通通 信信 原原 理理Dalian University of Technology电电2007级级 、电、电2006级英强适用级英强适用第第12章章 CH12正交编码与伪随机序列正交编码与伪随机序列1 12.0 引言引言正交编码应用：正交编码应用：纠错码；纠错码； 实现码分多址实现码分多址CDMA通信通信——扩展频谱通信扩展频谱通信eg. WCDMA CDMA2000 TD-SCDMA IS-95伪随机序列伪随机序列PN——Pseudorandom sequence 应用：应用：误码率测量、时延测量、扩谱通信、通信加密及分离多误码率测量、时延测量、扩谱通信、通信加密及分离多径等方面径等方面2 12.1 正交编码正交编码 P37512.1.1 基本概念基本概念 P3751. 模拟信号正交性模拟信号正交性(12.1-1) 若若M个周期为个周期为T的模拟信号的模拟信号s1(t) ，， s2(t) ，，…，， sM(t)构成一构成一正交信号集合，则有正交信号集合，则有(12.1-2)若两个周期为若两个周期为T的模拟信号的模拟信号s1(t)和和s2(t)互相正交，则互相正交，则典型的正交集合典型的正交集合:傅立叶级数中的正余弦函数集傅立叶级数中的正余弦函数集3 12.1.1 基本概念基本概念 P3752.互相关系数互相关系数两个码组两个码组x和和y ：：(12.1-4)(12.1-3)x和和y间的互相关系数定义为间的互相关系数定义为(12.1-5)显然有：显然有：若码组若码组x和和y正交，则要求：正交，则要求：若用二进数字若用二进数字 “0” 上述上述码组中的码组中的“+1”，，用二进数字用二进数字 “1” “−1” ，互相关系数式，互相关系数式(12.1-5)定义变为定义变为(12.1-8)A—x和和y中对应码元相同的个数；中对应码元相同的个数；D—x和和y中对应码元不同的个数；中对应码元不同的个数；4 12.1.1 基本概念基本概念 P3752.互相关系数互相关系数图图12-1中中4个数字信号为个数字信号为(12.1-6) 这这4个码组中任意两者之间的互相关个码组中任意两者之间的互相关系数都为系数都为0。
这这4个码组两两正交个码组两两正交 把两两正交的编码称为把两两正交的编码称为正交编码正交编码5 12.1.1 基本概念基本概念 P3753.自相关系数自相关系数其中下标其中下标i按照模按照模n运算，即运算，即 xi+n = xi(12.1-7)码组长度为码组长度为n，码元为，码元为xi ，， xi取值取值 1自相关函数定义为自相关函数定义为例码组例码组x为：为： 求其自相关函数：求其自相关函数：6 12.1.1 基本概念基本概念 P3753.自相关系数自相关系数与互相关系数类似：与互相关系数类似：若用二进数字若用二进数字 “0” 上述上述码组中的码组中的“+1”，，用二进数字用二进数字 “1” “−1” ，自相关系数可用式，自相关系数可用式(12.1-8)定义定义(12.1-8)A—x和和y中对应码元相同的个数；中对应码元相同的个数；D—x和和y中对应码元不同的个数；中对应码元不同的个数；其中码组其中码组y需要改为码组需要改为码组x的循环移位的循环移位j的形式，如下：的形式，如下：7 12.1.1 基本概念基本概念 P3764. 超正交码超正交码若两个码组间的互相关系数若两个码组间的互相关系数ρ<0,称这两个码组互相称这两个码组互相超正交超正交。
如果一种编码中任两码组间均超正交，如果一种编码中任两码组间均超正交， 则称这种编码为则称这种编码为超正交编码超正交编码这三个码组所构成的编码是超正交码这三个码组所构成的编码是超正交码12.1-10)例例8 12.1.1 基本概念基本概念 P3765. 双双正交编码正交编码 duo-orthogonal由正交编码和其反码构成双正交编码由正交编码和其反码构成双正交编码例例正交码正交码(12.1-11)其反码为其反码为可构成如下双正交编码可构成如下双正交编码共有共有8种码组，码长为种码组，码长为4，任两码组间的相关系数为，任两码组间的相关系数为0或或−l9 12.1.2 阿达玛矩阵阿达玛矩阵 哈达玛矩阵哈达玛矩阵 Hadamard P376Hadamard矩阵矩阵用以构成超正交码和双正交码用以构成超正交码和双正交码它的每一行它的每一行(或列或列)都是一正交码组都是一正交码组通常可简写为通常可简写为1. 2阶哈达玛矩阵阶哈达玛矩阵(最低阶最低阶)(12.1-12)(12.1-13)10 12.1.2 阿达玛矩阵阿达玛矩阵 哈达玛矩阵哈达玛矩阵 Hadamard P3763. 8阶哈达玛矩阵直积可得到阶哈达玛矩阵直积可得到16阶阵阶阵(12.1-16)“ ”表示表示Kronecher积，直积。
积，直积12.1-15)2. 2阶哈达玛矩阵直积可得到阶哈达玛矩阵直积可得到4阶阵阶阵11 12.1.2 阿达玛矩阵阿达玛矩阵 哈达玛矩阵哈达玛矩阵 Hadamard P3764. 所以所以 N 阶哈达玛矩阵为阶哈达玛矩阵为(12.1-14) （（1））第一行和第一列的元素全为第一行和第一列的元素全为“+”，这样的，这样的[H]矩阵称为矩阵称为哈达玛矩阵的正规形式哈达玛矩阵的正规形式(正规哈达玛矩阵正规哈达玛矩阵) （（2））[H]矩阵中各行（或列）是相互正交的，所以矩阵中各行（或列）是相互正交的，所以Hadamard阵是阵是正交方阵正交方阵 （（3）若把其中每一行看作是一个码组，则这些码组也是互相）若把其中每一行看作是一个码组，则这些码组也是互相正交的，整个正交的，整个[H]矩阵就是一种长为矩阵就是一种长为n的正交编码，包含的正交编码，包含n个码个码组5.以上构造的以上构造的Hadamard矩阵的结论矩阵的结论12 12.1.3 沃尔什矩阵沃尔什矩阵 沃尔什函数沃尔什函数 Walsh P378方法方法1——用用 Walsh函数实现函数实现(12.1-17)式中式中, p=0,1; j=0,1,2,…; 指数指数 j/2取其整数部分。
取其整数部分通信系统中经常使用通信系统中经常使用Walsh矩阵实现正交编码，获得矩阵实现正交编码，获得Walsh函数的两种方法：函数的两种方法：Walsh函数的定义式函数的定义式可以得到可以得到Walsh函数的波形函数的波形 图图12-213 12.1.3 沃尔什矩阵沃尔什矩阵 沃尔什函数沃尔什函数 Walsh P378方法方法1——用用 Walsh函数实现函数实现Walsh函数的波形函数的波形图图12-214 12.1.3 沃尔什矩阵沃尔什矩阵 沃尔什函数沃尔什函数 Walsh P378方法方法2——用用 Hadamard矩阵获得矩阵获得Walsh矩阵矩阵将将[H]矩阵中行的次序按矩阵中行的次序按“+l”和和“−l”交变次数的多少交变次数的多少重新排列，得到沃尔什矩阵重新排列，得到沃尔什矩阵12.1-18)15 12.2 伪随机序列伪随机序列PN—— Pseudo Noise P37812.2.1 基本概念基本概念1.Shannon信息理论指出：信息理论指出：具有白噪声的统计特性的信号具有白噪声的统计特性的信号可用于实现最有效的通信可用于实现最有效的通信——相当于载波。
相当于载波2.系统测试时需要随机噪声进行试验系统测试时需要随机噪声进行试验3.保密通信，使用类随机的噪声进行加密保密通信，使用类随机的噪声进行加密但但 随机噪声难以重复产生和处理所以使用随机噪声难以重复产生和处理所以使用PN伪伪噪声代替噪声代替为什么要使用为什么要使用PN?PN两个优点：两个优点： 1. PN伪随机噪声特性类似随机噪声伪随机噪声特性类似随机噪声 2. 容易重复产生和处理容易重复产生和处理PN的种类：的种类： m序列、序列、M序列、二次剩余序列、双素数序列等序列、二次剩余序列、双素数序列等16 12.2.2 m序列序列 P3781. m序列的产生序列的产生初始状态为初始状态为(1) 4级线性反馈移位寄存器级线性反馈移位寄存器输出周期最长为输出周期最长为15的序列：的序列：000 111 101 011 001初始状态为初始状态为移位后得到的仍为全移位后得到的仍为全“0”状态反馈移存器中应避免出现全反馈移存器中应避免出现全“0”状状态用尽可能少的级数产生尽可能长的用尽可能少的级数产生尽可能长的序列17 12.2.2 m序列序列 P3781. m序列的产生序列的产生(2) n级线性反馈移位寄存器级线性反馈移位寄存器一个一个n级反馈移存器可能产生的最长周期等于级反馈移存器可能产生的最长周期等于(2n – l)。
这种最长的序列称为这种最长的序列称为最长线性反馈移位寄存器序列，简称最长线性反馈移位寄存器序列，简称m序列序列反馈线的连接状态用反馈线的连接状态用ci表示表示: ci = 1表示接通表示接通; ci = 0表示断开表示断开设设n级移位寄存器的初始状态为：级移位寄存器的初始状态为：经过经过1次移位后，状态为次移位后，状态为: 经过经过n次移位后，状态为次移位后，状态为: 18 12.2.2 m序列序列 P3781. m序列的产生序列的产生(2) n级线性反馈移位寄存器级线性反馈移位寄存器根据根据图图12-4的连线关系可以得到的连线关系可以得到:则可以得到则可以得到递推方程递推方程，对于任意输入，对于任意输入ak，有：，有：(12.2-1)(12.2-2)(3) 特征方程特征方程，，特征多项式特征多项式：：(12.2-3)显然特征多项式反映的移位寄存器的反馈连接状显然特征多项式反映的移位寄存器的反馈连接状态（反馈系数）态（反馈系数）ci的值的值19 12.2.2 m序列序列 P3781. m序列的产生序列的产生(4) 本原多项式本原多项式 P383如果特征多项式如果特征多项式f(x)满足下列条件，则称为满足下列条件，则称为f(x)本原多项式本原多项式 (1) f(x)为既约的为既约的(不能分解因子的多项式不能分解因子的多项式); (2) f(x)可整除可整除(xm + 1)，，m = 2n – l; (3) f(x)除不尽除不尽(xq + 1) ，，q < m ;一一n级线性反馈移位寄存器能产生级线性反馈移位寄存器能产生m序列的充要条件为：序列的充要条件为： 反馈移位寄存器的特征多项式为反馈移位寄存器的特征多项式为n次本原多项式。
次本原多项式具有最长周期具有最长周期m = 2n – l，周期与初始状态无关周期与初始状态无关初始状态不考虑全初始状态不考虑全“0”状态20 12.2.2 m序列序列1. m序列的产生序列的产生(4) 本原多项式本原多项式 P383[例例]要求用一个要求用一个4级反馈移位寄存器产生级反馈移位寄存器产生m序列，序列，试求其特征多项式试求其特征多项式n = 4，，移位寄存器产生的移位寄存器产生的m序列的长度为序列的长度为m = 2n –1 = 15[解解]n = 4，，移位寄存器产生的移位寄存器产生的m序列的长度为序列的长度为m = 2n –1 = 15对对x15 +1 进行因式分解，寻找特征多项式进行因式分解，寻找特征多项式f(x)(12.2-18)其中第其中第1项和第项和第2项满足要求，是本原多项式，第项满足要求，是本原多项式，第3项不是本原多项式项不是本原多项式.两个两个4次本原多项式，互逆多项式，可产生两种次本原多项式，互逆多项式，可产生两种m序列：序列：因为该项既能整除因为该项既能整除x15+1，又能整除，又能整除x5+1 ，即：，即：(12.2-19)21 12.2.2 m序列序列 P3781. m序列的产生序列的产生(4) 本原多项式本原多项式 P383 为了使为了使m序列产生器的组成尽量简单，使用项数最少的那序列产生器的组成尽量简单，使用项数最少的那些本原多项式。
些本原多项式 从表中可以看到：本原多项式最少有三项（这时只需用一从表中可以看到：本原多项式最少有三项（这时只需用一个模个模2加法器）加法器）22 12.2.2 m序列序列 P3782. m序列的的性质序列的的性质(1) 均衡性均衡性在在m序列的一周期中，序列的一周期中，“1”和和“0”的数目基本相等的数目基本相等1”的个数比的个数比“0”的个数多一个的个数多一个2) 游程分布游程分布把一个序列中取值相同的那些连在一起的元素合称为一个把一个序列中取值相同的那些连在一起的元素合称为一个“游程游程”在一个游程中元素的个数称为游程长度在一个游程中元素的个数称为游程长度 在在m序列中，序列中， 长度为长度为1的游程占游程总数的的游程占游程总数的1/2；； 长度为长度为2的游程占游程总数的的游程占游程总数的1/4；； 长度为长度为 3的游程占游程总数的的游程占游程总数的1/8；；… 长度为长度为 k的游程数目占游程总数的的游程数目占游程总数的2k ；； 连连“ l”的游程和连的游程和连“0”的游程各占一半的游程各占一半23 12.2.2 m序列序列 P3782. m序列的的性质序列的的性质(3)移位相加特性移位相加特性一个一个m序列序列Mp与其经任意次迟延移位产生的另一不同序列与其经任意次迟延移位产生的另一不同序列Mr模模2相相加，得到的仍是加，得到的仍是Mp的某次迟延移位序列的某次迟延移位序列Ms ，即，即A:该序列与其该序列与其j次移位序列一个周期中对应元素相同的数目；次移位序列一个周期中对应元素相同的数目；D :该序列与其该序列与其j次移位序列一个周期中对应元素不同的数目；次移位序列一个周期中对应元素不同的数目；m :该序列的周期。
该序列的周期12.2-29)也可以改写成：也可以改写成：(12.2-37)(4) 自相关函数自相关函数(12.2-36)24 12.2.2 m序列序列 P3782. m序列的的性质序列的的性质(4) 自自相关函数相关函数上式分子等于上式分子等于m序列一个周期中序列一个周期中“0”的数目与的数目与“1”的数目之差；的数目之差； 由由m序列的均衡性可知，序列的均衡性可知，m序列一周期中序列一周期中“0”的数目比的数目比“l”的的数目少一数目少一1自相关函数也有周期性，周期也是自相关函数也有周期性，周期也是m;自相关函数是偶函数自相关函数是偶函数.(12.2-38)(12.2-39)(12.2-40)25 12.2.2 m序列序列 P3782. m序列的的性质序列的的性质(4) 自自相关函数相关函数将将m序列作为周期连续信号，则自序列作为周期连续信号，则自相关函数：相关函数：(12.2-41)(12.2-42)26 12.2.2 m序列序列 P3782. m序列的的性质序列的的性质(5) 功率密度谱功率密度谱功率谱功率谱Ps( )是自相关函数的傅立叶变换是自相关函数的傅立叶变换(12.2-43)式中，式中，T0是信号周期。
是信号周期27 12.2.2 m序列序列 P3782. m序列的性质序列的性质高斯白噪声进行二值化采样，用高斯白噪声进行二值化采样，用+或或−表示采样值，表示采样值，具有如下特性：具有如下特性：m序列的特性与上述性质类似，序列的特性与上述性质类似，m序列具有类白噪声特性序列具有类白噪声特性 1) 序列中序列中“+”和和“−”等概出现等概出现 2) 序列中长度为序列中长度为1的游程约占总数的的游程约占总数的1/2，长度为，长度为2的游程约占的游程约占总数的总数的1/4，长度为，长度为3的游程约占总数的的游程约占总数的1/8，长度为，长度为k的游程约的游程约占总数的占总数的1/2k ，，0游程、游程、1游程数量各占游程数量各占1/2 3) 白噪声的功率谱为常数，自相关函数为冲激白噪声的功率谱为常数，自相关函数为冲激6) 伪噪声特性伪噪声特性28 12.2.3 其它其它PN序列序列 P3901. M序列序列2. 二次剩余序列二次剩余序列3. 双素数序列双素数序列由由非线性非线性反馈移存器产生的周期最长的序列简称为反馈移存器产生的周期最长的序列简称为M序列29 12.3 扩展频谱通信扩展频谱通信 P3931. 概念概念扩展频谱（简称扩谱）系统：是指其中传输的信号被扩展扩展频谱（简称扩谱）系统：是指其中传输的信号被扩展至占据一很宽的频带的系统。
至占据一很宽的频带的系统其占用带宽远大于传输该原始信号所需的最小带宽其占用带宽远大于传输该原始信号所需的最小带宽)根据根据SHANNON公式：公式： (4.6-7)2. 分类分类(1)直接序列扩谱直接序列扩谱DS-SS ——最重要的应用，最重要的应用，CDMA用一数字编码序列调制载波，此序列的比特率甚高，其带宽远大于原始用一数字编码序列调制载波，此序列的比特率甚高，其带宽远大于原始信号带宽信号带宽2)跳频扩谱跳频扩谱FH-SS发射机的载波频率按照指令离散地跳变发射机的载波频率按照指令离散地跳变,即在一组预先指定的频率上跳即在一组预先指定的频率上跳变3) 线性调频线性调频在这种系统中，载频在一给定的脉冲时间中线性地扫过一个宽的频段在这种系统中，载频在一给定的脉冲时间中线性地扫过一个宽的频段30 12.3 扩展频谱通信扩展频谱通信 P3933. 扩频通信的目的扩频通信的目的(1) 提高抗窄带干扰的能力提高抗窄带干扰的能力对恶意的窄带干扰，有很好的抑制作用对恶意的窄带干扰，有很好的抑制作用2)通信保密，防止窃听通信保密，防止窃听功率谱密度小，淹没在噪声以下；功率谱密度小，淹没在噪声以下；使用了使用了PN码，本身具有一定的保密能力。
码，本身具有一定的保密能力3) 提高抗多径能力提高抗多径能力利用利用PN自相关函数的特点，可以分离多径信号自相关函数的特点，可以分离多径信号4) 多个用户可以共用同一个频带多个用户可以共用同一个频带 即即CDMA5) 测距能力测距能力 利用利用PN自相关函数的特点自相关函数的特点31 12.3 扩展频谱通信扩展频谱通信 P3934. 直接序列扩频直接序列扩频——DS-SS(1) 系统原系统原理框图理框图(2)扩频信号传扩频信号传输波形：扩频输波形：扩频与解扩与解扩chip码片码片32 12.3 扩展频谱通信扩展频谱通信 P3934. 直接序列扩频直接序列扩频——DS-SS(3) 信号的频谱变化信号的频谱变化33 12.4 PN序列的其它应用序列的其它应用 P3961. 多径分离多径分离利用利用PN序列（序列（m序列）自相关函数的特点实现多径信号的分离序列）自相关函数的特点实现多径信号的分离，即，即CDMA系统中的系统中的RAKE技术34 12.4 PN序列的其它应用序列的其它应用 P3962. 误码率测量误码率测量在实际测量数字通信系统的误码率时，最理想的信源应是随机在实际测量数字通信系统的误码率时，最理想的信源应是随机序列产生器。
序列产生器1). 闭环测量法闭环测量法采用采用PN序列主要适合与闭环线路测量，即：收发设备同地的序列主要适合与闭环线路测量，即：收发设备同地的方式35 12.4 PN序列的其它应用序列的其它应用 P396(2) 单程测量法单程测量法数字通信的发送设备和接收设备分处异地数字通信的发送设备和接收设备分处异地 由于发送端用的是伪随机序列由于发送端用的是伪随机序列(通常是通常是m序列序列)，， 接收端用同样的接收端用同样的m序列产生器，由同步信号控制，产生出相序列产生器，由同步信号控制，产生出相同的本地序列同的本地序列 本地序列和接收序列相比较，就可以检测误码本地序列和接收序列相比较，就可以检测误码36 12.4 PN序列的其它应用序列的其它应用 P3963. 时延测量时延测量由脉冲源产生一由脉冲源产生一周期周期性性窄窄脉冲序列，脉冲序列， 调节标准迟延线的迟延时间，使比较电路中两路脉冲同时到达，这调节标准迟延线的迟延时间，使比较电路中两路脉冲同时到达，这时标准迟延线的迟延时间就等于被测传输路径的迟延时间时标准迟延线的迟延时间就等于被测传输路径的迟延时间(1)时延测量的基本原理方法时延测量的基本原理方法——利用利用PN自相关函数自相关函数37 12.4 PN序列的其它应用序列的其它应用 P3963. 时延测量时延测量用移位的用移位的m序列与被测量的经过传输路径迟延的序列与被测量的经过传输路径迟延的m序列相关。
序列相关当两个序列的相位相同时，可得到相关峰，由移位当两个序列的相位相同时，可得到相关峰，由移位m序列与原序列与原m序列的相位差可以求得迟延序列的相位差可以求得迟延2) 时延测量采用时延测量采用m序列序列38 12.4 PN序列的其它应用序列的其它应用 P3964. 噪声产生器噪声产生器要求能产生限带要求能产生限带白色高斯白色高斯噪声 m序列的功率谱密度的包络是序列的功率谱密度的包络是(sinx/x) 形的设设 m序列的码元宽度为序列的码元宽度为T1秒，则大约在零至秒，则大约在零至(1/T1) × 45%Hz的的频率范围内，可以认为它具有频率范围内，可以认为它具有均匀均匀的功率谱密度的功率谱密度对于多次进行某一测量，都有较好的可对于多次进行某一测量，都有较好的可重复重复性39 12.4 PN序列的其它应用序列的其它应用 P3965. 通信加密通信加密将信源产生的二进制数字消息和一个周期很长的伪随机序列将信源产生的二进制数字消息和一个周期很长的伪随机序列模模2相加，这样就将原消息变成不可理解的另一序列相加，这样就将原消息变成不可理解的另一序列40 12.4 PN序列的其它应用序列的其它应用 P3966. 数据序列的扰乱与解扰数据序列的扰乱与解扰(1) 假定信源送出的假定信源送出的“0”和和“1”码元是码元是等概率等概率的。
的2) 在有些数字通信设备中，从在有些数字通信设备中，从“0”和和“1”码元的交变点提取码元的交变点提取位定时位定时信息，若经常出现长的信息，若经常出现长的“0”或或“l”游程，则将影响游程，则将影响位同步的建立和保持位同步的建立和保持3) 电路中存在的不同程度的非线性，有可能使其在多路通信系电路中存在的不同程度的非线性，有可能使其在多路通信系统其他路中造成串扰为了限制这种串扰，常要求数字信号统其他路中造成串扰为了限制这种串扰，常要求数字信号的的最小最小周期足够周期足够长长 加乱加乱技术就是不用增加多余度而搅乱信号，改变数字信号统技术就是不用增加多余度而搅乱信号，改变数字信号统计特性，使其近似于白噪声统计特性的一种技术计特性，使其近似于白噪声统计特性的一种技术41 12.4 PN序列的其它应用序列的其它应用 P3966. 数据序列的扰乱与解扰数据序列的扰乱与解扰加乱器的输入数字序列为加乱器的输入数字序列为加乱器的输出加乱器的输出解乱器的输出解乱器的输出本章结束本章结束42 。