周长最小值专题（完整版 师用）A.线段和最小值两种基本模型如图，要在街道旁修建一个奶站 P,向居民区A、B提供牛奶，奶站P应建在什么地方，才能使从 A，B到它的距离之和最短？为什么？AA（求线段和最小值的一般步骤：① 选点P所在直线I为对称轴；画出点A的对称点A'② 连结对称点A'与B之间的线段，交直线I于点P,点P即为所求的点，线段A' B的长就是AP+BP的最小值 基本解法：:利用对称性，将“折”转“直”基础训练1.如图 11 ,梯形 ABCD 中，AD//BC , AB=CD=AD=1 , ZB=60 ° ,直线MN为梯形ABCD的对称轴，P为MN上一点，那么PC+PD的最小值为A/\CA. 1 B. C. D.2试题分析：连接AC,与MN所得交点即为所求P点，因为D与A关于MN对称,的最小值即符合两点之间线段最短，所以AC与MN交点即为所求 P点因为，所以，所以，所以，此时2.如图4，菱形ABCD中，AB=2，/BAD=60 °,E是AB的中点,P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值是分析:首先分解此图形，构建如图5模型，因为E、B在直线AC的同侧，要在AC上找一点P，使PE+PB最小，关键是找出点B或E关于AC的对称点。
如图6，由菱形的对称性可知点 B和D关于AC对称，连结DE,此时DE即为PE+PB的最小值，A图5 图6由 /BAD=60 °, AB二AD , AE=BE 知,DE 3 2 32故PE+PB的最小值为■. 32•如图，已知点A是半圆上一个三等分点，点B是弧AN的中点, 点P是半径ON上的动点，若O的半径长为1 ,则AP+BP的最小值为P位于A 'B与MN的交点处,AP+BP的值最小;作A关于MN的对称点A '，根据圆的对称性，则A '必在圆上,连接BA '交MN于P,连接PA,则PA+PB最小，此时PA+PB=PA+PB=A B,连接 OA、OA '、OB ,IPAP+BPK&JmI是迈・B.三角形周长最小值1.福建彰州)如图 4，/AOB=45 °,P是/AOB内一点，PO=10 ,(福建彰州)如图 4，/AOB=45 °,P 是ZAOB内一点，PO=10 , Q、R分别是OA、OB上的动点，求△ PQR周长的最小值.分析：点P是角内部的一个定点，要在角的两边各确定一点使这三点连成的三角形周长最小，只需将这三边的和转化为以两定点为端点的一条折线.解：分别作点P关于OA、OB的对称点Pi、P2,连结P1P2,根据轴对称性易知：OP1=OP 2=OP=1O , ZP1OP2=2 ZAOB=90 ° ,因而P1P2= 2 10 ,故△PQR周长的最小值为2 J0 .2•如图，抛物线y=-x2+bx+c 与x轴交于A(1 , 0), B(-3 , 0)两点,(1)求该抛物线的解析式(2)设(1)中的抛物线交y轴于点C,在该抛物线的对称轴上是否存在点Q,使得QAC的周长最小？如果存在，求出点 Q的坐标；若不存在，请说明理 由。
3)在第二象限的抛物线上是否存在一点 P,是APBC的面积最大？若存在，求出点P坐标及APBC面积的最大值;若不存在，请说明理由<4)若点M从B点臥毎秒扌个单位沿Ba方向向止点运动，同时，点II从C点以每科农个单也问沿6方向A点运动，问t当为何煩时，以巧趴*为顶点的三角形与△<)蛮相佩？重点分析第（2）问，要使△QAC的周长最小即AC+CQ+QA最小，由于AC长度一定，故只要CQ+QA最小时，周长最小设抛物线的对称轴为直线 MN ， 则可分解出图形，构建模型，要在直线 MN上找点Q,使CQ+QA最小由抛 物线的对称性可知，点 A、点B关于直线MN对称，连结BC交MN于点Q， 只要找出点Q的位置，其坐标不难求得解：(1 )将A ( 1 1 0 ) ! B(7 J □)代yr-x'+bx+C中得(EK, Z[-9—3 沁二 0(b = -2 J L■J ・心分)咒抛物纸解析式为；尸-沪-力+3； W分｝（2）存在.C5分〕理由如下：由题知两点关于抛物线的对称曲対称,；・StlBC与沪-1的交点即为Q点p曲时周辰最小，'/ y=-K"~2x+3)二C的坐标为；(山"*Si y=x+3i < 6S )k=- 1.时 i y=-H-3=2 j二点Q的坐标是Q(-1 ? 2)? (?分)(3)存花.辽分)理由如下；如鼬设卩点(1- -i2-2z+3)卜3<*5，则PE= (-x=-2x+3) - (t+3) =-xz-3i■'■ SA=FC=|xPEX [h- (-3) ]4xpEX (0-k),z z弓 M (宀)+士)H(Kd+3x) r当匸抽砸c的ffiiflw®大值，最大值是务jL K当孟二时* -:r-2算+3二丄.2 4二点F坐标为(-右: (11分》(4)在Rt AOB匚中,BC=\ob2-^oc2=^运动t 秒时 j BH=lt，BN=3j2-j2t >3>ZEFN^ 直酋时，■? AMBN^ AOBC -・ SXf EV・■ ■OB BCJ迈是盲角■: AMEWM AOBC ・BC OB弔3CB图1 4g o奈上所逹，t为寸或F时，以恥恥N再顶点的三角形与山吒C相似.3.如图，已知抛物线 y=ax2+bx+c 过 A (3 , 3.5 )、B (4 , 2 )、C (0 , 2 )三点，点 P是x轴上的动点.(1 )求抛物线的解析式;(2 )如图甲所示，连接 AC、CP、PB、BA，是否存在点P,使四边形ABPC为等腰梯形? 若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；(3 )点H是题中抛物线对称轴I上的动点，如图乙所示，求四边形 AHPB周长的最小值.(1 )利用待定系数法，将点 A , B, C的坐标代入解析式即可求得；(2 )根据等腰梯形的判定方法分别从 PC//AB与BP //AC去分析，注意不要漏解;(3 )首先确定点P与点H的位置，再求解各线段的长即可.解：T抛物线 y=ax 2+bx+c过 A ( 3 , 3.5 ) 、B ( 4 , 2 ).'.AE= 1. 5 | EE=I hMF：，閨：甘捉坯尸吃匚+治壮讨&(1 . 3.2 - E <4・2>、£ g "仝圭，f-2•-•llltr商强&■鬧听社苗：尸-刊(?) vi 15, 3,5 > . B ■ - ■' 2 >，C(0. .也華卩二才丄6・卩|5亡Blltlb』乂性，亡点丄毎；£』y均.xATE .人氐F列坚杯为：-if曲若EP-* .<£ ■书过点A-f>AEJytt，过点匚作CE^h油.苗态■）■点2，闪点日咋EF』丁壮•JE CE勺;午漳时，耐还.J.1 _ 2IT ■ 4J ATMft i PT>4i 人戌F与点U童占*^PC=?#AB-二凶右百梓舀忑中.H去；■ II过人倍刃茸耘的刃押点L •址怜和用列「，.塑別烹对押轴于ti頁汁白・回住两占M均曲求■ ；.AW K> FftsFB^ *^.Jj^Art+Pa4-PE=iB+A/ =AJ4±的尸-•.卩+訂+：的寸廉穂F； i= >VI 43i JFfi J ■ > f4 i 2 > i-kr C ： I — B* <4 * -釘 r二四12?fl?AEIFB S-K:的星4値为；厚』孚B.四边形周长最小值基本模型（一）定长不动：做双对称思路与方法1 ）总有两个已知点，即一条边是定值。
2） 分别做两个已知点关于xy轴的对称点，则与两坐标轴的焦点就是所求两点3） 此时，两个对称点与坐标轴上的两个点在一条直线上，即四点共线，所以最 小1•在直角坐标系中，设A（4，-5）B（ 8，-3）C（ m，0）D（0，n）,当四边形 的周长最短时,m/n的值为 .【分祈】由于AB崔芮定值，四周長最姮其实atlAD+DC+BCt<^不妨作吕B点关于y轴的內亦点―5) - A点关于工牺的对称fiV <-3. -3)再逹極AT 1该亶珈F交注于G 站轴于D，求岀#沪的需ff戒•偲SD点的坐标优入首线方程，求出n.n的值即可・如图所示，作B点关升轴的对祢点B1 (8, 3) >上点关于丫抽的对称点(-4- -5)再连援w, «s«rrsy轴千c，交轴于m设直如 V 的解析式为护k沪b (k剂八 把点XLQ，-5) i F ⑶3)代入得，HS —-4k-Z> ①(3=Sfct6 ②'①一②得，k=|-代入②得，-1 7故此函埶的解析弍知y=^s---3 3、. 2 ? 7分别把C (mt 0 ) ! D ( 0 !' n) All * jm-r=O > n---tB1 7 7wm= - f n=-y»!UZx(J)丄n 1 7 2故吾臬为已-学22.在直角坐标系中有四个点A (-6 , 3) , B (-2 , 5) , C ( 0, m ),D (n , 0),当四边形ABCD周长最短时，贝U m+n= CD0 %:分析，设卫点关于孟釉的对称点为"・则！ (-6- ^3)・蘋关于y轴的对称点是(2- 5厂设盲莪A』Bf 解析式为 y=kx-i-L ? ISA/ < - 6 » -3 ) * B* (2^5)代入 iWk= 1 ? 所以尸 n 斗 3，令慕=Q * 得y= 3 i 令y=0、律k=-：3，即m=3，n=-3 » 即i»+n= 0 -:觸音"解；丁四边形肺CD周岷最魁—定，A 5 即 $、0、匚■'片/孔議"作A点关于孟轴的对称点曲、B点关于y轴的対称克是盼， 设亘线A Bz药尸宓小，贝 1|点，C-6^ -3) 、Bz g 5> ，将其代i入亘绒中谒：k=r W力'■- y=x+3，'-'C ( 0 » m ) a D ( n » 0 ) i代入盲銭方程111，i? = m二3，n=-3 ?:、m+ii=[J ・故填D ■。