量子力学知识总结 物理111 杨涛认真、努力、坚持、反思、总结…量子力学知识点小结一、绪论1.光的粒子性是由黑体辐射、光电效应和康普顿效应〔散射〕三个实验最终确定的2.德布罗意假设是任何物质都具有波粒二象性，其德布罗意关系为和3.波尔的三个根本假设是定态条件假设、、4.自由粒子的波函数5.戴维孙革末的电子在晶体上衍射实验证明了电子具有波动性二、波函数及薛定谔方程〔一〕波函数的统计解释〔物理意义〕A.波函数的统计解释 B. 波函数的统计解释位置处单位体积没找到粒子的几率例：体系处于波函数所描写的状态，那么在区间内找到粒子的概率是. 体系处于波函数所描写的状态，那么在球壳内找到粒子的概率是，在立体角内找到粒子的概率是.〔注：〕〔二〕态叠加原理：如果和是体系的可能状态，那么它们的线性叠加 〔为复数〕也是这个体系可能的状态 含义：当体系处于和的线性叠加态〔为复数〕时，体系既处于态又处于态，对应的概率为和. 〔三〕概率密度〔分布〕函数〔四〕薛定谔方程：问题：1.描写粒子〔如电子〕运动状态的波函数对粒子〔如电子〕的描述是统计性的.2. 薛定谔方程是量子力学的一个根本假设，不是通过严格的数学推导而来的〔五〕连续性方程：问题：波函数的标准条件单值、连续、有界。
〔六〕定态薛定谔方程： 即：定态的特点：〔1〕粒子的几率密度和几率流密度与时间无关∵ 〔2〕能量具有确定的值〔可由自由粒子的波函数进行验证〕〔3〕各力学量的平均值不随时间变化定义：哈密顿算符于是定态薛定谔方程可写为： 这种类型的方程称为本征值方程，被称为算符的本征值，称为算符的本征方程讨论定态问题，就是要求出〔或〕和，含时间的薛定谔方程的一般解，可以写成这些定态波函数的线性迭加： 为常数〔七〕一维无限深势阱问题设粒子的势能：在势阱外 [] 〔1〕在势阱内：因为，所以其定态薛定谔方程为： 〔2〕令 〔3〕那么方程〔2〕可化为标准形式： 〔4〕其通解为： 〔5〕式中，为两个待定常数，单从数学上看，为任何值方程〔2〕都有解，然而，根据波函数连续性要求，在势阱边界上，有 〔6〕 〔7〕由〔5〕式和〔6〕式得： 令波函数不能恒为零，而不能为零，所以必须 ，于是 〔8〕再根据〔7〕式得所以必须满足： 取负数给不出新的波函数。
这告诉我们k只能取以下值 (9)由(3〕式可知，粒子的能量只能取以下值： (10)将〔9〕式代入到〔8〕式中，并把势阱外的波函数也包括在内，我们就得到能量为的波函数 〔11〕注：，波函数无意义〔11〕式中A可由归一化条件确定知：最后得到能量为的归一化波函数为：总结：1、可得：2、可得： 3、可得：问题：粒子在一维无限深势阱中运动时，假设阱宽减小，那么其能级间隔会增大.〔八〕一维线性谐振子问题：一维线性谐振子的势能：定态薛定谔方程： 令： 最后可求得一维线性谐振子的能量与对应的波函数为： 与之相应的波函数为：归一化因子 其中：为厄米多项式且有：小结：一维线性谐振子： 一维线性谐振子的基态能量与对应的波函数问题：1.线性谐振子能量的本征方程是或.定义算符：克罗内克符号：对线性谐振子：注：上述算符仅适用于线性谐振子2.设是一维线性谐振子的波函数，那么有： 0 0 三、量子力学中的力学量 〔一〕线性算符假设那么称为线性算符，其中为两个任意函数，是常数〔复数〕.〔二〕厄米算符如果对于任意两个函数和，算符满足以下等式：那么称为厄米算符.注：两个厄密算符之和仍为厄密算符，但两个厄密算符之积却不一定是厄密算符，除非两者可以对易。
在量子力学中刻划力学量的算符都是线性厄米算符〔三〕算符的本征值和本征函数如果算符作用在一个函数，结果等于乘上一个常数： 本征方程那么称为的本征值，为属于的本征函数本征方程的物理意义：如果算符表示力学量，那么当体系处于的本征态时，力学量有确定值，这个值就是在态中的本征值〔四〕常用力学量的算符表示：算符与力学量的关系：量子力学中表示力学量的算符都是厄米算符，它们的本征函数组成完全系，当体系处于波函数描写的状态时，测量力学量所得的数值，必定是算符的本征值之一，测得的概率是.〔〕坐标表象下： 〔五〕动量算符和角动量算符 1.动量算符：动量算符的本征值方程2.角动量算符角动量平方算符与角动量分量算符的本征函数和本征值球谐函数是角动量平方算符与角动量分量算符共同的本征函数.〔不做记忆要求〕因此角动量平方算符与角动量分量算符的本征值分别为和，其中称为角量子数称为磁量子数.简并：对于一个本征值有一个以上的本征函数的情况称为简并简并度：对应同一本征值的本征函数的数目称为简并度问题：1.不考虑电子自旋，氢原子的第条能级的简并度为.2. 考虑电子自旋，氢原子的第条能级的简并度为.3. 球谐函数是算符和的共同本征函数，相应的本征值为：和.〔六〕类氢离子问题：哈密顿算符：的本征值方程：该方程的解： 为径向函数：不做记忆要求.基态波函数； 〔重点公式〕 类氢离子的能量： 类氢离子的波函数： 基态波函数； 〔七〕算符的对易关系： 定义：对于算符和，如果那么称算符和对易，如果那么称算符和反对易〔注：〕.泡利算符满足反对易关系，即定理：如果两个算符对易，那么这两个算符有组成完全系的共同本征函数，该定理的逆定理也成立。
问题：1.写出以下算符的对易关系 . . . . . 2.假设力学量对应算符和满足，那么表示它们相互对易且有一组共同的本征函数〔八〕测不准原理 对于算符和，设 〔九〕平均值公式算符是线性厄米算符，它的正交归一本征函数是对应的本征值是，假设体系处于归一化波函数所描写的状态，那么力学量在该体系下的平均值〔期望值〕公式为：问题： 1.求证：厄米算符的本征值为实数.证明：设为厄密算符，为的本征值，表示所属的本征函数，即：因为：〔为厄密算符〕取 ，那么有：即是实数2.求证：厄米算符的属于不同本征值的本征函数相互正交.证明：设是厄米算符的本征函数，它们所属的本征值互不相等.那么有：且当时，又是厄米算符，故，因此有;用右乘〔4〕式两边并对整个空间积分得：用左乘〔2〕式两边并对整个空间积分得：又 由〔5〕~〔7〕式可得：联立〔3〕〔8〕可知：.证毕. 3.设粒子做一维运动，波函数为：是任意常数，求 〔1〕归一化常数〔2〕概率分布函数〔3〕概率最大位置〔4〕在内发现粒子的概率。
〔5〕和的平均值解：〔1〕由归一化条件得： 〔2〕概率分布函数为; 〔3〕由〔2〕可知，当时，即概率最小位置，根据极值条件： 又：故：为概率最大位置，且有.〔4〕在内发现粒子的概率即在内发现粒子的概率是. 上述积分用分部积分法求解.参考积分公式：4.求一维线性谐振子处在第一激发态时几率最大位置解：由得：一维线性谐振子处在第一激发态的波函数为：，于是概率分布函数为：显然满足束缚态条件，此位置概率为0. 由极值条件在又：〔伽马〕函数：定义：性质：注：双阶乘运算故概率最大位置是5.一维运动的粒子的状态是其中，求 〔1〕粒子动量的概率分布函数； 〔2〕粒子的平均动量解：由归一化条件得： 推广： 动量的本征函数〔1〕该波函数在动量表象下的形式为： 于是粒子动量的概率分布函数为：〔2〕动量的期望值为：6.体系处于态中那么 〔 B 〕A.是体系角动量平方算符、角动量z分量算符的共同本征函数B. 是体系角动量平方算符的本征函数，不是角动量z分量算符的本征函数C. 不是体系角动量平方算符的本征函数，是角动量z分量算符的本征函数D. 既不是体系角动量平方算符的本征函数，也不是角动量z分量算符的本征函数四、态和力学量的表象〔一〕态的表象对任意力学量，既有分立的本征值，对应本征函数是也有连续的本征值〔在一定范围内变化〕，对应的本征函数是，当体系处于波函数所描写的状态，那么该体系在表象下所描写的状态〔即波函数表示为算符的本征函数形式〕.由态叠加原理可得：式中 那么在力学量表象下的描述可用列矩阵表示：由归一化条件知：表示在所描写的状态中测量力学量所得结果为的概率，那么表示测量结果在到之间的概率.〔二〕算符的矩阵表示设算符作用于波函数后，得出另一函数.在坐标表象中记作：.该方程在表象中的形式〔如上文所述，此处仅讨论的分立本征值情况〕：于是有：以左乘上式两边并对的整个区域积分得：又： 所以有：令那么：即为在表象中的表述方式.其中：为算符在表象中的矩阵元，易证：矩阵满足为厄米矩阵问题 假设矩阵满足条件，那么称为厄米矩阵.〔三〕量子力学公式的矩阵表述1.期望值〔平均值〕公式 将波函数按的本征函数展开：最后得：即：亦即：2.本征值方程即： 。