函数的极值与导数教案

"函数的极值与导数"教案§函数的极值与导数〔1〕【教学目标】1．理解极大值、极小值的概念．2．能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值．3．掌握求可导函数的极值的步骤．【教学重点】极大、极小值的概念和判别方法，以及求可导函数的极值的步骤．【教学难点】对极大、极小值概念的理解及求可导函数的极值的步骤．【容分析】对极大、极小值概念的理解，可以结合图象进展说明．并且要说明函数的极值是就函数在*一点附近的小区间而言的． 从图象观察得出，判别极大、极小值的方法．判断极值点的关键是这点两侧的导数异号．【教学过程】一、复习引入：1．函数的导数与函数的单调性的关系：设函数y=f(*) 在*个区间有导数，如果在这个区间>0，则函数y=f(*) 在为这个区间的增函数；如果在这个区间<0，则函数y=f(*) 在为这个区间的减函数．2．用导数求函数单调区间的步骤：①求函数f(*)的导数f′(*)． ②令f′(*)＞0解不等式，得*的围就是递增区间．③令f′(*)＜0解不等式，得*的围，就是递减区间．二、讲解新课：1．极大值： 一般地，设函数f(*)在点*0附近有定义，如果对*0附近的所有的点，都有f(*)＜f(*0)，就说f(*0)是函数f(*)的一个极大值，记作y极大值=f(*0)，*0是极大值点．2．极小值：一般地，设函数f(*)在*0附近有定义，如果对*0附近的所有的点，都有f(*)＞f(*0)．就说f(*0)是函数f(*)的一个极小值，记作y极小值=f(*0)，*0是极小值点．3．极大值与极小值统称为极值．在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值．请注意以下几点：〔ⅰ〕极值是一个局部概念由定义，极值只是*个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小．并不意味着它在函数的整个的定义域最大或最小．〔ⅱ〕函数的极值不是唯一的．即一个函数在*区间上或定义域极大值或极小值可以不止一个．〔ⅲ〕极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值，如以下列图所示，是极大值点，是极小值点，而>．〔ⅳ〕函数的极值点一定出现在区间的部，区间的端点不能成为极值点．而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的部，也可能在区间的端点．4． 判别f(*0)是极大、极小值的方法：假设满足，且在的两侧的导数异号，则是的极值点，是极值，并且如果在两侧满足"左正右负〞，则是的极大值点，是极大值；如果在两侧满足"左负右正〞，则是的极小值点，是极小值．5． 求可导函数f(*)的极值的步骤： (1)确定函数的定义区间，求导数f′(*)．(2)求方程f′(*)=0的根．(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成假设干小开区间，并列成表格．检查f′(*)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，则f(*)在这个根处取得极大值；如果左负右正，则f(*)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，则f(*)在这个根处无极值三、讲解例：例1求y=*3－4*+4的极值．解：y′=(*3－4*+4)′=*2－4=(*+2)(*－2)．令y′=0，解得*1=－2，*2=2．当*变化时，y′，y的变化情况如下表．-2(-2,2)2+0－0+↗极大值↘极小值↗∴当*=－2时，y有极大值且y极大值=．当*=2时，y有极小值且y极小值=－例2求y=(*2－1)3+1的极值．解：y′=6*(*2－1)2=6*(*+1)2(*－1)2令y′=0解得*1=－1，*2=0，*3=1．当*变化时，y′，y的变化情况如下表．-1(-1,0)0(0,1)1－0－0+0+↘无极值↘极小值0↗无极值↗∴当*=0时，y有极小值且y极小值=0求极值的具体步骤：第一，求导数f′(*)．第二，令f′(*)=0求方程的根，第三，列表，检查f′(*)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，则f(*)在这个根处取得极大值；如果左负右正，则f(*)在这个根处取得极小值，如果左右都是正，或者左右都是负，则f(*)在这根处无极值．如果函数在*些点处连续但不可导，也需要考虑这些点是否是极值点．四、课堂练习：1．求以下函数的极值．(1)y=*2－7*+6 (2)y=*3－27*(1)解：y′=(*2－7*+6)′=2*－7令y′=0，解得*=．当*变化时，y′，y的变化情况如下表．－0+↘极小值↗∴当*=时，y有极小值，且y极小值=－．(2)解：y′=(*3－27*)′=3*2－27=3(*+3)(*－3)令y′=0，解得*1=－3，*2=3．当*变化时，y′，y的变化情况如下表．-3(-3,3)3+0－0+↗极大值54↘极小值-54↗∴当*=－3时，y有极大值，且y极大值=54．当*=3时，y有极小值，且y极小值=－54．五、小结 ：函数的极大、极小值的定义以及判别方法．求可导函数f(*)的极值的三个步骤．还有要弄清函数的极值是就函数在*一点附近的小区间而言的，在整个定义区间可能有多个极值，且要在这点处连续．可导函数极值点的导数为0，但导数为零的点不一定是极值点，要看这点两侧的导数是否异号．函数的不可导点可能是极值点．六、课后作业：§函数的极值与导数〔2〕【课　　题】函数的极值〔2〕【教学目标】熟练掌握求可导函数的极值的步骤，灵活应用．【教学重点】极大、极小值的判别方法，求可导函数的极值的步骤的灵活掌握．【教学难点】求可导函数的极值．【教学过程】1．用导数求函数单调区间的步骤：①求函数f(*)的导数f′(*)． ②令f′(*)＞0解不等式，得*的围就是递增区间．③令f′(*)＜0解不等式，得*的围，就是递减区间．2．极大值： 一般地，设函数f(*)在点*0附近有定义，如果对*0附近的所有的点，都有f(*)＜f(*0)，就说f(*0)是函数f(*)的一个极大值，记作y极大值=f(*0)，*0是极大值点．3．极小值：一般地，设函数f(*)在*0附近有定义，如果对*0附近的所有的点，都有f(*)＞f(*0)．就说f(*0)是函数f(*)的一个极小值，记作y极小值=f(*0)，*0是极小值点．4．极大值与极小值统称为极值，注意以下几点：〔ⅰ〕极值是一个局部概念．由定义，极值只是*个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小．并不意味着它在函数的整个的定义域最大或最小．〔ⅱ〕函数的极值不是唯一的．即一个函数在*区间上或定义域极大值或极小值可以不止一个．〔ⅲ〕极大值与极小值之间无确定的大小关系．即一个函数的极大值未必大于极小值，如以下列图所示，是极大值点，是极小值点，而>．〔ⅳ〕函数的极值点一定出现在区间的部，区间的端点不能成为极值点．而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的部，也可能在区间的端点．5． 判别f(*0)是极大、极小值的方法：假设满足，且在的两侧的导数异号，则是的极值点，是极值，并且如果在两侧满足"左正右负〞，则是的极大值点，是极大值；如果在两侧满足"左负右正〞，则是的极小值点，是极小值．6． 求可导函数f(*)的极值的步骤： (1)确定函数的定义区间，求导数f′(*)；(2)求方程f′(*)=0的根；(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成假设干小开区间，并列成表格．检查f′(*)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，则f(*)在这个根处取得极大值；如果左负右正，则f(*)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f(*)在这个根处无极值．二、讲解例：例1 对可导函数，在一点两侧的导数异号是这点为极值点的〔 〕A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件答案：C． 充要条件．由极大、极小值的判别方法可以知道是充分条件．由极大值点的定义，任意*＜*0，f(*)＜f(*0)．所以左侧是增函数，所以f′(*)＞0，任意*＞*0，f(*)＜f(*0)．所以右侧是减函数，所以f′(*)＜0，所以*0两侧的导数异号．当*0是极小值时，同样可以证明．例2以下函数中，*=0是极值点的函数是(B)A．y=－*3 B．y=cos2*C．y=tan*－* D．y=分析：做这题需要按求极值的三个步骤，一个一个求出来吗.不需要，因为它只要判断*=0是否是极值点，只要看*=0点两侧的导数是否异号就可以了．解：A． y=－*3，∵y′=(－*3)′=－3*2，当*＜0或*＞0时，y′＜0，∴*=0不是极值点．B． y=cos2*． ∵y′=(cos2*)′=2cos*(－sin*)=－sin2*． 当*＜0时，－sin2*＞0，y′＞0． 当*＞0时，－sin2*＜0，y′＜0．∴*=0是y=cos2*的极大值点．C．y=tan*－*，y′=(tan*－*)′=－1,当*＜0或*＞0时，0＜cos2*＜1，y′＞0．∴*=0不是极值点．D． y=． y′=()′=－, 当*＜0或*＞0时y′＜0，∴*=0不是极值点，应选B．例3 以下说确的是(C)A．函数在闭区间上的极大值一定比极小值大．B．函数在闭区间上的最大值一定是极大值．C．对于f(*)=*3+p*2+2*+1，假设｜p｜＜，则f(*)无极值．D．函数f(*)在区间(a，b)上一定存在最值．答案：C．∵f(*)=*3+p*2+2*+1．∴f′(*)=3*2+2p*+2．∵Δ=4p2－4×3×2=4(p2－6)．假设｜p｜＜．则Δ＜0，∴f′(*)=0无实根，即f′(*)＞0， ∴f(*)无极值．选项A、B、D可以通过举出反例说明是假命题．例4 函数f(*)=asin*+sin3*在*=处具有极值，求a的值．分析：f(*)在*=处有极值，根据一点是极值点的必要条件可知，f′()=0可求出a的值．解：f′(*)=(asin*+sin3*)′=acos*+cos3*∵f′()=0，∴a·cos+cos3×=0，a－1=0，∴a=2．例5y=aln*+b*2+*在*=1和*=2处有极值，求a、b的值．解：y′=(aln*+b*2+*)′=+2b*+1．∵y′｜*=1=0，y′｜*=2=0．∴．例6 确定函数y=的单调区间，并求函数的极大、极小值．解：y′=令＞0，解得－1＜*＜1．∴y=的单调增区间为(－1，1)．令＜0，得*＜－1或*＞1，∴y=减区间为(－∞，－1)与(1，+∞)．令y′==0，解得*1=－1，*2=1．当*变化时，y′，y的变化情况如下表：-1(-1,1)1－0+0－↘极小值↗极大值↘∴当*=－1时，y有极小值，且y极小值=－，当*=1时，y有极大值，且y极大值=．例7 求函数y=的极值与极值点．解：y′=()′，令y′=0，解得*=．*变化时，y′，y的变化情况如下表：+0－↗极大值↘∴当*=时，y有极大值，且y极大值=．例8 求函数y=*2ln*的极值．解：定义域为(0，+∞)，y′=(*2ln*)′=2*ln*+*2·=2*ln*+*=*(2ln*+1)．令y′=0，得*=．当*变化时，y′，y的变化情况如下表：－。