1,第十章 球函数,开头：与第九章衔接球坐标中,,径向方程,分离变量,,,球函数方程,2,,继续分离变量： 方向角部分：令 x=cos， 得连带 Legendre 方程,3,§10.1 轴对称球函数 本节内容： ◆ Legendre多项式(轴对称球函数) 的基本理论Legendre多项式基本定义式，微分表式， 积分表式，第二类 Legendre 函数，正交关 系，模，广义傅里叶展开，母函数，递推公式 ◆轴对称球函数的应用具有球形边界区域中的稳定场定解问题的求解,4,本节要求：掌握（物理类） or 了解（其他类） ◆ Legendre多项式(轴对称球函数) 的基本理论 掌握 ◆轴对称球函数的应用,5,I. 轴对称球函数的基本理论(一) Legendre多项式（1） Legendre多项式的表达式m=0 时，连带 Legendre 方程成为Legendre 方程,6,,在 x=0邻域, Legendre 方程幂级数形式的通解可表示为：两级数的收敛范围均为 ，而 时，两 级数均发散。
物理上常常要求在 即 时解 有界即寻求Legendre 方程在 即 内的有界解7,注意到，若参数 取特殊值 系数递推公式成为 从而 这样，级数解中有 一个 退化为多项式，l 为偶数时，y0为l 次多项式，y1 仍为无穷级数， l 为奇数时，y1为l 次多项式， y0仍为无穷级数8,这样， 本征值： 本征函数：l 次多项式通常约定最高次幂项系数为,9,利用,,10,Legendre多项式,11,前七个Legendre多项式,12,Legendre多项式曲线,对称性关系:,,13,数值的计算 1）l=2n+1,2) l=2n 含常数项， 即 k=l/2=n 的项,14,（2）Legendre 多项式的微分表式：Rodrigues 公式证明：利用二项式定理,15,,将上式求导l次, 2l-2k
有,——施列夫利积分,17,取C为圆周，圆心在x,半径为,将此代入积分表式,18,——Laplace 积分,即：,19,显然，有（二）第二类 Legendre 函数当 l 为零或正整数，Legendre 方程的另一个线性独立解（利用朗斯基行列式, 结果为Liouville公式）：—称为 第二类 Legendre 函数20,,前三个函数形式：一般形式：,,21,可见，当 x =±1 时， Ql(x) 发散！Legendre 方程的通解可表示为：,,如果物理问题包含 =0 和 ，则存在自然边界条件， 因此：（1）l 是零或正整数；（2）常数C2必须取零 C2=0但如果物理问题不包含 =0 和 ，则可提出 通常的三类边界条件对于 l 为一般情形，这里不讨论22,（三）Legendre 多项式的正交关系不同次的Legendre 多项式在区间（-1，+1）上的正交：（四）Legendre 函数的模当 l=k, 可得到 Legendre 函数的模 Nl：,,23,用,以x=±1为一阶零点， 积出部分为零,24,分部积分l次,25,分部积分1次：,,分部积分l次：,26,（五）广义傅里叶级数函数系{P0(x), P1(x), P2(x),….}是完备的，因此，定义在[-1，+1]上的平方可积函数 f(x) 可展成广义 Fourier 级数：注意：以 为变量时，区间为[0，] ,并且带权：sin ,,27,例 1：在[-1，+1]上把展开成 Legendre 多项式。
解：,,,28,对任意的 x 成立，因此因此：,,,29,例 2：在[-1，+1]上把展开成 Legendre 多项式解：,,30,利用,,31,将微分表式代入，分部积分：,已积出部分为零第二项积分可直接积出，从而,此式在上限为零，需求出其在下限的值32,将二项式展开,求导2n-2次后，k=n+1项为常数，低于此项为零，高于此项 求导后以 代入后为零，从而：,33,最后得,34,(七) Legendre 多项式的母函数Legendre 多项式: 由Legendre 在势论中引进,与距离的 倒数 1/d 的展开有关(d 是电荷到场点M的距离).点电荷在场点产生的电势:M点的电势满足Laplace 方程:,,,z,35,两者相等,应该有(1) 球内 原点自然边界条件要求 Bl=0, 故二边令=0:比较级数二边:,,,,36,最后,由方程(1):因此,Legendre 多项式可看成左式在 r=0 附近作 Tayor 展开的系数左式称为 Legendre 多项式的母函数 (2) 球外: 无限远处自然边界条件得 Al=0,,37,母函数,右边20项和,右边200项和,38,以半径为R的球代替单位球，则,将Legendre 方程的多项式解的最高次项的系数取为就是为了使多项式与母函数（10.1.55）式按r展开时的展开系数一致（均为Pl (x)）!!,39,（八）Legendre 多项式的递推公式由母函数两边对 r 求导：两边乘（1-2rx+r2), 并再利用母函数比较两边r同次幂的系数，得到递推公式,,,,40,其它递推公式 将母函数两边对 x 求导：两边乘（1-2xr+r2), 并再利用母函数比较两边r同次幂的系数，得到,,,41,还可得到,42,例 3 计算定积分利用递推公式因此,43,再利用正交关系,,有,44,最后,45,,II. 轴对称球函数的应用具有球形边界区域中的稳定场定解问题的求解 例 4 在球 内部求解解：显然问题与 无关，相应的 Laplace 方程为1、通解为,46,因考虑球内问题 r=0, u 必须有限，因此 Bl=02、待定系数决定 ：由边界条件,,47,,因为,比较，可见,48,,例 5 半径为r0的半球，球面上温度保持为 ，底面绝热，试求半球内部稳定温度分布。
解：（1）定解问题（2）分析： 0<</2 即 0
57,例 7 点电荷电场中放置接地导体球，求电场的分布解：问题关于极角是对称的点电荷的电势：静电感应电荷产生电势v(r, )， 总电势：,,•,,,,,y,x,z,o,,,,,,,,,,58,因此，对 v(r, ) 有：Laplace 方程的一般解：由无限远处的边界条件：Al=0；,,59,由 球面边界条件比较二边：最终：,,,60,进一步利用母函数公式，得到可见感应电荷等效于电荷 -q(a/r1), 并且位于r0=a2/r1 (
因此方程（1）的解为,67,最后，连带 Legendre 方程的一个解为：——连带 Legendre 函数68,此三图用下述定义,x,x,x,69,,另一解为第二类连带 Legendre 函数 ，这样，方程的通解为,（2）连带 Legendre 函数的微分表式,70,的关系连带 Legendre 方程只出现 m2, 对（+m） 和 （-m） 应该得到同样的结果，故 应该都是连带 Legendre 方程的解事实上，两式仅相差一个常数：,71,即：,72,（3）连带 Legendre 函数的积分表示,——拉普拉斯积分,73,（二）连带 Legendre 函数的正交关系：注意：上式中m 应相同 （三）连带 Legendre 函数的模,74,分部积分，积出部分为零,分部积分m次,75,76,（四）广义 Fourier 展开函数系 是完备的，因此，定义在[-1，+1]上的平方可积函数 f(x) 可展成广义 Fourier 级数：,77,注意： （1）对不同的 m 可得到许多完备系；（2）当l<|m|, ，展式从 l＝|m| 的项开始。
78,例1 以 为基，在x的区间[-1，+1] 上将函数 展为广义傅里叶级数 解： 查表得：计算：,79,分部积分一次,80,例2 以 为基，在x的区间[-1，+1] 上将函数 展为广义傅里叶级数 解：,,,,,,,,-1,1,x,f(x),o,81,82,（五）递推公式,83,§10.3 一般的球函数本节内容： ◆一般的球函数的基本理论一般的球函数的表达式，正交关系，模， 广义傅里叶展开 ◆一般的球函数的应用球形区域非轴对称稳定场问题求解,84,本节要求：掌握（物理类） or 了解（其他类） ◆一般的球函数的基本理论 掌握 ◆一般的球函数的应用,85,I. 一般的球函数的理论 （一）一般的球函数 （1）实数形式（2）复数形式对每一个 l, 有（2l+1）个独立的球谐函数86,（二）正交关系：,,87,（三）球谐函数的模,,88,复数形式球谐函数的模（四）球面上的广义 Fourier 展开：定义在球面 S: (0, 02) 上的平方可积函数 f(,) 可展成广义 Fourier 级数：,。