1,第一章,分析基础,函数,极限,连续,— 研究对象,— 研究方法,— 研究桥梁,,函数的极限与连续,2,第一章,一、函数的概念,二、函数的性质,第一节,函数及其性质,三、建立函数关系举例,3,元素 a 属于集合 M , 记作,元素 a 不属于集合 M , 记作,一、 函数的概念,（一） 集合、区间与邻域：,定义,具有某种特定性质的事物的总体称为集合.,组成集合的事物称为元素.,不含任何元素的集合称为空集 ,,记作 .,注: M 为数集,表示 M 中排除 0 的集 ;,表示 M 中排除 0 与负数的集 .,,4,集合表示法：,(1) 列举法：,按某种方式列出集合中的全体元素 .,例:,有限集合,自然数集,(2) 描述法：,x 所具有的特征,例: 整数集合,或,有理数集,p 与 q 互质,实数集合,x 为有理数或无理数,开区间,闭区间,,5,,无限区间,点a 的 邻域,,,其中, a 称为邻域中心 , 称为邻域半径 .,半开区间,点a 的去心 邻域,点a 的左 邻域 :,右 邻域 :,6,是 B 的子集 , 或称 B 包含 A ,,集合之间的关系及运算,定义,则称 A,若,且,则称 A 与 B 相等,,例如 ,,显然有下列关系 :,,,,,,若,设有集合A 、B，,记作,记作,必有,,7,,,,,,定义 给定两个集合 A, B,,并集,交集,且,差集,且,定义下列运算:,,,,A的余集,直积,特例:,为平面上的全体点集.,或,8,（二） 函数的概念,1. 函数的定义,设 x 和 y 是两个变量, D 是R 的非空子集,任意,变量 y 按照某个对应关系( 如f )有唯一确定的实数与之对应( 记作f (x) )，则称 y (= f (x) )是定义在D上的函数.,称为函数的值域.,称 x 为自变量，称 y 为因变量， D称为函数y (=f (x) )的定义域，数集 f ( D ) =,,,,,,,,函数图形是点集:,9,(对应关系),(值域),(定义域),,,定义域: 是指使表达式及实际问题都有意义的自变量集合.,对应关系的表示方法，即为函数的表示法，常用的方法有：表格法、图示法及公式法（解析法） .,,确定函数的两要素：由定义可知， 两个函数只有它们的对应关系、定义域都相同时，才是同一个函数.,,10,如绝对值函数,定义域,值 域,与 函数 g (x) = x,,定义域 D = R, 值域 f ( D ) = R,,虽然定义域相 同, 但在 x 0 时对应关系不相同,所以,是两个不同的函数.,但f (x)与,则是同一个函数.,在函数的解析法表示中, 除一般的表达式外，还包括分段函数（后面详讲）、参数式函数和隐函数.,11,2 . 基本初等函数及其图象:,幂函数,指数函数,对数函数,三角函数,反三角函数,以上函数称为基本初等函数. (注意:其他函数都不是),12,3. 复合函数,则任意,可得到一个以x 为自变量、y 为因变量,的函数 ,,和,合函数.,的复,称为中间变量.,是它的定义域 ,,通过,变量 y 有确定的值,与之对应,,记作,的定义域为,而,该函数称为,u,设函数,的定义域为,且其值域,13,例如, 函数,函数,不能构成复合函数 .,可定义复合,注意：(1) 不是任意两个函数都可以复合成,(2)复合函数还可以有两个以上函数的复合而成.,= [ 0 , 1 ],复合函数,如函数,14,例如,,可定义复合函数:,,15,(1)会将几个函数复合成复合函数;,学习复合函数的要求:,(2)分析复杂函数的构造并会将其分解.,例1 设函数,求,解,16,例2 分别指出下列函数是由哪些简单函数复合而成的.,(1),解 该函数由,(2),解 该函数由,(3),解 该函数由,复合而成.,复合而成.,复合而成.,17,4. 初等函数,由常数及基本初等函数,否则称为非初等函数 .,例如 ,,并可用一个式子表示的函数 ,,经过有限次四则运算,和复合步骤所构成 ,,称为初等函数 .,可表为,故为初等函数.,又如 , 双曲函数与反双曲函数也是初等函数 .,18,5. 分段函数,如果一个函数在自变量不同的取值范围内用不同的式子来表示，这样的函数称为分段函数．,注意：分段函数除个别外， 一般不是初等函数．,如：符号函数,当 x 0,当 x = 0,当 x 0,,,显然，符号函数不是初等函数 .,19,例3 已知分段函数,求,及,解,函数无定义,并写出 f (x) 定义域及值域 .,,f (x)定义域,f (x)值域,,20,例4 求,的反函数及其定义域.,解:,当,时,,则,当,时,,则,当,时,,则,反函数,定义域为,,,,,,,21,二、函数的性质,设函数,且有区间,1. 有界性,使,称,使,称,说明: 还可定义有上界、有下界、无界,2 .单调性,为有界函数.,在 I 上有界.,使,若对任意正数 M , 均存在,则称 f ( x ) 无界.,称 为有上界,称 为有下界,当,,时,,称,为 I 上的,称,为 I 上的,单调增加函数 ;,单调减少函数 .,,22,3. 奇偶性,且有,若,则称 f (x) 为偶函数;,若,则称 f (x) 为奇函数.,说明: 若,在 x = 0 有定义 ,,为奇函数时,,,则当,必有,例如,,偶函数,,,,,,,,,,双曲余弦,记,23,,,,,,,,,,,,,又如,,奇函数,双曲正弦,记,再如,,奇函数,,,,双曲正切,记,,24,4. 周期性,且,则称,为周期函数 ,,若,称 l 为周期,( 一般指最小正周期 ).,周期为 ,周期为,注: 周期函数不一定存在最小正周期 .,例如, 常量函数,狄里克雷函数,x 为有理数,,x 为无理数.,,25,例5 讨论函数,的特性.,解 函数的定义域 D = R,(1) 讨论有界性,所以函数 f (x)在R上是有界的；,(2) 讨论奇偶性,任意,任意,26,(3) 讨论单调性, 0,,所以函数f (x) 在R上是单调增加函数.,任意,所以函数f (x) 在R上是奇函数;,27,三、建立函数关系的实例,时，,28,29,内容小结,1. 集合及其运算,,定义域 对应关系,3. 函数的特性,,有界性, 单调性, 奇偶性, 周期性,4. 初等函数的结构,作业 P.8 习题1. 1 1.(3)(4) ; 5. ; 6.(2)(4)(6),2. 函数的定义及函数的二要素,30,且,备用题,证明,证: 令,则,由,消去,得,时,其中,a, b, c 为常数,,且,为奇函数 .,为奇函数 .,1. 设,,31,2 . 设函数,的图形与,均对称, 求证,是周期函数.,证:,由,的对称性知,于是,故,是周期函数 ,,周期为,。