刚体碰撞试验实验报告同组成员实验日期：一、实验目的对理论力学课程中碰撞基本知识的加深理解1、掌握恢复系数、冲量比等参数测量方法2、了解三维空间碰撞问题的简化处理方法调碰撞面A法向 调碰撞面B法向 调平实验台二、 实验内容1、 恢复系数e的测定2、 冲量比“的测定3、 三维空间碰撞简化处理方法的介绍三、 实验设备：碰撞实验台见图一所示1：发球器2：碰撞块B3围栏4：调节螺钉（x 3 ）5：底板6：滑轨7：碰撞块A8：立柱该碰撞台中的可调节部分为：6与8之间可滑动，调A、B的间距7与8之间可转动，2与5之间可转动，4与5之间可转动，按动发球器1右侧的按钮，可以使发球器中存储的钢球以自由下落的方式发出；当钢球 碰落到撞块 A 时发生碰撞，并反弹继续运动；当钢球碰落到撞块 B 时，再次发生碰撞，反 弹继续运动；最后钢球将溅落到底板的某一位置四、实验步骤及实验原理：1、恢复系数e的测定测定恢复系数时，需将碰撞块A的上表面的外法线调至垂直向上的方向，即方向余弦向量 为（0, 0，1）T钢球自由下落开始时的位置已知，通过立柱上刻度尺可以测量钢球碰撞 后的反弹高度，从而可以计算出碰撞中的恢复系数设初始高度为ho，碰撞前速度为v 1，丫表示第i次碰撞后钢球的质心速度’碰撞后钢球反弹的最高位置为 h ，则：maxv = ,2gh ， V =—p2gh （负号说明方向为-Z方向）10 1 maxV - V恢复系数的定义为：e = -T A，碰撞块A的碰撞前和碰撞后速度均为0,可得:v -v1A,'he — max h r 0测定冲量比时，需将碰撞块A的上表面的外法线调至垂直向上的方向，另外还要取下 碰撞块B，这时钢球经过第一次碰撞将直接溅落在底板上。
通过测量其溅落位置并结合已测 定的恢复系数可以得到冲量比的测定结构，见图测量钢球在底板上的溅落位置可按如下方法进行：发球前在底板上平铺一张坐标纸（或 其他白纸均可）并记录下它在底板上的位置，即它在图1 中的 O-XYZ 坐标系中的绝对位 置然后在其上在平铺一张复写纸，并用压块固定当球溅落在底板上时，便通过复写纸在 坐标纸上留下痕迹实验结束后，测量这些痕迹在坐标纸上的位置，并结合坐标纸在O-XYZ 坐标系中的绝对位置可以得到实验中钢球的实际溅落位置冲量比的定义为：―P |/|P|t即碰撞中切向冲量与法向冲量的比值设碰撞前钢球的质心速度为v，其切向分量为v，法向1 1t分量为V ；碰撞后速度为V，其切向分量为1n1V，法向分量为V设碰撞时，碰撞1t 1n块A外法线与Z正半轴之间的夹角值为：a（该值可调）图三冲量比U的测定cos(a) - sin(a)从O-YZ坐标系到o-nt坐标系的坐标转换矩阵为：A = sin(a) cos(a)1) 碰撞过程分析 钢球与碰撞块 A 发生碰撞前：在O-YZ坐标系中：钢球质心速度V为：£ - v K，由坐标转换公式,11在o-nt坐标系中：钢球质心速度V为:cos(a) 一 sin(a) \ 0 1 \ v sin(a)sin(a) cos(a) _ [- v J [- v cos(a)钢球与碰撞块A发生碰撞后：在o-nt坐标系中：钢球质心速度V为：1V = -ev (3)1n 1n式中出现负号的原因是速度的方向发生改变。
此时，恢复系数已经在第一步中测出但是切 向速度分量V1t仍为未知量将⑵式的第二个式子带入⑶式可得:4)Ml V1t[V J [ev cos(a )由坐标转换公式：在o-nt坐标系中：钢球质心速度V为2) 碰撞后钢球的运动分析碰撞后，钢球在OYZ平面内作斜抛运动，其运动轨迹为一抛物线Y 方向：y 二 V1 ytZ 方向：z 二 a+V1 zt - 2 gt运动轨迹方程：V g 1在实验中，测出参数b，并将点（b,0）带入（6）式中并化简，得:aV 2 + bV V - 0.5gb2 = 0 (7)1 y 1 y 1z( 3 )计算冲量比将(4)式带入到(5)式，展开得:V1yV1zcos(a)sin(a)JV1」=cos(a)sin(a)一 sin(a)cos(a)一 sin(a)cos(a)V1tev cos(a)1I cos(a )V + e sin(a) cos(a )v=< 1t 1I 一 sin(a )V + e cos2(a )v1t 1联立(7)、(8)二式：8)V = cos(a )V + e sin(a) cos(a )v1 y it 1
其中/取vi二切向冲量：PtV]r ）|，法向冲量：|Pnm ( V - v1 n 1n），带入到冲量比定义式中，得到:10)(V - v )1 1—(V - v )1n 1n最后溅落到底板上的整个3. 三维空间碰撞简化处理方法的介绍（实验原理与公式推导）: 钢球从发射器下落，相继与碰撞块 A 和碰撞块 B 发生碰撞 过程可以分为3 个匀加速度运动过程和2 个碰撞过程来考虑这里注意介绍碰撞过程在碰撞的描述中，使用自然坐标系以被碰撞平面的外法向为坐标系的法向n,以钢球 碰撞前速度在被碰撞平面内的投影方向作为坐标系的切向t，以法向叉乘切向为坐标系的次 法向 b ，得到自然坐标系 o-ntb/\n首先，假设碰撞只发生在平面ont内，即次法向内无冲量作用则仍可用平面碰撞来描 述该三维碰撞过程APn图6：钢球三维碰撞的简化其次，在三维空间中讨论碰撞，应将 钢球看作刚体，考虑转动的影响恢复系 数的定义中所使用的各个速度量，在这里 是指碰撞点的法向速度而不再是钢球的质 心的法向速度但是在考虑转动后，碰撞 点的法向速度与质心的法向速度仍然是相 等的（请自行证明），所以在恢复系数的定 义式中仍代入钢球质心速度计算。
但应注 意，这只是形式上的相等，改写后的定义P = m（V 一 v ） （1）t t t法向冲量可以由钢球的质心速度表示 而匀加速运动的轨迹也可以由质心运动所描述，故在此问题中，可以只考虑钢球的质心所作 的质点运动而不考虑转动，从而将问题简化另外，需要考虑坐标转换问题碰撞过程是在相对的自然坐标系中描述的，而钢球的运 动过程是在绝对的迪卡尔坐标系中描述的，所以在讨论整个问题时，相对系中各速度的分量 和碰撞点的坐标需要转换到绝对系中去1．碰撞过程设在某次碰撞前钢球的质心速度为：v = b v v b；碰撞后钢球的质心速度为：ntbV =>^v V V K并设各次碰撞时，被碰撞平面的初末速度均为0ntb法向：由恢复系数定义得：V二-ev （2）nn切向：由冲量比定义得： P = m（V -v ）=卩|P （3）t t t n其中 P = m（V - v ）二一m（1 + e）v （4）n n n n见图 6 可知，切向末速度为正，且受摩擦影响将小于切向初速度，将（3）代入（4）可得V =卩（1 + e）v + v （5）t n t等式右端第一项为负，因为v值为负n次法向：无冲量作用，因为该方向无初速度分量。
2． 匀加速运动过程设第i次碰撞时的碰撞点为：& Y Zb，碰撞后的末速度为VV Vxyz则随后的匀加速运动轨迹方程为：'x = X + Vtx< y = Y + V t （6）yz = Z + V t - 0.5gt2z第 i+1 个被碰撞面的平面方程为：Ax + By + Cz + D = 0 （7）将（6）代入（7）中，可以解出时间t再（6）的各式求导，并将t代回，即可出下次 碰撞时的初速度，而将t直接代回到（6）式中，可以求得下次碰撞时的碰撞点位置注意，在计算中需要进行坐标变换其中的坐标变换矩阵可以由碰撞平面的外法向量以 及初速度向量在绝对坐标系中的坐标求得，请自行推导在求解（6）和（7）式的联立时， 还需注意时间解的取舍问题数据处理：1．恢复系数h = 256 （mm）；钢球半径R = 匚（mm）0 -—观测次数123456h (mm) i186186185187187185— L )h = Z h /6 -R = 181 (mm)max I i 丿' i=1 丿ihe = = 0.841h 0841—1 02．冲量比取定a= 1ZTa = 95 (mm)； h = 25602.24观测次数123456b (mm)i326.0328.5332.2330.0328.5335.0mm)；1m/s)b = Z b /6 = 330.0 (mm)ii=1将各个参数输入计算机。
求得冲量比M =0.0773．三维空间碰撞各个参数值：a=蛙；a =坐(mm)； ho =举(mm)； d =壬(mm)e = 0.841 ； M =0.077角度P = 100 = 200 = 30测量次数XYXYXY实际值126. 024.3245.056.5243.088.3理论值134.421.4202.651.6261.0100.6相对误差-6.3%13.6%20.9%9.5%-6.9%-12.2%小结：1．测定刚性球碰撞的恢复系数和冲量比实验原理简单，但由于实验方法的条件限制，一些 测量量难以达到精确，第一个实验需要目测小球的最高位置，在目测过程中很容易产生 随机误差，并且人眼的观测误差是很大的；第二个实验中小球落点的随机性偏差较大 落点范围较广，所以只能采用多次测量取平均值的方法减少带来的误差2．三维空间碰撞的实验，刚性球的实际落点与理论计算值偏差大且不稳定虽然小球的实 际落点取了三个值，但是随机误差还是存在的，此外，系统误差应该存在一定的影响 使小球难以按照理想情况落入预测的位置3．本次实验是让我们对处理碰撞问题有一个更直观的认识，通过这次实验，加深了对碰撞 的理解，也认识到了理论和实际是有很大偏差的，计算出来的理论落点可能与实际落点 相差很大。
4．本次实验数据的误差较大，数据也不稳定；但做过实验后，我们更加深刻地理解了实验 原理，同时实验目的也达到了；我想安排这个实验的主要目的是让我们掌握实验思想和 实验方法。