直角三角形的边角关系解直角三角形既是初中儿何的重要内容，又是今后学习解斜三角形，三角函数等知识的基础，同时， 解直角三角形的知识乂广泛应用于测量、工程技术和物理之中，解直角三角形的应用题还有利于培养学生 空间想象的能力中考导向】掌握锐角三角函数和解直角三角形是进行三角运算解决应用问题和进一步研究任意角三角函数的重 要基础因此，解直角三角形既是各地中考的必考内容，更是热点内容题量一般在4%〜10%分值约在 8%〜12%题型多以中、低档的填空题和选择题为主个别省市也有小型综合题和创新题几乎每份试卷都 有一道实际应用题出现【数学思想方法天地】用解直角三角形解决实际应用题的关键是要根据实际情况建立数学模型，正确的画出图形，找准三角形.%1 根据题目的已知条件，画出平面几何图形，找清已知条件中各量之间的关系1 是直角三角形的，根据边角关系进行计算，若不是直角三角形，应大胆尝试添加辅助线，构造直角三 角形进行解决.【典例解析】考点一：有关特殊三角函数值的计算1 o【例 1】计算：2sin30 -(-)-1 -|l-tan60|4--^-2 1 1 V3 + 1变式训练:R I1、选择：在 AA8C 中，若sin B , cosA =—，则 \ABC是(2 2A、等腰三角形 B、等边三角形 C、直角三角形 。
等腰直角三角形2、计算下列各题：(1) V3 tan 60 + (6 - V2) -2(2)2V3 + 1-(V3-l)0 + V2 sin 45-3 tan2 30考点二：有关三角函数在几何中的计算【例 2】如图：在 Rt\ABC 中，Z0=90 , sinB = -, 5点D在BC边上,且ZADC = 45,DC = 6,求 tan ZBAD 的值；变式训练：1、如图：在 Rt^ABC 中，Z 0=90 , CD LAB 于点2若 cos A = — , BC = 10 ,则 CD =;2、如图：在 RtAABC 中，ZC = 90 , AC = 6,NA的平分线AO = 4a厅，求的度数及边BC、A8的长;【例3】在ZkABC中，AB=2, AC=V2 , ZB=30,则匕BAC的度数是【例4】如图：在梯形ABCD中，NDCB=90 ,AB/7CD, AB= 25 , BC=24 ,将该梯形折叠,点A恰好与点D重合，BE为折痕,那么AD的长度为变式训练：1、 正方形网格中，ZAOB如图放置，则sinZAOB的值为()A、- B、C. — 22 5 52、 已知矩形的两邻边长分别为1和占，则该矩形的两条对角线所夹的锐角为3、 AABC 中，= 30, AB = 69 AC = 2占。
1)求BC的长； (2)判断AABC是什么形状的三角形？4、如图：小明将一张矩形纸片ABCD沿CE折叠，B点恰好落在AO边上，设此点为F,若DAB :BC = 4:5 9 求cosZDCF 的值;电缆8C要多少米？（结果保留根号）考点三I:有关三角函数在实际中的应用【例5】如图：某电信部门计划修建一条连结B、C两地的电缆，测量人员在山脚A点测得8、 两地的仰角分别为3045,在B地测得地的仰角为60已知C地比A地高200m,【例6】如图：甲、乙两只捕捞船同时从A港出海捕鱼甲船以每小时15扼km的速度沿西偏 北30方向前进，乙船以每小时15 km的速度沿东北方向前进甲船航行2h到达C处，此时 甲船发现渔具丢在乙船上，于是甲船快速（勾速）沿北偏东75的方向追赶，结果两船在B 处相遇 北 联 一（1） 甲船从C处追赶上乙船用了多少时间？ 4（2） 甲船追赶乙船的速度是每小时多少千米？ ： /【能力提升】1、 已知q为锐角，则a的取值范围是（ ）3A、30 < < 60 B、30 < 6T < 60 C、30 < 6T < 60 D、a < 302、 正方形ABCD中，E、F分别为AB、的中点， C ).D.-2AnAF与OE相交于点O,则—=( DOA. 1 B.瓯 C. 23 5 3 3、如图：丁轩同学在晚上由路灯AC走向路灯BD,当他走到点P时，发现身后他影子的顶部刚好接触到路灯AC的底部，当他向前再步行20初到达Q点时，发现身前他影子的顶部刚好接触到路灯BD的底部, 已知丁轩同学的身高是1.5m,两个路灯的高度 都是加，则两路灯之间的距离是( )A、24m B、25/n C、2Sm D、30m4、 在\ABC 中，4 = 30。
tanB = -, 8C =而，则 AB 的长为 ;35、 太阳光线与地面成60角，一棵倾斜的大树与地面成30角，测得大树的影长约为10米，则大树的长约为 米；6、 如图，ACAB, BEAB, AB=10, AC=2用一块三角尺进行如下操作：将直角顶点P段AB上滑动，一直角边始终经过点C,另一 E直角边与BE相交于点D,若BD=8,则AP的长为;CA B【综合与思维拓展】【例7］若关于x的一元二次方程4x2 - 2(m + l)x + m = 0的两根是一个直角三角形的两个锐角的余弦，求m的值;【例8】等腰梯形ABCD中，AD〃BC, AC与BD交于点0,沿着AC折叠后D点落在BD上的E 点处.①求证：AB二CE； n1 a (2)^ tan ZOCE = - , AD=2,求梯形 ABCD 的面积. \ /\变式训练：如图：等腰梯形 ABCD 中，AD//BC, ZDBC = 45 , AD = 2f BC = 8O 翻折梯形 ABCD ,使 点B重合于点折痕分别交边AB. BC于点F、E求：(1) BE的长； (2) ZCDE的正切值【例9】如图：矩形ABCD的边在尤轴上，E是对角线AC、BO的交点，EF上BC ,垂k 1足为F。
函数y 在第一象限经过点A、E和点(8,上)，设EF的长为x 21、求函数y =-的解析式；2、求点A的坐标(用〃2表示)3、若ZAOB = 45求 tan ZEBF 的值;【以练励学】1、在 Rt\ABC 中,ZC = 90tan A4则 sin A =(B、D、2、在\ABC 中，sin B = cos（90 -C）=-,那么 &BC是 2C、直角三角形则cos A等于（A、等腰三角形 8、等边三角形3、在 RtAABC 中，ZC = 90 , c = 3b,V2 D 2V2 D、 3 3D、等腰直角三角形）A、B、c、-3D、V10"T4、如图5,在平地上种植树木时，要求株距（相邻两树间的水平距离）为4〃7 如果在坡度为0.75的山坡上种树，也要求株距 为4m,那么相邻两树间的坡面距离为（ ）A、5m B、6m C、7m D 8mIf图55、在一次夏令营活动中，小亮从位于A点的营地出发，沿北偏东60方向走了 5切?到达B地，然后再沿北偏西30方向走了若干千米到达C地，测得A地在 C地南偏西30方向，则A、C两地的距离为（1073 z km3A、s巧 _B、—km C、5回m D、36、在\ABC中,若|2sinA-l +(^^-008B)2 = 0 ,5^3km则匕CB北ZA = 30。
ZB = 45 , AC = —9 贝] BC = 2如图：RtAABC 中，NC=90 , AC = 8cm , DE 是 AB 的垂直 D.3平分线，连结BD,若cosZBZ)C = -,则BC7、8、在\ABC中,9、(1) (-)-1 + (-2009) - V9 + 2sin30 2周 Ei 2(2) 2sin30—(土)一】+ ——3tan2 3027 73 + 1(3)、计算：V18-2cos45o + (-r2+ 1-V2210、已知电线杆AB直立于地面，它的影子恰好照在土坡的坡面CO和地面BC上，如果C与 地面成45ZA = 60CD = 4m , BC = （4斤一2很）m ,求 A8 的长；11、腾飞中学在教学楼前新建了一座“腾飞”雕塑(如图①).为了测量雕塑的高度，小明在 二楼找到一点C,利用三角板测得雕塑顶端4点的仰角为30,底部&点的俯角为45,小华 在五楼找到一点利用三角板测得刀点的俯角为60 (如图②).若已知C〃为10米，请求出雕塑48的高度.(结果精确到0.1米，参考数据73 = 1.73).C12、如图，一般轮船位于灯塔户的北偏东60方向，与灯塔P的距4% 80海里%膏处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45方向上的B处.求此时轮船所在的 B处与灯塔P的距离(结果保留根号).BC=2, tanNADC=2;13、如图所示：在梯形 ABCD 中，AB〃CD, NBCD二90 ,且 AB= 1,(1) 求证：DC二BC;(2) E是梯形内一点，F是梯形外一点，且NEDC二NFBC, DE=BF,试判断AECF的形状，并 证明你的结论；(3) 在(2)的条件下，当 BE: CEF: 2, NBEC 二 135 时，求 sin ZBFE 的值；。