利息理论及其应用利息理论及其应用李文芳湖北工业大学经济与政法学院E-mail：leewenfang@：13886115316 ， 办公室：保险系618 第第2章章 利息的度量利息的度量1（Measurements of interest）§日常生活中：•如何度量速度？距离/时间•如何度量利率？利息/本金 2.1 利息的基本函数利息的基本函数§利息（interest）的定义： က 借用他人资金所需支付的成本，或出让资金所获得的报酬§利息存在的合理性：•资金的稀缺性•时间偏好•资本生产力 §关于利息的几个基本概念•本金（principal）：初始投资的资本金额用“P”表示•累积值（accumulated value）：过一段时期后收到的总金额•利息（interest）：累积值与本金之间的差额用“I”表示•利率(rate of interest)：单位时间（年、季、月、日） 、单位本金所获得的利息用“i”表示 §积累函数(Accumulation function)•积累函数是指期初的1元本金在时刻t 时的累积值, 通常被记为a (t) •性质：§a (0) = 1；§a (t) 通常是时间的递增函数；§当利息是连续产生时，a (t) 是时间的连续函数。
当利息是跳跃产生时， a (t) 是间断函数•注：一般假设利息是连续产生的 例：例：§考察下面常见的积累函数•（1）常数：a (t) = 1•（2）线性：a (t) = 1 + 0.1 t•（3）指数：a (t) = (1+0.1) t§上述3个函数是否满足积累函数的性质？ 对应生活中哪些实例？ 对应生活中哪些实例？ 金额函数（金额函数（Amount function））§概念：当原始投资不是1个单位的本金，而是k 个单位时，则把k个单位本金的原始投资在时刻t 的积累值记为A (t) ,称为金额函数§性质：•A (0) = k；•A (t) = k·a(t), k > 0, t ≥ 0 利息（利息（interest）的数学定义）的数学定义§从投资之日算起，在第n个时期所获得的利息金额记为I(n) ，则： I(n) = A(n) − A(n-1)， n≥1•利息金额I(n) 在整个时期内产生，但在最后时刻实现（支付、得到）§金额函数A(t) 在时间段[t1 , t2] 内所获得的利息金额为： I(t1,t2)=A(t2)−A(t1) 2.2 实际利率（实际利率（effective rate of interest））§实际利率i 等于某一时期开始时投资1单位本金，在此期间末应获得的利息：i=a(1) −a(0)§实际利率i是某个时期获得的利息金额与期初本金之比： 附注：附注：§实际利率经常简称为利率，用百分比来表示，如8% ；§利息是在期末支付的；§本金在整个时期视为常数；§通常的计息期为标准时间单位，如年、月、日。
若无特别说明，实际利率是指年利率§实际利率可对任何时期来计算第n个时期的实际利率为： 例：例：§把1000元存入银行，第1年末存款余额为1020元，第2年末存款余额为1050元，求第一年和第二年的实际利率分别是多少？ 2.3 单利单利(simple interest)§假设在期初投资1单位，在每个时期末得到完全相同的利息金i ，即只有本金产生利息，而利息不会产生新的利息，这种计息方式称为单利，i 称为单利率§单利的积累函数满足下述性质：•a(0)=1•a(1)=1+i•a(t)= 1+it§上述单利的积累函数对t ≥ 0 的整数值才有定义 单利与实际利率的关系：单利与实际利率的关系：§常数的单利并不意味着实际利率(effective rate)是常数！§因此，实际利率是n 的递减函数§思考: 为什么在每个时期所获的利息金额相等，而实际利率却越来越小呢？ 例例§若每年单利为8％，求投资2000元在4年后的积累值和利息§累积值为：A(4) = 2000(1+ 4×8%) = 2640§所得利息的金额为：2640 − 2000=640=2000×8%×4利息金额＝本金利息金额＝本金×利率利率×时期时期 单利的应用单利的应用: 投资时间投资时间t 的确定的确定§（ 1） 精 确 单 利 ， 记 为 “实 际 /实 际 ”（ actual/ actual），其中第一个“实际”表示每月按当月的实际天数计算，第二个“实际”表示每年也按当年的实际天数计算。
§（2）银行家规则( banker’s rule ) ，记为“实际/360”，即每月按当月的实际天数计算，每年按360天计算§（3）“30/360”规则，即每月按30日计算, 每年按360日计算两个给定日期之间的天数按下述公式计算：360(Y2−Y1)+30(M2−M1)+(D2 −D1)§其中支取日为Y2年M2月D2日，存入日为Y1年M1月D1日 例：例：§若在1999年6月17日存入1000元，到2000年9月10日取款，年单利利率为8％，试分别按下列规则计算利息金额：•（1）“实际/实际”规则•（2）“30/360”规则•（3）“实际/360””规则 §（1）从1999年6月17日到2000年9月10日的精确天数为451，因此利息金额为：1000 × 0.08 × 451 /365 = 98.8§（2）根据“30/360”规则，投资天数360×1+ 30×(9 − 6) + (10 −17) = 443，因此利息金额为：1000 × 0.08 × 443 /360 = 98.44§（3）根据“实际/360”规则计算的利息金额为：1000 × 0.08 × 451 /360 =100.2 单利的缺陷：不满足一致性单利的缺陷：不满足一致性§令t = t1 + t2，则：§含义：分两段投资将产生更多利息。
§问题：分段越来越多，产生的利息是否会越来越多？最多是多少？连续利率计息 2.4 复利(compound interest)§在单利情形下，前面时期所获得的利息并没有在后面的时期获取利息§假设你今年初存入1000元，每年的利率为5％，则每年末可获利50元，因此在年末有1050元可以用来投资如果按照1050元来计算，你将在明年末获得利息为52.5元，比只§按照1000元投资要多获得利息2.5元§复利的基本思想：利息收入被再次计入下一期的本金，即所谓的“利滚利” 复利的积累函数复利的积累函数§考虑期初投资1，它在第一年末的积累值为1＋i;§余额1＋i可以在第二期初再投资，在第二期末积累值将达到(1+i) + (1+i)i = (1+i)2 ;§在第三期末将达到(1+i)2 + (1+i)2 i = (1+i)3§一直持续下去……，§对于整数时期t，积累函数为§a (t) = (1+i)t 复利与实际利率的关系复利与实际利率的关系§常数的复利率意味着实际利率也为常数 单利与复利之间的关系（下图）单利与复利之间的关系（下图）§单利的实际利率逐期递减，复利的实际利率保持恒定§当0 < t < 1 时，单利比复利产生更大的积累值。
§当t > 1时，复利比单利产生更大的积累值§当t = 1 或0 时，单利和复利产生相同的累积值 §单利累积函数：是一条直线§复利累积函数：一阶导数大于0，二阶导数也大于0下凸曲线§两个交点：0和1 例例§按复利或单利分别计算，当年利率为11时，开始应投资多少元钱才能使第5年的本金和利息总和积累到1000元?§A(0) ×(1+5×11%) = 1000 ⇒A(0) = 645.16§A(0)×(1+11%)5=1000⇒A(0)=593.47 1.5 贴现贴现§思考：在期初开始时应投资多少，才能使得年末的本金和利息总额恰好为1?§这是一个求现值的过程，即贴现过程，与累积过程互逆§时刻t 的1个货币单位在时刻0的价值称为贴现函数用a-1(t)表示 贴现函数贴现函数(discount function)§单利的贴现函数§复利的贴现函数 单利和复利的现值比较：金额为1 单利和复利的现值比较：金额为1 注：注：§除非特别申明，今后一概用复利计算现值§(1+i)t 称为1元在t 时期末的累积值，而 vt= (1+i)-t 称为t 时期末支付1元的现值 §几个术语： 实际贴现率：d(effective rate of discount with compound interest)§实际贴现率等于一个时期的利息收入与期末累积值之比：实际贴现率=当期利息/期末累积值§利息——按期初余额计算，在期末支付。
§贴现——按期末余额计算，在期初支付§例：A向银行借100元，为期1年，银行预收6的利息，而仅给A支付94元，一年后A还给银行100元贴现率为6％利率是多少？ §第 n 个时期的实际贴现率等于§当单利率为 i，单贴现率 是 n 的递减函数§当复利率为 i 时，复贴现率 利率利率i 与贴现率与贴现率d 的关系（的关系（1））当期利息：i§根据贴现率的定义 利率利率i 与贴现率与贴现率d 的关系（的关系（2））§期末的1元在期初的现值为(1+i)-1§此现值用贴现率d 表示即为：§故有下图：§根据利率的定义，有 利率利率i 与贴现率与贴现率d 的关系（的关系（3））d=iv §证明：§注：把期末支付的利息i贴现到期初，即得 iv，等于在期初支付的d换言之，期末的 i 相当于期初的d 利率利率i与贴现率与贴现率d的关系（的关系（4））§证明：§解释：期末的1元在期初的现值既可以表示为 v，也可以表示为1 – d§贴现函数可表示为a-1(t)=vt=(1-d)t§累积函数可表示为a (t)=v-t=(1-d)-t 利率利率i 与贴现率与贴现率d 的关系（的关系（5））i-d=id§证明：§解释：1元本金在期末时可以赚取 i 元利息，(1– d)元金在期末时可以赚取d元利息。
§产生(i – d)元利息差额的原因就在于原始本金存在d元额§而这d元本金差额在本期可以赚取的利息正好是id 利率利率i 与贴现率与贴现率d 的关系（的关系（6））§证明：例例: §i = 5% = 1/20§d = 1/21 §利率 i 和贴现率d 的关系：d=i/(1+i) §贴现率 d 和利率 i 的关系：i=d/(1-d) 例例:§若现有面额为100元的零息债券在到期前一年的时刻价格为95元，同时，一年期储蓄的利率为5.25％，如何进行投资选择? 存款还是购买债券？ 解：解：§从贴现的角度看，•零息债券的贴现率 d ＝ 5%•而储蓄的贴现率 d ＝ i / (1 + i) = 4.988％ < 5%•因此投资债券合算§从利息的角度看，•零息债券的利率•而储蓄的利率为 5.25％ < 5.26％•因此投资债券合算 贴现方式贴现方式§单贴现（了解） ：每个时期的贴现金额都是常数在t时期末产生积累值1的本金为§复贴现： a-1(t)=vt=(1-d)t 单贴现与复贴现的关系（单贴现与复贴现的关系（了解了解））§单贴现和复贴现对单个时期产生的结果相同§对于较长时期，单贴现比复贴现产生较小的现值，而对较短时期情况则相反。
§单贴现模式并不对应着单利的贴现模式，而复贴现模式对应复利的贴现模式 小结：小结：§计算累积值和现值，既可以用利率，也可以用贴现率§如果用利率计算累积值和现值，则有•累积函数：a(t) = (1 + i)t•贴现函数：a–1(t) =(1 + i) – t§如果用贴现率计算累积值和现值，则有•累积函数： a(t) = (1－d) −t•贴现函数：a–1(t) = (1－d) t §一些重要的等价关系式（通过图示解释）： §Exercise §It is known that the accumulation function a(t) is of the form b(1.1)t+ct2 , where b and c are constants to be determined.§(a) If $100 invested at time t = 0 accumulates to $170 at time t = 3, find the accumulated value at time t = 12 of $100 invested at time t = 1.§(b) Show that this function is non- decreasing.§(c) Determine a general formula for in, and show that §Solution: a(t) = b(1.1)t+ct2 §(a) An accumulation function must have the property that a(0) = 1; this implies that §1 = a(0) = b + 0, so b = 1.§The given data imply that §(b)§a(t) = (1.1)t+0.041t2§A’(t) = (1.1)tln1.1+0.082t2§which is positive for positive t; thus a(t) is an increasing function of t for positive t. Exercise§It is known that 1000 invested for 4 years will earn 250.61 in interest, i.e., that the value of the fund after 4 years will be 1250.61. Determine the accumulated value of 3500 invested at the same rate of compound interest for 13 years. Exercise§It is known that an investment of 750 will increase to 2097.75 at the end of 25 years. Find the sum of the present values of payments of 5000 each which will occur at the ends of 10, 15, and 25 years. 。