7.2 迭代法及其收敛性（续）,二、迭代法的收敛速度,一、迭代法的收敛条件,/* Fixed-Point Iteration,,,,and Convergence*/,一、迭代法的收敛条件,1. 迭代公式的构造,f(x) = 0,x = g(x),构造公式,x,k+1,= g(x,k,),1)给初值x,0,2)若x,k,→x,*,x,*,就是f(x)=0的根,同解变形,2. 判断收敛的方法1： （区间收敛）,定理,设方程,x,=,g,(,x,)有根,,g’,(,x,)在(,a,,,b),上连续，,则任取,x,0,[,a,,,b,]，由,x,k,+1,=,g,(,x,k,) 得到的序列 收敛于,g,(,x,) 在,[,a,,,b,]上的唯一不动点 I ) 当,x,[,a,,,b,] 时，,g,(,x,),[,a,,,b,]；,,( II ), 0 ,L,< 1,使得,|,g,’(,x,) | ,L,< 1,对,,x,[,a,,,b,] 成立若,3. 判断收敛的方法2： （局部收敛）,定理,若在,x,* 的某,,邻域,B,,= {,x,| |,x x* |,,,} 有,,,,,g,,C,1,[,x* - ,,,x* + ,] 且 |,g,’(,x,*) | < 1，,,,则由,,x,0,,B,,开始的迭代收敛。
例求方 程 在x=0.5附近的一个根分析：本题两种思路,,方法1：找到一个区间(a,b)，在此区间上迭代函数满足定理的条件，由此构造出的迭代公式才能收敛到方程的根方法2：根据迭代法的局部收敛下面只考虑第2种方法.,方法2：,首先,连续,其次,局部收敛.,而 ,因此用迭代公式,例用不同方法求方 程 的根x*=,解：由方程可写成不同的迭代形式,(1),(2),(3),(4),取x,0,= 2，对上述4种迭代法，计算结果为：,k,x,k,迭代法1,迭代法2,迭代法3,迭代法4,0,x,0,2,2,2,2,1,x,1,3,1.5,1.75,1.75,2,x,2,9,2,1.73475,1.732143,3,x,3,87,1.5,1.732361,1.732051,…,…,…,…,…,…,(收敛,,),(发散,,),快,则称该迭代为,p,阶收敛，其中,C,称为渐进误差常数/*,{,x,k,},converges to,,x,*,of order,,p,,,,with asymptotic error constant,,C,> 0,*/,二、迭代法的收敛速度,1. 迭代法的收敛阶,/* Order of Convergence */,定义,设迭代,x,k,+1,=,g,(,x,k,) 收敛到,g,(,x,) 的不动点,x,*。
设,e,k,= x,k,,,x,*，,若,特别地,,p,= 1时称线性收敛，,/* linear convergence */,,p,>1时称超线性收敛,/* superlinear convergence */,,p,= 2时称平方收敛,/* quadratic convergence */,Q:,如何实际确定收敛阶和,渐进误差常数,？,x,*,k,, ,C,定理,设,x,*,为,x,=,g,(,x,) 的不动点,，若 ，,p, 2；,,且 ，则,x,k,+1,=,g,(,x,k,) 在 内,p,阶收敛证明：由于,g,’(,x,*)=0，故可断定局部收敛，,请考察前面的例题！,作业：,,习题 1，2，3，4,。