§9.6空间向量分解定理教学目的：要求学生掌握空间向量的分解定理，能用三个不共面的向量表示一个向量；或一个向量分解为三个不共面的向量教学重点空间向量的分解定理教学难点将任一向量表示成空间的一个基的线性组合教学方法教师在讲课过程中设置大量的小问题，由学生讨论得出结论教学时数二学时教学过程一、复习引入新课：师：我们在上学期学习过平面向量分解定理，它的内容是什么呢？—fc--ft-—r—►生：设a,b是平面上不共线的两个向量，则平面上的每一向量C可以由a和b线性表出，并且表出方式唯一师：什么是线性表出？―►—*■生：即c表示为xa+yb师：什么是向量的坐标？生:C表示为xa+yb后称（x,y）为向量C在基a，b下的坐标投影）师：那么对于空间中的任意向量能否进行分解，从而确定其坐标呢？这就是今天我们要研究的课题二、讲授新课：a3e3，其中a二a2，a3是实数从而完成证明）：1. 空间向量分解定理（投影）：在空间中取定三个不共面的向量e，e，e，则空间中的每一向量a123可以唯一地表示成ei，e2，e3的线性组合：a=aiei+a2e2+；证明（黑板上板演，此处教师提问多个小问题，由学生回答如图1e，e12，e3是空间中三个不共面的向量，其中表示7,e2的有向线段在平面°内，表示e3的有向线段OD不在平面a内，它们的起点都是点0。
>>>下面设a丰0如果a=°，则a=0e+0e+0e123F面设a与e不共线3如果a与共线，则存在实数入」吏得a=入笃=0Je2+入e3作有向线段OA表示向量a点A和向量e确定一条直线1设l与平面a相交于点M,连接30M由于有向线段0M在平面a内，且e与e不共线(因为e，e，e不共面)，因此据平面1丄123向量分解定理，得0M=ae+ae(3)，1122其中a1，a2是实数>►又由于MA与e共线，因此存在实数哲，使得33MA=ae⑷33从(3)式和(4)式得a=0A=0M+MA=a1e1+a2e2+a3e3（5）综合以上情况可知：向量a可以表示成e，e，e的一个线性组合123师：唯一性的证明比较复杂，此处不再证明了，有兴趣的同学可以看看注(投影)：⑴空间中取定的三个不共面向量e，一e，e称为空间的一个基123(2)有序数组(％,a2，a3)称为碑a_在基e，e，e下的坐标123123用空间向量的坐标做向量的有关运算师：在平面向量中，我们讲了如何用平面向量的坐标来作向量的有关运算在空间向量中也有类似的结论(以下结论，先由学生猜，教师再投影)设空间取定了一个基e，e，e，设向量a,b在这个基下的坐标分别为(a1，a2，a3)和123123(①，b2，b3)•则a=boa_1=b1，a2=b2，a3=b3即两个向量相等的充要条件是两个向量坐标相123112233等。
等讨论：a+b，a-b，ka在基e，e，e下的坐标分别为什么？123证明(板演)：►►►—►1°a+b=(ae+ae+ae)+(be+be+be)=(a+b)e+(a+b)e+(a+b)e112233112233111222333—►2°a-b=(ae+ae+ae)-(be+be+be)=(a-b)e+(a-b)e+(a-b)e1十2仝3于1］一2—33一11］一222一333一3°a=k(ae+ae+ae)=(ka)e+(ka)e+(ka)e11一2—3”1一1—2一233一一*一结论：(1)平面向量和与差的坐标：►►►►►►a+b在基e，e，e下的坐标为(a〕+b1，a_+b2，a3+b3)，,123112233—►a-b在基e,e,e下的坐标为（£-b，a「b，a-b）,123112233即两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差（2）实数与向量的积的坐标：ka的坐标为（kal，a2，ka3）,即实数入与向量a的乘积的坐标等于此实数入乘向量a的坐标2. 应用:1C1向量AB，AC在这个基下的坐标1C例1（投影）如图，正方体的棱AB，AD，AA1不共面，取AB，AD，AA为空间的一个基。
分别求解（学生）：因为AB=1AB+0AD+0AA，1所以AB在基AB，AD，AA下的坐标为（1,0，0）—因为AC=AC+CC=AB+AD+AA，i1——>1所以AB在基AB，AD，AA下的坐标为（1，1，1）i例2证明：如果一条直线与两个相交平面都平行，那么这条直线与这两个平面的交线平行分析：根据直线与向量间的关系，我们要想证明两条直线平行，可以首先证明两条直线的方向向量共线，如果再能说明两条直线没有公共点，就可以证明两条直线是平行的了证明（教师提问，学生做答）2设平面a与0相交，交线为J直线1与a、0都平行设直线1、1］的一个方向向量分别为v，e，如图所示在1上取一点O,在平面a、0内分别取一点A，B把有向线段OA，OB表示11的向量分别记作e，e，则e，e，e不共面据空间向量分解定理，得23123v=ke+ke+ke，（6）】一12233由于1〃a，因此v〃a，从而v可以表示成e，e的线性组合，所以（6）式中的k3=0123由于1〃0同理k2=0，于是（6）式成为v=k1e此式表明v与e共线又由于1与1没有公共点，因此1与11平行—►—>—►—>例3（投影）.设向量a,b基e，e，e下的坐标分别为（2,-1，5），（-3,7,4）求a+b，1233a,2a3b的坐标.解(学生)：a+b的坐标为：(2,-1,5)+(-3,7,4)=(2-3,-1+7,5+4)=(-1,6,9).3a,2a3b的坐标分别为3(2,-1,5)=(6,-3,15).2(2,-1,5)-3(-3,7,4)=(4,-2,10)-(-9,21,12)=(4+9,-2-21,10-12)=(13,-23,-2).三、小结：本节主要内容为空间向量分解定理、向量的坐标概念和向量运算。
空间向量分解定理实质在于：空间任一向量都可以表示为三个不共面向量的线性组合重点是利用空间向量的坐标作向量的线性运算四、练习：p145a组1.四、作业：P145A组2.3.。