关系，即确定二者之间的夹角可以由虚拟电势确定式中的A可以是电压、电流、磁链或电势一、磁链平衡方程式和等值电路,1、,磁链平衡方程,-以磁链守恒原则为基础,5 暂态电势与暂态电抗,2、等值电路,二、暂态电势、暂态电抗,1、Eq、xd的定义,从磁链等值电路或从磁链平衡方程中消去励磁电流可得,定义：,则有：,暂态电势,暂态电抗,Eq：同励磁绕组的总磁链,f,成正比，在运行状态突变瞬间，励磁绕组的磁链守恒，,f,不能突变，暂态电势也就不能突变,Xd:如果沿纵轴把同步电机视做双绕组变压器，当副方绕组即励磁绕组短接时，从原方定子绕组看进去的电抗,、等值电路,适用范围：稳态分析,变压器电势忽略时的暂态分析定子电势方程,当变压器电势 时，由于 ，定子磁链平衡方程便变为定子电势方程,二、次暂态电势和次暂态电抗,1、磁链平衡等值电路,纵轴向的等值电路可简化为,、Eq Xd,应用戴维南定理得,纵轴次暂态电抗：理解为三绕组变压器,横轴次暂态电势：运行状态突变瞬间，不能突变式中,D,为纵轴阻尼绕组的漏磁系数；,eq,为代替励磁绕组和纵轴阻尼绕组的等效绕组的漏磁系数。
Ed Xq,由等值电路可得纵轴次暂态电势：,横轴次暂态电抗:,、定子电势方程,引入次暂态电势和次暂态电抗后，有阻尼绕组同步电机的磁链平衡方程可改写为：,若处于稳态或不计有阻尼绕组同步电机的变压器电势，则其定子电势方程为：,相应的交流相量形式为,：,或,次暂态电势,75,转子运动方程：,状态变量形式的转子运动方程：,6 转子运动方程,7 同步电机实用模型,对于不同的实际问题，电机模型要做不同程度的简化：,电磁暂态（转子运动可以忽略）,机电暂态：常忽略定子绕组暂态过程，即忽略变压器电势）,按微分方程阶数分：,（1）,三阶模型,：忽略阻尼绕组作用，只计及励磁绕组暂态和转子动态，状态量为：,（2）,五阶模型,：计及阻尼绕组 D、Q 以及励磁绕组暂态和转子动态，状态量为：,（3）,二阶模型,：电势恒定，状态量为：,注：考虑g绕组时，对应就有四阶模型和六阶模型也可按考虑的绕组分。