方差分析和2k因子、3k因子设计

第一节：单因素试验的方差分析第二节：双因素试验的方差分析第三节：因子设计的一般概念第四节： 2k 因子设计第五节： 3k 因子设计第二讲：方差分析和 2k因子、 3k因子设计假设：单因素 A有 a个水平 A1， A2, … … , Aa，在水平 Ai(i=1, 2, … … , a)下，进行 ni次独立试验，得到试验指标的观察值列于下表：我们假定在各个水平 Ai下的样本来自具有相同方差 σ2，均值分别为 μi的正态总体 Xi~N(μi , σ2 )，其中 μi , σ2均为未知，并且不同水平 Ai下的样本之间相互独立可以取得下面的线性统计模型：xij= μ+δi +εij , i = 1, 2, … …, a; j = 1, 2, … … , ni, εij ~ N (0, σ2)其中 δi = μi -μ第一节：单因素试验的方差分析方差分析的任务就是检验线性统计模型中 a个总体 N(μi,σ2)中的各 μi的相等性，即有 :原假设 H0: μ1 =μ2 = … … =μa对立假设 H1: μi =μj 至少有一对这样的 i, j, 也就是下面的等价假设：H0: δ1 =δ2 =… … =δa = 0H1 : δi = 0 至少有一个 i第一节：单因素试验的方差分析总离差平方和的分解 :记在水平 Ai 下的样本均值为样本数据的总平均值为总离差平方和为将 ST改写并分解得第一节：单因素试验的方差分析 in 1j ijii.xn1x  inj ijaiixnx111   inj ijaiT xxS 1 21 )( )()(2)()()()(.1.112.112.121..1iijnjiainjiijainjiainjiijiaiTxxxxxxxxxxxxSiiii总离差平方和的分解 (2):上面展开式中的第三项为 0若记 SA=SE=则有： ST = SA + SEST表示全部试验数据与总平均值之间的差异SA表示在 Ai水平下的样本均值与总平均值之间的差异 , 是组间差SE表示在 Ai水平下的样本均值与样本值之间的差异 , 是组内差，它是由随机误差引起的。

第一节：单因素试验的方差分析injiaixx12.1)(injiijaixx12.1)(自由度的概念 :在实际计算中，我们发现在同样的波动程度下，数据多的平方和要大于数据少的平方和，因此仅用平方和来反映波动的大小还是不够的我们要设法消去数据个数的多少给平方和带来的影响为此引入了自由度的概念一个直观的想法是用平方和除以相应的项数，但应把项数加以修正，这个修正的数就叫自由度ST的自由度为 ( n - 1);SE的自由度为 ( n - a);SA的自由度为 ( a - 1);均方 :MSA = SA/ (a-1); MSE = SE/ (n-a)第一节：单因素试验的方差分析方差分析 :在 H0成立的条件下，取统计量 F = MSA/MSE ~ F (a - 1, n - a)对于给出的 α， 查出 Fα(a - 1, n - a)的值， 由样本计算出 SA和 SE， 从而算出 F值从而有如下判断：若 F > Fα (a - 1, n - a)， 则拒绝 H0；若 F 4.43=F0.01(4, 20)故拒绝原假设 H0， 接受 H1: μi =μj说明棉花的百分比对人造纤维的抗拉强度有影响。

第一节：单因素试验的方差分析无交互作用的方差分析 :设两因素 A， B A有 a个水平 A1， A2, … … , Aa， B有 b个水平， B1， B2, … …, Bb, 在每一个组合水平 (Ai, Bj)下，进行一次无重复试验，得到试验指标的观察值列于下表：设 Xij~N(μij, σ2 )，各 xij相互独立可以取得下面的线性统计模型：xij= μ+αi +βj+εij , i = 1, 2, … …, a; j = 1, 2, … … , b, εij ~ N (0, σ2), 各相互独立，其中 μ, αi,,βj ,σ2都是未知数第二节：双因素试验的方差分析   ai bj ji Ba1 1 0,0对这个线性模型，我们检验如下的假设HA0: α1 =α2 = … … =αa = 0HA1: αi = 0 至少有一个 i, HB0: β1 =β2 =… … =βb = 0HB1: βj= 0 至少有一个 j第二节：双因素试验的方差分析总离差平方和的分解 :记在水平 Ai 下的样本均值为记在水平 Bj下的样本均值为样本数据的总平均值为总离差平方和为将 ST改写并分解得记为 ST = SA (效应平方和 )+ SB (效应平方和 )+ SE (误差平方和 )第二节：双因素试验的方差分析 bj iji xbx 1. 1 ai ijj xax 1. 1   aibj ijxabx1 11   aibjijT xxS1 12)(      aibjaibjjiijjiT xxxxxxaxxbS1 1 1 12..2.2. )()()(自由度 :ST的自由度为 ( ab - 1);SA的自由度为 ( a - 1);SB的自由度为 ( b - 1);SE的自由度为 ( a - 1)(b-1);均方 :第二节：双因素试验的方差分析.)1)(1(,1,1baSMSbSMSaSMSEEBBAA方差分析 :在 H0成立的条件下，取统计量对于给出的 α， 查出 Fα(a - 1, (a - 1)(b-1)), Fα(b - 1, (a - 1)(b-1))的值， 由样本计算出 F1, F2值。

从而有如下判断：若 F 1> Fα (a - 1, (a-1)(b-1))， 则拒绝 HA0， 否则就接受；若 F2 > Fα (b - 1, (a-1)(b-1))， 则拒绝 Hbo， 否则就接受；为了方便计算，我们采用下面的简便计算公式：第二节：双因素试验的方差分析))1)(1(,1(~))1)(1(,1(~21babFMSMSFbaaFMSMSFEBEABATEbjjBaiiAaibjijTSSSSabxaxSabxbxSabxxS  ,,,12..2.12..2.1 12..2方差分析表 :第二节：双因素试验的方差分析例 2： (双因素无交互作用的方差分析 )使用 4种燃料， 3种推进器作火箭射程试验，每一种组合情况做一次试验，则得火箭射程列在表中，试分析各种燃料 (Ai)与各种推进器 (Bj)对火箭射程有无显著影响 (α=0.05)第二节：双因素试验的方差分析解 :设火箭的射程为 : xij =μ+αi+βj+εij, i =1, 2, 3, 4, j = 1, 2, 3原假设 HA0: α１ =α２ =α３ =α４ =0HB0: β１ =β２ =β３ =0备择假设 HA1:αi=0, 至少一个 iHB1:βj=0, 至少一个 j这里 a=4, b=3, ab=12第二节：双因素试验的方差分析7 3 1 9 82 2 3 8 51 5 7 5 91 1 1 3 4 22 2 3 8 5126 8 7 4)2 0 4 82 3 7 92 4 3 2(411241 5 7 5 9126 8 7 4)1 8 2 71 7 0 21 5 4 81 7 9 7(311231 1 1 3 4 2126 8 7 44 8 7...5 8 2123122222..2.41222222..2.41312222..2  BATEjjbiiAi jijTSSSSxxSxxSxxS解 (2):给出的 α=0.05, 查出 F0.05(3, 6)=4.76, F0.05(2, 6) = 5.14因为 F1=0.4311.26, FB = 19.13>11.26, FAB = 2.133.35, FB = 28.98>3.35，所以材料类型和温度的效果都是显著的，尤其是温度更为显著FAxB = 3.56>2.73，所以材料类型和温度之间有较显著的交互作用。

第五节： 3k 因子设计33设计 :33因子设计有 3个因子 A， B， C，每个因子有 3个水平 0、 1、 2因子的水平组合共有 27个；这27个组合有 26个自由度，每个因子的主要效果有两个自由度，每一个两因子的交互作用有 4个自由度， 3个因子的交互作用有 8个自由度如果每种组合下做 n次重复试验，总自由度为 (n33 -1)个，误差的自由度为 33(n-1).第五节： 3k 因子设计例 6:用一个机器往瓶中装饮料，要考察由于起泡而引起的饮料损失的量 .影响起泡沫的因子有 3个：管嘴形状 (A)，操作员 (B)，工作压力 (C)，取 3 种管嘴， 3名操作员， 3种压力，每种因子水平组合下做两次重复试验，测出饮料损失量试分析管嘴形状、操作人员、工作压力及其交互作用对饮料损失量的影响 α=0.05, 0.01第五节： 3k 因子设计解 :考虑到运算的方便性，我们将每一个观察值都减去 70得到一个新表另外： y.0.. = 124+188+44 = 356y.1.. = -155-348-289 = -792y.2.. = 176+127+288 = 591第五节： 3k 因子设计为了计算各平方和，还要列出下面的和这里 a = b = c = 3, n = 2各平方和的计算如下第五节： 3k 因子设计第五节： 3k 因子设计50.1 1 2 1 5,09.1 7 2 0 6 2541 5 54)52(...)25()35(14.4 6 6 963.1 2 3 9 041.7 5 7 241.6 3 7 915.6 8 1 0 048.6 0 8 4 837.8 8 6541 5 5]58...1 0 5)60[(21,63.1 2 3 9 015.6 8 1 0 048.6 0 8 4 8541 5 5]74...)3 5 0()93[(6141.7 5 7 215.6 8 1 0 037.8 8 6541 5 5])1 4 0(...)58()1 9 0[(6141.6 3 7 948.6 0 8 4 837.8 8 6541 5 5]2 8 8...1 5 51 2 4[61,15.6 8 1 0 0541 5 5])3 3 9(9 5 3)4 5 9[(181,48.6 0 8 4 8541 5 5]5 9 1)7 9 2(3 5 6[181,37.8 8 6541 5 5]43)33(1 4 5[181222221 1 12. . . .1222222. . . .1 1 1222222. . . .1 12..22222. . . .1 12..22222. . . .1 12..22222. . . .12...22222. . . .12...22222. . . .12. . .                ABCBCACABCBATEaibjcknli j k lTBCACABCBAaibjcki j kABCCBbjckjkBCCAaickkiACBAaibjijABcikCbjj。