大学物理学电子教案 海大理学院教学课件 量子物理（4） 19-8 量子力学简介 • 波函数 概率密度 • 薛定谔方程 • 一维势阱问题 • 对应原理 • 一维方势垒 隧道效应 复 习 • 德布罗意波 实物粒子的二象性 • 不确定关系 19-8 量子力学简介 薛定谔 (Erwin Schrödinger, 1887–1961) 薛定谔在德布罗意思想的基础上，于 1926年在《量子化就是本征值问题》的论 文中，提出氢原子中电子所遵循的波动方 程(薛定谔方程)，并建立了以薛定谔方程为 基础的波动力学和量子力学的近似方法 薛定谔方程在量子力学中占有极其重要的 地位，它与经典力学中的牛顿运动定律的 价值相似薛定谔对原子理论的发展贡献 卓著，因而于1933年同英国物理学家狄拉 克共获诺贝尔物理奖金 薛定谔还是现代分子生物学的奠基人 ，1944年，他发表一本名为《什么是生命 ——活细胞的物理面貌》的书，从能量、 遗传和信息方面来探讨生命的奥秘 奥地利著名的理论 物理学家，量子力 学的重要奠基人之 一，同时在固体的 比热、统计热力学 、原子光谱及镭的 放射性等方面的研 究都有很大成就 狄拉克（Paul Adrien Maurice Dirac，1902-1984） 英国理论物理学家。
1925年，他作为一名 研究生便提出了非对易代数理论，而成为 量子力学的创立者之一第二年提出全同 粒子的费米-狄拉克统计方法1928年提出 了电子的相对论性运动方程，奠定了相对 论性量子力学的基础，并由此预言了正负 电子偶的湮没与产生，导致承认反物质的 存在，使人们对物质世界的认识更加深入 他还有许多创见（如磁单极子等）都是 当代物理学中的基本问题由于他对量子 力学所作的贡献，他与薛定谔共同获得 1933年诺贝尔物理学奖金 一、波函数 概率密度 1、平面简谐波的波函数 一个频率为n ，波长为l 、沿x方向传播的单色平面波的波函数 为 复数形式 2、自由粒子的波函数 一个自由粒子有动能E和动量p对应的德布罗意波具有频率 和波长： 波函数可以写成 振幅 3、波函数的统计解释 某一时刻出现在某点附近体积元dV中的粒子的概率，与波 函数模的平方成正比 概率密度 波函数Ψ(x,y,z,t)的统计解释(哥本哈根解释)：波函数模的 平方代表某时刻t在空间某点(x,y,z)附近单位体积内发现粒 子的概率，即|Ψ| 2 代表概率密度 波函数的统计意义是波恩于1926年提出的由于波恩在量 子力学所作的基础研究，特别是波函数的统计解释，他与 博享了1954年的诺贝尔物理学奖。
* 玻恩对波函数的统计诠释 —哥本哈根学派(以玻尔和海森伯为首)观点 •玻恩假定 描述粒子在空间的概率 分布的“概率振幅” 概率密度 例题2：光子自由平面波波函数 在空间各点发现光子的概率相同 •用电子双缝衍射实验说明概率波的含义 (1)人射强电子流 干涉花样 取决于概 率分布， 而概率分 布是确定 的 (2)人射弱 电子流 电子干涉不 是电子之间 相互作用引 起的，是电 子自己和自 己干涉的结 果 •波函数统计诠释涉及对世界本质的认识观念 哥本哈根学派--爱因斯坦 著名论战 量子力学背后隐藏着还没有 被揭示的更基本的规律，这 个规律对量子力学有新的解 释上帝不会掷骰子 波函数的概 率解释是自 然界的终极 实质 玻尔、波恩、海 森伯、费曼等 还有狄拉克、 德布罗意等 4、波函数满足的条件 标准条件：波函数应该是单值、有限、连续函数 归一化条件：在任何时刻，某粒子必然出现在整个空间内 ，它不是在这里就是在那里，所以总的概率为1，即 对波函数的这个要求，称为波函数的归一化条件归一 化条件要求波函数平方可积 归一化因子：若某波函数ΨA未归一化 归一化因子 例：作一维运动的粒子被束缚在0xa的范围内，已知其波函数为 求：(1)常数A；(2)粒子在0到a/2区域内出现的概率；(3)粒子在何 处出现的概率最大？ 解：(1)由归一化条件 解得 (2)粒子的概率密度为 粒子在0到a/2区域内出现的概率 (3)概率最大的位置应该满足 即当 时，粒子出现的概率最大。
因为 0xa，故得x=a/2，此处粒子出 现的概率最大 二、薛定谔方程 1、问题的引入 在量子力学中，微观粒子的运动状态由波函数来描写，状态 随时间的变化遵循着一定的规律1926年，薛定谔在德布罗 意关系和态叠加原理的基础上，提出了薛定谔方程做为量子 力学的又一个基本假设来描述微观粒子的运动规律 建立薛定谔方程的主要依据和思路： •要研究的微观客体具有波粒二象性，应该满足德布罗意关系式 •对于一个能量为E，质量为m，动量为p的粒子 •若Ψ1是方程的解，则CΨ1也是它的解；若波函数Ψ1与Ψ2是某 粒子的可能态，则C1Ψ1+C2Ψ2也是该粒子的可能态 波函数应遵从 线性方程 2、自由粒子的薛定谔方程 分别对时间求一阶偏导数，对空间求二阶偏导数 考虑到 E=p2/2m 把波函数与方程E=p2/2m相乘，并用 代替即可 3、势场中运动的粒子的薛定谔方程 当粒子在势场中运动 4、粒子在三维空间中的薛定谔方程哈密顿算符 5、关于薛定谔方程的说明 薛定鄂方程是量子力学的最基本的方程，是量子力学的 一个基本原理； 薛定鄂方程的解满足波函数的性质；因而在求解薛定鄂方程 时，还要加上一些条件： •波函数平方可积，且满足归一化条件； •波函数及其对空间的一阶导数连续； •波函数为单值函数。
6、定态薛定鄂方程 若粒子在势场中的势能只是坐标的函数，与时间无关，即 Ep= Ep(r)不显含时间，则薛定鄂方程的一个特解可以写为 方程左边只与时间有关，而右边是空间坐标的函数由 于空间坐标与时间是相互独立的变量，所以只有当两边 都等于同一个常量时，该等式才成立，以E表示该常量， 则 因而薛定鄂方程的特解为 ΨE(r)满足下列方程 该方程称为定态薛定鄂方程 E —— 能量本征值 ΨE(r) —— 本征函数 定态薛定鄂方程也称为本征方程 满足定态薛定鄂方程的波函数，称为定态在定态下，可 以证明： ①粒子分布概率不变； ②能量不变； ③其它力学量平均值不变 三、一维势阱问题 以一维定态为例，求解已知势场的定态薛定谔方程了解怎样 确定定态的能量E，从而看出能量量子化是薛定谔方程的自然 结果 已知粒子所处的势场为： 粒子在势阱内受力为零，势能为零在 阱外势能为无穷大，在阱壁上受极大的 斥力称为一维无限深方势阱 其定态薛定谔方程： x = 0x = a x EP(x) 令 1、解方程 A,B是积分常数，可由边界条件确定 x=0时，Ψ=0可得B=0，所以Ψ(x)=Asinkx x =a时，Ψ=0可得Ψ(a)=Asinka 由于A≠0，所以有sinka=0 2、能量 (1)粒子的能量只能取分立值，这 表明能量具有量子化的性质。
(2)n叫做主量子数，每一个可能 的能量称为一个能级，n=1称为基 态，粒子处于最低状态， E1=h2/(8ma2)，称为零点能； 3、波函数的表达式 归一化条件 xOa E 粒子在各处出现的概率密度 一维无限深方势阱中粒子的能级、波函数和概率密度 讨论： •量子数n对运动 结果的影响 •势阱宽度a对运 动结果的影响 •粒子质量m对运 动结果的影响 n=4 n=3 n=2 n=1 四、对应原理 在某些极限情况下，量子力学规律可以转化为经典力学规律 ，这就是量子力学的对应原理 1、能级差 对于微观粒子，a小，所以ΔE大，量子效应显著 若在普通宏观尺度范围内，能级之间的间隔很小，能量的量子 化就不显著即使n的值较大，相邻能级之间的间隔仍然是很小 的，这时可以把能量看成是连续分布的 2、能级的相对间隔 当n→∞时，能量的量子化效应不显著，可以认为能量是连续 分布的所以经典物理可以看成是量子物理中量子数n→∞时 的近似 五、一维方势垒 隧道效应 在经典力学中,若EEP0，粒子的动能 为正，它只能在 I 区中运动 O IIIIII 令： 三个区间的薛定谔方程化为： 若考虑粒子是从 I 区入射，在 I 区中有入射波和反射波； 粒子从I区经过II区穿过势垒到III 区，在III区只有透射波 。
粒子在x=0处的几率要大于在x=a处出现的几率 其解为： 根据边界条件 解的的结果如图所示 定义粒子穿过势垒的贯穿系数： 隧道效应 当E-EP0=5eV时，势垒的宽度约50nm 以上时，贯穿系数会小 六个数量级以上隧道效应在实际上已经没有意义了量子概 念过渡到经典了 I II III 隧道效应的应用——扫描隧道显微镜STM 小 结 • 波函数 概率密度 • 薛定谔方程 • 一维势阱问题 • 对应原理 • 一维方势垒 隧道效应 作 业 思考题： P309 26，27，28，29 习 题： P311 16，20，22，24 预 习： 19-9，19-10 。