二次函数知识点—、基本概念：1. 二次函数的概念：一般地，形如 y ax2 bx c （ a ,b ,c是常数，a 0）的函数，叫做二次函数这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数 a 0 ,而b , c可以为零.二次函数的定义域是 全体实数.2. 二次函数y ax2 bx c的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量 x的二次式，x的最高次数是2 .⑵a ,b, c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项.二、基本形式1. 二次函数基本形式：y ax2的性质：a的绝对值越大，抛物线的开口越小a的符号开口方向顶点坐 标对称 轴性质a 0向上0, 0y轴x 0时，y随x的增大而增大；x 0时，y随x的增大而减小；x 0时，y有最小值0 .a 0向下0, 0y轴x 0时，y随x的增大而减小；x 0时，y随x的增大而增大；x 0时，y有最大值0 .2. y ax2 c的性质：（上加下减）a的符号开口方向顶点坐 标对称 轴性质a 0向上0, cy轴x 0时，y随x的增大而增大；x 0时，y随 x的增大而减小；x 0时，y有最小值c .a 0向下0, cy轴x 0时，y随x的增大而减小；x 0时，y随x的增大而增大；x 0时，y有最大值c .23. y a x h的性质：(左加右减)a的符号开口方向顶点坐 标对称 轴性质a 0向上h, 0X=hx h时，y随x的增大而增大；x h时，y随 x的增大而减小；x h时，y有最小值0 .a 0向下h, 0X=hx h时，y随x的增大而减小；x h时，y随x的增大而增大；x h时，y有最大值0 .24. y a x h k的性质:a的符号开口方向顶点坐 标对称 轴性质a 0向上h, kX=hx h时，y随x的增大而增大；x h时，y随 x的增大而减小；x h时，y有最小值k .a 0向下h, kX=hx h时，y随x的增大而减小；x h时，y随x的增大而增大；x h时，y有最大值k .三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法1:⑴将抛物线解析式转化成顶点式 y ax h 2 k，确定其顶点坐标 h, k ；y=ax2向上(k>0)【或向下(k<0)】平移|k|个单位y=ax 2+k向右(h>0)【或左(*0)】平移|k|个单位向右(h>0)【或左(h<0)】平移kl个单位向上(k>0)【或下(k<0)] 平移|k个单位向右(h>0)【或左(h<0)】 平移|k|个单位y=a (x h)2向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位y=a(x h)2+k⑵保持抛物线y ax2的形状不变，将其顶点平移到 h，k处，具体平移方法如下：2. 平移规律在原有函数的基础上 h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”概括成八个字“左加右减, 上加下减”.方法2:⑴y ax2 bx c沿y轴平移：向上(下)平移 m个单位，y ax2 bx c变成2 2y ax bx c m (或 y ax bx c m)⑵y ax2 bx c沿轴平移：向左(右)平移 m个单位，y ax2 bx c变成2 卜a(x m) b(x m) c (或 y2a(x m) b(x m) c)四、二次函数yax2 bx c的比较从解析式上看,ax2 bx c是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即y a xb2a4ac b24a，其中h -，k2a24ac b4a五、二次函数ax2 bx c图象的画法五点绘图法:利用配方法将二次函数yax2 bx c化为顶点式y a(x h)2 k，确定其开第-# -页共31页口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图 •一般我们选取的五点为：顶点、与y轴的交点0, c、以及0, c关于对称轴对称的点 2h，c、与x轴的交点xi ,0，X2，o (若与x轴没有交点，贝y取两组关于对称轴对称的点)画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与 x轴的交点，与y轴的交点•六、—次函数y ax2 bx c的性质1.当a 0时，抛物线开口向上，对称轴为土，顶点坐标为b 4ac b22a ' 4a当x —时，y随x的增大而减小；当2a最小值巫兰.4a—时，y随x的增大而增大；当2a2.当a 0时，抛物线开口向下，对称轴为—，顶点坐标为2ab2a4ac b24a随x的增大而增大；当x —时，y随x的增大而减小；当2ay有最大值4ac4a七、二次函数解析式的表示方法1.一般式：y2 axbx c ( a， b， c 为常数，2.顶点式：ya(xh) k ( a， h， k 为常数,3.两根式：ya(xxi)(x X2) (a 0, xi , xa 0);a 0);是抛物线与x轴两交点的横坐标)注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式， 但并非所有的二次函数都可以写成交点式,只有抛物线与x轴有交点，即b2 4ac 0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示•二次函数 解析式的这三种形式可以互化•八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数y ax2 bx c中，a作为二次项系数，显然 a 0 •⑴当a 0时，抛物线开口向上，a的值越大,⑵当a 0时，抛物线开口向下，a的值越小,开口越小，反之 a的值越小，开口越大; 开口越小，反之 a的值越大，开口越大.总结起来，a决定了抛物线开口的大小和方向,a的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小.2.一次项系数b在二次项系数a确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴. 0的前提下，b0时,0时,2ab即抛物线的对称轴在 y轴左侧;0时,2ab即抛物线的对称轴就是 y轴;2a即抛物线对称轴在y轴的右侧.0的前提下，结论刚好与上述相反，即b0时,0时,2ab即抛物线的对称轴在 y轴右侧;0时,2ab即抛物线的对称轴就是 y轴;2a总结起来，在a确定的前提下,即抛物线对称轴在y轴的左侧.ab的符号的判定：对称轴xb决定了抛物线对称轴的位置.—在y轴左边则ab 0，在y轴的右侧则ab 0，概括的说就2a是“左同右异” 总结：3. 常数项c0时，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正;0时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点的纵坐标为0 ;0时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负.总结起来，c决定了抛物线与y轴交点的位置.总之，只要a, b, c都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的.二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法•用待定系数法求二次函数的解析式必 须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便•一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达1.关于x轴对称2y axbx c关于x轴对称后，得到的解析式是2 axbx2h k关于x轴对称后，得到的解析式是2. 关于y轴对称y ax2bx c关于y轴对称后，得到的解析式是ax2bx c ；2h k关于y轴对称后，得到的解析式是3. 关于原点对称y ax2bx c关于原点对称后，得到的解析式是ax2bx2h k关于原点对称后，得到的解析式是4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转 180°）y ax2bx c关于顶点对称后，得到的解析式是2 axbx2b2a ；2h k关于顶点对称后，得到的解析式是5. 关于点2h k关于点m, n对称后，得到的解析式是2h 2m 2n k根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此 a永远不变.求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上 是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐 标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式.十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与 x轴交点情况）：一兀二次方程ax2 bx c 0是二次函数y ax2 bx c当函数值y 0时的特殊情况.图象与x轴的交点个数：①当 b2 4ac 0时，图象与x轴交于两点A , 0 , B x?, 0 （为x?），其中的冷，x?是一元二次方程ax2 bx c 0 a 0的两根.这两点间的距离 AB x? x| [.Ial② 当 0时，图象与x轴只有一个交点；③ 当 0时，图象与x轴没有交点.1'当a 0时，图象落在x轴的上方，无论x为任何实数，都有y 0 ;2'当a 0时，图象落在x轴的下方，无论x为任何实数，都有y 0 .2. 抛物线y ax2 bx c的图象与y轴一定相交，交点坐标为（0， c）;3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与x轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶ 根据图象的位置判断二次函数 y ax2 bx c中a， b， c的符号，或由二次函数中 a， b， c的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称， 可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标， 或已知与x轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标⑸与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式 ax2 bx c（a 0）本身就是所含字母x的二次函数；下面以a 0时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：0抛物线与x轴有 两个交点二次三项式的值可正、 可零、可负一元二次方程有两个不相等实根0抛物线与x轴只 有一个交点二次三项式的值为非 负一元二次方程有两个相等的实数根0抛物线与x轴无 交占八、、二次三项式的值恒为 正一元二次方程无实数根.二次函数考查重点与常见题型1. 考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如:已知以x为自变量的二次函数 y (m 2)x2 m2 m 2的图像经过原点， 则m的值是 2 .综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内 考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如：2 ..y kx b。