数学毕业论文：伴随矩阵

1 伴随矩阵的性质及其应用伴随矩阵的性质及其应用***摘摘 要要 在高等代数中，伴随矩阵作为一种特殊的矩阵有很多特殊的性质，从某种意义上来说，它和正定矩阵、正交矩阵一样,不仅在理论很有研究价值而且在实践上也有广泛的应用.本文主要是针对伴随矩阵的多种性质以及特殊的矩阵(比如上三角矩阵、对称矩阵等)的伴随矩阵所具有的性质进行了系统的研究，同时在计算伴随矩阵中应用伴随矩阵的特殊性质去简化计算，使某些矩阵的伴随矩阵的求法简单可行，避免了大量复杂的计算.关键词关键词 伴随矩阵 特殊矩阵 上三角矩阵1 1 序言序言伴随矩阵是一种特殊的矩阵，在矩阵的研究中占有很重要的地位.前人针对伴随矩阵的性质及其应用等方面做了大量的工作.而本文在借鉴前人的基础上，首先研究的是伴随矩阵的性质，其次对某些特殊矩阵的伴随矩阵进行研究，最后利用特殊矩阵的伴随矩阵的性质对某些题目应用简单方法进行计算.2 2 伴随矩阵的性质伴随矩阵的性质2.12.1 伴随矩阵的定义伴随矩阵的定义设=()是一个级矩阵，Aijan1121112222*12nnnnnnAAA AAAA  AAALLLLLLL叫做的伴随矩阵，其中是的代数余子式，很显然的元素是由的一切 n-AijAija*AA1 级代数余子式组成.2 2.22.2 伴随矩阵的基本性质伴随矩阵的基本性质定理定理 2.12.1 **EnAA  A A  A证明证明 （略）.定理定理 2.22.2 设为 n（n＞1）阶方阵，则有=A*()rank A,() 1,()1 0,()1nrankn rankn ranknA  A  A 证明证明 （1）当时，≠0，由=知，()ranknAAA*AA ，即，所以.**nAA  A A  A1*0nA  A*()ranknA（2）当时，0，所以0，知的列向量都是方程( )1ranknA A A*A*A的解，由于，齐次线性方程组的解向量组的秩为 n-（n-0A ()1ranknA 0AX 1）=1，知的列向量组的秩为 1，即列秩为 1，故.*A*()1rank A（3）当时，的每一个元素都是零，因为没有不为 0 的 n-1( )1ranknA *AijAA阶子式，故.*()0rank A定理证毕.对定理 2.2 有如下两个推论：推论推论 1 1 和同时可逆或不可逆.①若，；A*A( )ranknA *1A  A A②若时，=0.()1ranknA *A推论推论 2 2 * *,()(() )0,()nranknrankranknA AA 定理定理 2.32.3 设为阶方阵，即为，则有A(1)n n (*)kA* **(())AK（1）*1*()nkkAA（2） 对.(*)(1)(1)*(1)10()1,10()1,2(),(),kkknn nn nranknkranknkrankn krankn kA  A AAAA  AAA 为奇数为偶数kN 特别，有2* *()nA AA3 证明证明 （1）可直接由定义计算出来.(2) 当 k=1 是，结论成立，当 k=2 时，，由，( )ranknA *1A  A A所以22(*)* ***1111()()()nA A AA A AA A AAk=2 时成立.假设 k-1 结论成立，则对于 k当 k 为奇数时1 1(1)1(*)(*)**()()k kkn n  A A AA(1)(1)*knn n  AAk 为偶数时1 1(1)(1)(*)(*)** *()()k kknn n  A A AA2 2(1)(1)(*)knn n  AA2(1)(1)2knnnn AAA2(1)(1)(2)knnn n n  A(1)1kn n  AA所以对任意的 k，结论成立.对定理 2.3 有如下推论：推论推论 若为 n×n（n3）非可逆矩阵，则的 m（m2）重伴随矩阵AA(*)0mA证明证明 由于为 n（n3）且的矩阵，由定理 2.2，则，A()1ranknA *()1rank A所以中任意阶子式全为 0，故有，从而*A1n* *()0A(*)0(2)mmA定理定理 2.42.4 ***()A  A证明证明 设，，则 ijn naA  ijn nb ，1121n11222n2*1n2nnAAA AAAAAAn  A  K K KKKK K1121n11222n2*1n2nnn   KKKKKKK4 ，其中k11kk12k1 11121k222** 11112 111AAAAAAAAAnnnknk kkknnnkkkknk kkknnnknkknkknnk kkk   A    KKKKKKK i jn nu1Ani jkijk ku设，则 *()i jn nuA 1,11,21,1,11,11,11,2,12,12,12,1,11,21,1,11,21,,1,1,1,121niinijiinjjjn ij jjjnnn in in nnnnnaaa bbbbbbbbaaavaaa bbbbaaa  L LLLLLLLLLMMMMOMLLLLLLLL122 1AAA...Ani jkijkijkijnink ku 1,21,2,12,22,12,12,3,13,23,13,13,1,21,1,21,,1,2,1,1,2,......niiniinjjnjjnnnn in in nnn naabbbbbbbbbbaaaabbbbbaa        LLMLMLLMMMMOMLLMOMLijv***() A  A对定理 2.4 有如下两个推论：推论推论 1 1 **** 1211(......)......sssA AA A AA推论推论 2 2 **()()kkA A定理定理 2.52.5 1 **1()()A A证明证明 由；，而，故结论*EAA  A*11()AAA11 *111()A AAAA成立.5 定理定理 2.62.6 （）1*nA  A2n 定理定理 2.72.7  1*kknA A定理定理 2.82.8 1 ** 12 11(......)nsssii iiA AAAA定理定理 2.92.9  *1*kk nkA A A定理定理 2.102.10    **TTA A证明证明 设 111212122212nnnnnnaaa aaaaaa  A  L L MMOM L则1121112222*12nnnnnnAAA AAAA  AAALLLLLLLijiAA其中为中第行第j 列元素的代数余子式。

 1112121222*12nTnnnnnAAA AAAA AAAL L LLLL L112111222212nnTnnnnaaaaaaaaa  A  LLMMOML中第 i 行第 j 列表示为 *TA 111,11,111,11,11,1,11,11,11,1,111,1,1iinijjijijn j ij jijijn jnininnnaaaaaaaa aaaaaaaa  LK MOMMOM LL LL MOMMOM LL6 根据行列式的性质：行列式与它的转置矩阵行列式相等，显然有，对一切ijij  A；都成立，所以.1,2,......in1,2,......jn  **TTA A3 3 某些特殊矩阵的伴随矩阵的性质某些特殊矩阵的伴随矩阵的性质定理定理 3.13.1 单位阵的伴随矩阵仍为单位阵，即；零矩阵伴随矩阵仍为零矩* nn 阵.定理定理 3.23.2 若是上（下）三角形矩阵，则也是上（下）三角形矩阵，并且之A*A*A对角线上元素为之对角线除去对应位置上一元素后余下的 n-1 个元素之积.A证明证明 设，当 k＞1 时，kiaA 10ka因为1121112222*12nnnnnnAAA AAAA  AAALLLLLLL其中是所对应的代数余子式，于是，当时，ijAijaij1,11,11,1,11,11,11,1,11,11,1,11,11,11,1,11,11,1,11,11,1,......... .............................. ......... .........( 1)iiijjniiiiiiiijijin ij iiiiiiiijiji jaaaaaaaaaaaaaa aaaaaaa  A 1,2,12,12,12,,1,1,1,0...00...... .............................. 0...00......iniiijijinn in jn jn naaaaaaaa=2,12,12,12,1,11,11,1,11,11,,1,1,1,1,11,11,......... ..............................*..................... .........iiijijiniiiiiiin in jn jn niiiiiaaaaaaaaaa aaaaaaa而1,11,21,11,0,0,......,0,0iiiiiiaaaa故 .,0i jA这就是说7 1,12,1,12,2,2*,... ................... ..........nnn nAAA AAA  A又 1,11,11,11,1,11,11, , 1,11,,...... .................. 0......( 1)0...0... .................. 0...00...iiniiiiinij i i iiinn naaaaaaa aaa   A     =, 1nj j j j ia 就证明了上三角的情形.同理可证明下三角的情形.对定理 3.2 有如下推论：推论推论 对角矩阵的伴随矩阵仍为对角矩阵，且2* 121 211ni ini i inni iaa aaaa    O O定理定理 3.33.3 对称矩阵的伴随矩阵仍为对称矩阵，对合矩阵（）的伴随矩阵仍为2A  对合矩阵.证明证明 由为对称，可得，而即知是对称的.ATA  A   ****TTA A A A*A若对合阵，，则，则，再由，即，A2A  AA  1A  *AA  A *AA A得，所以，.这样。