理论力学-动能定理

第三篇 动力学理论力学第12章 动能定理 第12章 动能定理 动能是物体因为运动而具有的机械能，它是作功的一种能力动能定理描述质点系动能的变化与力作功之间的关系 求解实际问题时，往往需要综合应用动量定理、动量矩定理和动能定理动力学普遍定理动力学普遍定理动量定理动量定理动量矩定理动量矩定理动能定理动能定理矢量形式标量形式 力的功 动能定理及其应用 结论与讨论 质点与质点系的动能 势能、机械能守恒定律 动力学普遍定理的综合应用 参考性例题第12章 动能定理  功率、功率方程、机械效率 力的功 力的功定义变力 Fi 的元功 需要注意的是，一般情形下，元功并不是功函数的全微分，所以，一般不用dW表示元功，而是用W表示 W仅仅是Fi•dri 的一种记号MM2 2MM1 1常力对直线运动质点所作的功：  力的功 力的功定义变力 Fi 的元功 MM2 2MM1 1力 Fi 在其作用点的轨迹上从 M1 点到 M2 点所作的功：  重力的功 对于质点： 对于质点系:  力的功 几种常见力的功 其中：z1 、z2分别是质点在初位置和末位置的z 坐标其中：zC1、 zC2分别是质点系质心在初位置和末位置的z 坐标重力的功与路径无关。

 弹性力的功 其中， 1 、 2 是弹簧初始位置和最终位置的变形量 力的功 几种常见力的功 弹性力的功与路径无关  定轴转动刚体上作用力的功 刚体以角速度ω绕定轴 z 转动，其上 A 点作用有力 F ，则则力F 的元功为 ————力 F 对轴 z 的矩 于是，力在刚体上由 1 转到 2 时所作的功为  力的功 作用在刚体上力与力偶的功   定轴转动刚体上外力偶的功 若力偶矩矢量为 M ，则力偶所作之功为 其中Mz 为力偶矩矢 M 在 z 轴上的投影，即力偶对转轴 z 的矩  力的功 作用在刚体上力的功、力偶的功  假设扭簧上的杆处于水平时扭簧未变形，且变形时在弹性范围之内变形时扭簧作用于杆上的力对点O之矩为 其中k 为扭簧的刚度系数（扭转单位角度所需要的力矩） θ为扭簧的扭转角度思考题：扭转弹簧力矩的功 ? 力的功当杆从角度θ1转到角度θ 2时，扭转弹簧力矩所作的功为?  质点系的内力总是成对出现的，且等值、反向、共线因此，质点系的内力对质点系的动量和动量矩没有影响。

 力的功 内力作功的情形 事实上，在许多情形下，物体的运动是由内力作功而引起的 当然也有的内力确实不作功 人的行走和奔跑是腿的肌肉内力作功 * 所有的发动机从整体考虑，其内力都作功 机器中有相对滑动的两个零件之间的摩擦力是内力，作负功 有势力的内力作功，如系统内的弹簧力作功那么，质点系的内力对质点系作不作功呢？ 刚体内任何两点间的距离始终保持不变，所以刚体的内力所作功之和恒等于零 * 刚体的内力不作功  力的功 不作功的力* 理想约束约束反力不做功 光滑的固定支承面、轴承、光滑的活动铰链、销钉和活动支座都是理想约束理由是它们的约束力不作功或作功之和等于零 柔性约束也是理想约束因为它们只有在拉紧时才受力，这时与刚性杆一样，内力作功之和等于零* 纯滚动时，滑动摩擦力(约束力)不作功O OC*FFN约束力不做功的约束称为理想约束 C* 为瞬时速度中心，在这一瞬时C*点的速度为零作用在C*点的摩擦力F 所作元功为v vO O理想约束的约束反力不做功  力的功 不作功的力 质点系的动能与刚体的动能 质点系的动能  刚体的动能 返回返回总目录第12章 动能定理  质点系的动能与刚体的动能 质点系的动能 物理学中对质点的动能的定义为 质点系的动能为质点系内各质点动能之和。

动能是度量质点系整体运动的另一物理量动能是正标量，其数值与速度的大小有关，但与速度的方向无关  设重物A、B的质量为mA= mB= m，三角块D 的质量为 m0 ，置于光滑地面上圆轮C 和绳的质量忽略不计系统初始静止解：重物A、B的运动可以看成质点的运动， 三角块D做平动，也可以看成质点的运动 开始运动后，系统的动能为 其中  质点系的动能与刚体的动能 质点系的动能——例 题 1 求：当物块A以相对速度 下落时系统的动能 或者写成  质点系的动能与刚体的动能 质点系的动能——例 题 1 ？ 质点系的动能与刚体的动能 质点系的动能——例 题 1 注意到,系统水平方向上动量守恒，故有 怎样求 vD (用vr 表示 vD)? 通过本例可以看出，确定系统动能时，注意以下几点是很重要的： 系统动能中所用的速度必须是绝对速度 需要综合应用动量定理、动量矩定理与动能定理  正确应用运动学知识，确定各部分的速度 质点系的动能与刚体的动能 质点系的动能——例 题 1 ● 平移刚体的动能 刚体平移时，其上各点在同一瞬时具有相同的速度，并且都等于质心速度。

因此，平移刚体的动能 上述结果表明，刚体平移时的动能，相当于将刚体的质量集中于质心时的动能  质点系的动能与刚体的动能 刚体的动能 刚体以角速度 绕定轴 z 转动时，其上－点的速度为： 因此，定轴转动刚体的动能为  质点系的动能与刚体的动能 刚体的动能 ● 定轴转动刚体的动能 其中 为刚体对定轴z的转动惯量  平面运动刚体的动能，等于随质心平动的动能与相对质心转动动能的和 质点系的动能与刚体的动能 刚体的动能 ● 平面运动刚体的动能 设P为平面运动刚体某瞬时的速度瞬心， 则刚体的动能为： 质点系的动能与刚体的动能 刚体的动能 思考题：均质圆盘质量为 m，在平面上做纯滚动，轮心速度为 vo，求圆盘的动能？O Ov vO O问：若质量 m 集中在轮缘上，轮在平面上做纯滚动， 轮心速度为 vo，求轮的动能？ 坦克或拖拉机履带单位长度质量为ρ ，轮的半径为 r ，轮轴之间的距离为d，履带前进的速度为v0 求：全部履带的总动能。

d dC C2 2C C1 1r rv0 质点系的动能与刚体的动能——例 题 2 解：把履带看成一质点系 在 C1 C2 上建立平动坐标系C1x´y´，则牵连运动为水平平移，牵连速度为 v0 相对运动为绕在两个作定轴转动圆轮上履带的运动 圆轮的角速度为 ω＝ v0/r ,履带上各点的相对速度均为 v0 d dC C2 2C C1 1r rx x´ ´y y´ ´v0 质点系的动能与刚体的动能——例 题 2  因此，全部履带的总动能为：解： 质点系的动能等于系统跟随质心平移的动能与相对于质心平移系运动的动能之和柯尼希定理）d dC C2 2C C1 1r rx x´ ´y y´ ´v0  质点系的动能与刚体的动能——例 题 2  动能定理及其应用 质点系的动能定理  动能定理应用举例 第12章 动能定理 质点的动能定理的微分形式：质点的动能定理的积分形式：  动能定理及其应用 质点系的动能定理 质点系的动能定理的微分形式： 动能定理及其应用 质点系的动能定理 所有可以作功的力——既包括外力，也包括内力；既包括主动力，也包括约束力。

在理想约束系统中，只包括主动力(外力和内力)质点系的动能定理的积分形式： 动能定理及其应用 质点系的动能定理  均质圆轮A、B的质量均为m，半径均为R，轮A沿斜面作纯滚动，轮B作定轴转动，B处摩擦不计物块C的质量也为mA、B、C用无质量的绳相联，绳相对B 轮无滑动系统初始为静止状态试求：1．当物块C下降高度为h时，轮A质心的速度以及轮B的角速度2．系统运动时，物块C的加速度  动能定理及其应用 动能定理应用举例——例 题 3 解：以整个系统为研究对象 1．运动分析，确定各部分的速度、角速度，写出系统的动能 注意到轮A作平面运动；轮B作定轴转动；物块C作平移于是，系统的动能： 根据运动学分析，得到  动能定理及其应用 动能定理应用举例——例 题 3 解：2.确定所有力的功： 3．应用动能定理的积分形式： 由此解出 物块C 的重力作正功，轮A 的重力作负功，约束反力不作功于是，所有力的总功为  动能定理及其应用 动能定理应用举例——例 题3 解：4．确定物块 C 的加速度： 将下降高度 h 视为变量，其对时间的一阶导数即为物块C的速度 因为物块C作直线平移，故有 于是，物块C的加速度为  动能定理及其应用 动能定理应用举例——例 题 3 根据动能定理的微分形式根据动能定理的微分形式力的功率由下式计算力的功率由下式计算 作用在转动刚体上力的功率为作用在转动刚体上力的功率为  功率方程 、机械效率第12章 动能定理 可以得到可以得到其中其中P P为功率，为功率，上式称为上式称为功率方程：质点系动能对时间的一阶导数，等于作用于质点系的所有力的功率的代数和。

工程上工程上, ,机器的功率分别有：输入功率、输出功率、损耗功率机器的功率分别有：输入功率、输出功率、损耗功率其中：输出功率是对外作功的有用功率；其中：输出功率是对外作功的有用功率； 损耗功率是摩擦、热能损耗等不可避免的无用功率损耗功率是摩擦、热能损耗等不可避免的无用功率 功率方程 、机械效率第12章 动能定理 这样，对机器而言，功率表达式可以改写为：这样，对机器而言，功率表达式可以改写为：  任何机器在工作时都需要从外界输入功率，同时也不可避免的任何机器在工作时都需要从外界输入功率，同时也不可避免的要消耗一些功率，消耗越少则机器性能越好工程上，定义机械要消耗一些功率，消耗越少则机器性能越好工程上，定义机械效率为效率为 这是衡量机器性能的指标之一若机器有多级（假设为这是衡量机器性能的指标之一若机器有多级（假设为n n级）传动，级）传动，机械效率为机械效率为 输输其中 功率方程 、机械效率第12章 动能定理  均质圆轮A、B的质量均为m，半径均为R，轮A沿斜面作纯滚动，轮B作定轴转动，B处摩擦不计物块C的质量也为mA、B、C用轻绳相联，绳相对B 轮无滑动。

系统初始为静止状态现在圆盘A的质心处加一不计质量的弹簧，弹簧刚度系数为k 求：系统的等效质量、等效刚度与系统的固有频率  动能定理及其应用 动能定理应用举例——例 题 4  以整个系统为研究对象，作功的力A、B轮的重力和弹簧的弹性力以物块C的位移x为广义坐标，静平衡位置取为坐标原点 系统的动能表达式为  动能定理及其应用 动能定理应用举例——例 题 4解：这是一个单自由度振动的刚体 系统，现研究怎样将其简化为弹簧－质量模型 则动能表达式可以写为 作用在系统上的外力所作之功为 由于系统初始于静平衡状态，对轮 A、轮 B 和物块 C 分别列出静平衡方程，整理后，有  动能定理及其应用 动能定理应用举例——例 题 4其中δst为弹簧在系统静平衡时的伸长 根据质点系动能定理，有  动能定理及其应用 动能定理应用举例——例 题 4两边对时间求导化成标准方程, 于是，刚体系统便简化为一弹簧——质量系统其振动方程为 据此，系统的固有频率为  动能定理及其应用 动能定理应用举例——例 题 4即系统的等效质量为3m，等效刚度就是弹簧的刚度k根据功率方程，有  动能定理及其应用 动能定理应用举例——例 题 4利用功率方程 求解 作用于质点系各力的功率之和为 已求得   势能、机械能守恒定律返回返回总目录第12章 动能定理  有势力和势能  机械能守恒定律 ● 有势力 如果作用在物体上的力所作之功仅与力作用点的起始位置和最终位置有关，而与其作用点所经过的路径无关（path-independent），这种力称为有势力或保守力(conservative force)。

 势能、机械能守恒定律 重力、弹性力等都具有这一特征，因而都是有势力● 势 能（potential energy） 承受有势力作用的质点系，其势能的表达式为 其中 M 0 为零势能位置，M 为所要考察的任意位置 势能是质点系从某位置运动到任选的零势能位置时，有势力所作的功  势能、机械能守恒定律 由于零势位置（零势点）可以任选，所以，对于同一个所考察的位置的势能，将因零势位置（零势点）的不同而有不同的数值 为了使分析和计算过程简便，对零势能位置（零势点）要加以适当的选择● 势 能  势能、机械能守恒定律 例如对常见的弹簧－质量系统，往往以其静平衡位置为零势能位置，这样可以使势能的表达式更简明 ● 有势力的功与势能的关系 根据势能的定义，可得到有势力的功和势能的关系 有势力所作的功等于质点系在运动过程起始位置与最终位置的势能差  势能、机械能守恒定律● 机械能守恒定律 质点系在某瞬时动能和势能的代数和称为机械能 当作用在系统上的力均为有势力时，其机械能保持不变。

这就是机械能守恒定律(theorem of conservation of mechanical energy)  势能、机械能守恒定律其中W´12为非保守力的功例如若系统上除了保守力外还有摩擦力， W´12 就是摩擦力的功 事实上，在很多情形下，质点系会受到非保守力的作用，这时的系统称为非保守系统在保守系统动能定理中加上一附加项，就可以得到机械能之间的相互关系 ● 机械能守恒定律  势能、机械能守恒定律 动力学普遍定理的综合应用返回返回总目录第12章 动能定理 动力学普遍定理动力学普遍定理动量定理动量定理动量矩定理动量矩定理动能定理动能定理矢量形式标量形式 动力学普遍定理的综合应用 动量定理 给出了质点系动量的变化与外力主矢之间的关系，可以用于求解质心运动或某些外力 动量矩定理 描述了质点系动量矩的变化与外力主矩之间的关系，可以用于具有转动特性的质点系，求解角加速度等运动量和外力 动能定理 建立了作功的力与质点系动能变化之间的关系，可用于复杂的质点系、刚体系求运动 应用动量定理和动量矩定理的优点是不必考虑系统的内力。

应用动能定理的好处是理想约束力所作之功为零，因而不必考虑 在很多情形下，需要综合应用这三个定理，才能问题的解答正确分析问题的性质，灵活应用这些定理，往往会达到事半功倍的作用 另外，这三个定理都存在不同形式的守恒形式，也要给予特别的重视  动力学普遍定理的综合应用例 题 5 均质圆轮A、B的质量均为m，半径均为R，轮A沿斜面作纯滚动，轮B作定轴转动，B处摩擦不计物块C的质量也为mA、B、C用无质量绳相联，绳相对B 轮无滑动系统初始为静止状态试求： 1．轮A、轮B之间的绳子拉力 和B处的约束力； 2．轮A与地面的接触点处的摩擦力  动力学普遍定理的综合应用而故有 取轮B和物块C组成的质点系为研究对象，分析受力，对点B应用动量矩定理，有 解： 1．确定绳子拉力本例的条件与例题2相同在例题2中已经求得例 题 5  动力学普遍定理的综合应用解得例 题 5  动力学普遍定理的综合应用 解： 2．确定B处的约束力对图示系统应用质心运动定理，有 由此解得B处的约束力例 题 5  动力学普遍定理的综合应用解： 3．确定A轮与斜面之间的摩擦力 取轮A为研究对象，分析受力，应用相对质心的动量矩定理，得到注意到 于是，得到摩擦力 例 题 5  动力学普遍定理的综合应用本例小结： 本例中几乎应用了三个定理的所有主要形式。

还可以发现，每种问题的解法都并不是唯一的这说明，对于具体问题，必须进行具体分析，没有统一的方法可循 例 题 5  动力学普遍定理的综合应用 均质细长杆长为 l ，质量为m，静止直立于光滑水平面上杆受微小干扰而倒下求：杆刚刚到达地面时的角速度和地面的约束力 例 题 6  动力学普遍定理的综合应用解：杆在水平方向不受外力，且由静止倒下，则在倒下过 程中其质心将铅直下落由运动学知，P为杆的瞬心例 题 6  动力学普遍定理的综合应用v CCA杆刚到达地面时，A点成为杆的瞬心，杆的的动能为： 例 题 6  动力学普遍定理的综合应用v CCA杆在滑倒过程中，只有重力作功由动能定理，有例 题 6  动力学普遍定理的综合应用AFNmga CC杆刚到达地面时，受力及加速度分析如图其中 其中 由运动学知 由刚体平面运动微分方程，得例 题 6  动力学普遍定理的综合应用AFNmga CC其中 由运动学知 将加速度矢量式向铅垂方向投影，得 联立以上诸式，可以解得  均质杆长为l，质量为m1，B 端靠在光滑墙上，A端用铰链与均质圆盘的质心相连。

圆盘的质量为m2 ，半径为R，放在粗糙的地面上，自图示θ=45°时由静止开始纯滚动试求: A点在初瞬时的加速度 例 题 7  动力学普遍定理的综合应用解：以杆和圆轮组成的系统为研究对象题中只有保守力作功，故机械能守恒，用机械能守恒定律求解 注意到杆和圆盘质心到速度瞬心的距离恒定，则构件对瞬心的转动惯量为常数 因此系统的动能为 例 题 7  动力学普遍定理的综合应用因此系统的动能为 设轮心A的速度为vA，则有 取经过轮心A的水平线为零势位置，系统的势能为 零势点零势点mm2 2g gmm1 1g g例 题 7  动力学普遍定理的综合应用根据机械能守恒定律，有 将上式对时间求一次导数 零势点零势点mm1 1g gmm2 2g g例 题 7  动力学普遍定理的综合应用于是，点A在初瞬时的加速度为 注意到 初瞬时 例 题 7  动力学普遍定理的综合应用解：以杆和圆轮组成的系统为研究对象用动能定理求解 系统的动能为 例 题 7  动力学普遍定理的综合应用设轮心A的速度为vA，则有 代入系统的动能表达式，得 mm2 2g gmm1 1g g例 题 7 动力学普遍定理的综合应用只有杆的重力对系统作功根据动能定理上式对时间求导 注意到 初瞬时 可解得解：以杆和圆轮组成的系统为研究对象。

用功率方程求解 系统的动能为 例 题 7  动力学普遍定理的综合应用设轮心A的速度为vA，则有 代入系统的动能表达式，得 mm2 2g gmm1 1g g例 题 7  动力学普遍定理的综合应用只有杆的重力对系统作功，其功率为根据功率方程等式左边对时间求导 注意到 初瞬时 可解得D返回返回总目录第12章 动能定理——结论与讨论  运动学方程的重要性  关于动量和动能 关于几个动力学定理的综合应用关于汽车驱动问题的结论 发动机给出的主动力偶克服阻力和阻力偶作功使汽车的动能增加； 与汽车行驶方向相同的摩擦力克服方向相反的摩擦力与空气的阻力使汽车的动量增加 结论与讨论1、 关于动量和动能关于汽车驱动问题的结论 如果路面很滑，摩擦力很小，发动机功率再大汽车也只能打滑，而不能向前行驶； 结论与讨论1、 关于动量和动能 反之，如果路面很粗糙，摩擦力可以很大，而发动机不能发出足够大的功率，汽车同样不能向前行驶 在动量、动量矩、动能定理的应用中，运动学方程起着非常重要的作用很多情形下，动力学关系非常容易得到，但运动学关系却很复杂。

参看下例参看下例  结论与讨论3、运动学方程的重要性  均质杆AB重W，A、B处均为光滑面约束，杆从铅垂位置无初速下滑求: 图示位置时A、B二处的约束力 分析：为了确定约束力， 可以采用质心运动定理 W 结论与讨论3、运动学方程的重要性 关键是质心加速度如何确定？  可以写出杆AB质心的坐标公式，然后求导数，表达出质心的加速度  结论与讨论3、运动学方程的重要性 方法 1：方法 2：杆端A 和B 的加速度方向已知，分别取其为基点，可得 加速度一旦确定，其余问题便迎刃而解以以 A A为基点为基点以以 B B为基点为基点 结论与讨论3、运动学方程的重要性 注意到 方向铅垂向下， 方向水平向右，将上式分别向x、y 方向投影问题是角速度、角加速度如何确定？  由于约束力FNA、FNB的作用线均通过杆的速度瞬心，所以，可以采用相对瞬心的动量矩定理，很容易确定杆的角加速度α将ϕ 看成变 量，对α积分可求得角速度ω C* 结论与讨论3、运动学方程的重要性 也可以由动能定理，很容易地求得角速度ω，进而可以求出杆的角加速度α。

确定速度和角速度的方法  点的运动学分析方法 —— 选择合适的描述点的运动坐标系，写出的运动方程或方程组，再将方程或方程组对时间求一次导数，即得点的速度  点的复合运动分析方法 —— 正确选择动点和动系，确定牵连速度、相对速度和绝对速度 刚体平面运动分析方法 —— 建立在速度合成定理基础上的基点法、速度投影法、瞬时速度中心法 结论与讨论3、运动学方程的重要性 动量定理、动量矩定理和动能定理的比较  动量定理、动量矩定理和动能定理都是描述质点系整体运动的变化与质点系所受的作用力之间的关系  动量定理、动量矩定理和动能定理都可以用于求解动力学的两类基本问题 结论与讨论4、几个动力学定理的综合应用 整体运动的变化整体运动的变化所受的作用力所受的作用力动动 量量 定定 理理动动 量量力力( (冲量冲量) )动量矩定理动量矩定理动量矩动量矩力力 矩矩动动 能能 定定 理理动动 能能力力 的的 功功  动量定理、动量矩定理一般限于研究物体机械运动范围内的运动变化问题  动能定理可以用于研究机械运动与其他运动形式之间的运动转化问题。

 结论与讨论4、几个动力学定理的综合应用 动量定理、动量矩定理和动能定理的比较  动量定理、动量矩定理的表达式中含有时间参数  动能定理的表达式中含有路程参数 结论与讨论4、几个动力学定理的综合应用 动量定理、动量矩定理和动能定理的比较  动量定理、动量矩定理的表达式为矢量形式，描述质点系整体运动时，不仅涉及有关运动量的大小，而且涉及运动量的方向  动能定理的表达式为标量形式，描述质点系整体运动时，不涉及运动量的方向，无论质点系如何运动，动能定理只能提供一个方程  结论与讨论4、几个动力学定理的综合应用 动量定理、动量矩定理和动能定理的比较  动量定理、动量矩定理的表达式中只包含外力，而不包含内力(内力的主矢和主矩均为零)  动能定理的表达式中可以包含主动力和约束力，主动力中可以是外力，也可以是内力(可变质点系) ；对于理想约束，则只包含主动力 结论与讨论4、几个动力学定理的综合应用 动量定理、动量矩定理和动能定理的比较   分析和解决复杂系统的动力学问题时，选择哪一个定理的原则是： 1 1、所要求的运动量在所选择的定理中能比较容易地表达出来； 2 2、、在所选择的定理表达式中，不出现不必要求的相关未知力。

 结论与讨论4、几个动力学定理的综合应用 动量定理、动量矩定理和动能定理的比较   对于由多个刚体组成的复杂系统，如果选用动量定理或动量矩定理，需要将系统拆开，不仅涉及的方程数目比较多，而且会涉及求解联立方程动量定理、动量矩定理和动能定理的比较 如果选用动能定理，对于受理想约束的系统，可以不必将系统拆开，而直接对系统整体应用动能定理，建立一个标量方程，求得速度或加速度(角速度或角加速度) 结论与讨论4、几个动力学定理的综合应用 A Amm1 1O Ox xmm2 2B Bl lv vA A 已知滑块已知滑块A A的质量为的质量为 mm1 1，，质点质点B B的质量为的质量为mm2 2 , AB, AB杆的杆的长度为长度为 l l、、不计质量，可以不计质量，可以绕绕 A A点转动，滑块的速度为点转动，滑块的速度为v vA A求：系统的动能，并用广系统的动能，并用广义坐标表示义坐标表示 参考性例题 1第13章 动能定理 返回解：1 1、广义坐标、广义坐标 滑块作水平直线运动；滑块作水平直线运动；质点质点B B作平面作平面曲线曲线运动。

运动系统具有系统具有2 2个自由度广个自由度广义坐标选择为义坐标选择为 x x 和和θθ θθA Amm1 1O Ox xmm2 2B Bl lv vA Ax x 参考性例题 1v ve ev vr r解：2 2、运动分析与速度分析、运动分析与速度分析 滑块作直线运动，速度滑块作直线运动，速度为为v vA A；；在滑块上建立动系在滑块上建立动系AxAx´ ´ y y´ ´ 质点质点B B作平面运动以作平面运动以A A为基点，其牵连速度与相为基点，其牵连速度与相对速度分别为对速度分别为A Amm1 1O Ox xmm2 2B Bl lv vA Ax xx x´ ´y y´ ´ 参考性例题 1解：3 3、计算系统动能、计算系统动能滑块的动能滑块的动能质点质点B B的动能的动能v ve ev vr rA Amm1 1O Ox xmm2 2B Bl lv vA Ax xx x´ ´y y´ ´ 参考性例题 1系统系统的总动能的总动能A AC CB Bl ll ll l 均质杆件均质杆件ABAB的长度为的长度为2l2l，重量，重量为为WW，质心在，质心在C C 处，处，A A处为铰链连处为铰链连接。

刚度系数为接刚度系数为 k k、原长为、原长为 l l 的的弹簧，一端固结于弹簧，一端固结于C C点，另一段点，另一段固结于地面上的固结于地面上的D D点杆件AB AB 在在竖直位置时在微小扰动下，运动竖直位置时在微小扰动下，运动到水平位置到水平位置求：1 1、弹簧力所作之功；、弹簧力所作之功； 2 2、杆件、杆件ABAB运动到水平位置时运动到水平位置时 的角速度的角速度D D 参考性例题 2A AC CB Bl ll ll lA AC C´ ´B B´ ´l ll ll lD D解：1 1、杆、杆AB AB 从竖直位置运动到水平从竖直位置运动到水平 位置弹簧力所作之功位置弹簧力所作之功 参考性例题 2解：2 2、、AB AB 杆的角速度杆的角速度A AC CB Bl ll ll lA AC C´ ´B B´ ´l ll ll lD D A B A B杆从竖直位置运动到水平位置杆从竖直位置运动到水平位置时，不考虑磨擦力，系统的有功力时，不考虑磨擦力，系统的有功力为杆件的重力为杆件的重力 WW 和弹簧力和弹簧力F F。

WF应用动能定理，应用动能定理， 参考性例题 2J J1 1r r1 1O O1 1Mr r2 2O O2 2J J2 2电动机电动机滑轮滑轮1 1滑轮滑轮2 2胶带胶带 已知传动机构的传动比为已知传动机构的传动比为i i，，转动转动惯量转动转动惯量J J1 1和和J J2 2，胶带的，胶带的质量为质量为mm，施加在电动机上的，施加在电动机上的主动力偶的力偶矩主动力偶的力偶矩MM求：电机轴的角加速度电机轴的角加速度 参考性例题 3 解：设电动机轴的转速为设电动机轴的转速为  假设胶带不可伸长，胶带的内力假设胶带不可伸长，胶带的内力不作功，胶带约束为理想约束；不不作功，胶带约束为理想约束；不计轴与轴承之间的摩擦，轴承亦为计轴与轴承之间的摩擦，轴承亦为理想约束于是只有主动力偶理想约束于是只有主动力偶MM作作功 假设滑轮假设滑轮1 1和和2 2的角速度分别为的角速度分别为ω ω1 1和和ω ω2 2 ，胶带的速度为，胶带的速度为v v 对整体系对整体系统应用动能定理统应用动能定理 参考性例题 3J J1 1r r1 1O O1 1r r2 2O O2 2J J2 2M解：应用传动比与速度、角速度之间的关系应用传动比与速度、角速度之间的关系 将动能定理仅用将动能定理仅用ω ω 1 1一个参数表示一个参数表示 参考性例题 3将等式两边同时对时间求一次导数将等式两边同时对时间求一次导数J J1 1r r1 1O O1 1r r2 2O O2 2J J2 2M解得解得b bl l－－b b 链条总长度为 l，线质量密度为ρ ，下垂部分长度为 b，链条从静止开始，在自重作用下运动。

不考虑链条与台面之间的磨擦求：链条完全离开台面时的速度 参考性例题 4b bl l－－b b 应用动能定理求解落链运动问题时，落链的动能不难计算，难点在于落链各部分的运动各不相同，落链的重力功为变力功，不易计算 采用简化模型，可以将落链的重力功简化为常力功计算 参考性例题 4解：链条的动能变化链条重力所作之功应用动能定理求得链条完全离开台面时的速度 参考性例题 4C C´ ´b bl l－－b bd dC C l – b 返回谢谢！。