第三章 第三章 空间向量与立体几何空间向量与立体几何 3 3．．2 2 立体几何中的向量方法 立体几何中的向量方法 第第1课时 空间向量与平行关系课时 空间向量与平行关系 •1.理解直线的方向向量和平面的法向量．•2．能用向量语言表述线线、线面、面面的平行关系. •新 知 视 界•1．空间中任意一条直线l的位置可以由l上一个定点A以及一个定方向确定，如图1A是直线l上一点，向量a表示直线l的方向向量．•2．直线l ⊥α，取直线l的方向向量a ，则向量a ⊥α，向量a叫做平面α的法向量． •2．在具体问题中，如何确定直线的方向向量和平面的法向量？•提示：实际应用中，直线的方向向量即把线段看作有向线段时表示的向量．平面的法向量一般可建系后用待定系数法求出． •3．空间平行关系的向量表示•(1)线线平行：设直线l，m的方向向量分别为a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)，则l∥m⇔a＝λb⇔(a1，b1，c1)＝λ(a2，b2，c2)．•(2)线面平行：设直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)， 平 面 α的 法 向 量 为 u＝ (a2， b2， c2)， 则l∥α⇔u⊥a⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0. •(3)面面平行：设平面α、β的法向量分别为u＝(a1，b1，c1)，v＝(a2，b2，c2)，则α∥β⇔u∥v⇔u＝kv⇔(a1，b1，c1)＝k(a2，b2，c2)． •尝 试 应 用•1．若A(－1,0,1)，B(1,4,7)在直线l上，则直线l的一个方向向量为( )•A．(1,2,3) B．(1,3,2)•C．(2,1,3) D．(3,2,1) •答案：A •2．若u＝(2，－3,1)是平面α的一个法向量，则下列向量中能作为平面α的法向量的是( )•A．(0，－3,1) B．(2,0,1)•C．(－2，－3,1) D．(－2,3，－1)•解析：同一个平面的法向量平行，故选D.•答案：D •3．设平面α的法向量为(1,2，－2)，平面β的法向量为(－2，－4，k)，若α∥β，则k等于( )•A．2 B．－4•C．4 D．－2•答案：C •4．已知直线l1的一个方向向量为(－7,3,4)，直线l2的一个方向向量为(x，y,8)，且l1∥l2，则x＝________，y＝________.•答案：－14 6 •5．在正方体AC1中，O1为B1D1的中点，求证BO1∥平面ACD1. •证明：方法一：以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建立如图2所示的空间直角坐标系．•设正方体的棱长为2，•则A(2,0,0)，D1(0,0,2)，C(0,2,0)，•B(2,2,0)，O1(1,1,2)， •方法二：在证法1建立的空间直角坐标系下，取AC的中点O，连接D1O，则O(1,1,0)， •典 例 精 析•类型一 利用方向向量和法向量判定线面关系•[例1] (1)设a，b分别是不重合的直线l1，l2的方向向量，根据下列条件判断l1与l2的位置关系：•①a＝(2,3，－1)，b＝(－6，－9,3)；•②a＝(5,0,2)，b＝(0,4,0)；•③a＝(－2,1,4)，b＝(6,3,3)． •(3)设u是平面α的法向量，a是直线l的方向向量，根据下列条件判断l和α的位置关系：•①u＝(2,2，－1)，a＝(－3,4,2)；•②u＝(0,2，－3)，a＝(0，－8,12)；•③u＝(4,1,5)，a＝(2，－1,0)．•[分析] 解答本题可先判断方向向量与法向量的关系，再判断线线、线面、面面的位置关系． •[点评] 解答本题的关键是：(1)搞清直线的方向向量、平面的法向量和直线、平面的位置关系之间的内在联系．(2)要熟练掌握判断向量共线、垂直的方法，再把向量问题转化为几何问题时，注意其等价性． •迁移体验1 根据下列条件，判断相应的直线与直线、平面与平面、直线与平面的位置关系．•①直线l1，l2的方向向量分别是a＝(1，－3，－1)，b＝(8,2,2)；•②平面α，β的法向量分别是u＝(1,3,0)，n＝(－3，－9,0)； •③直线l的方向向量、平面α的法向量分别是a＝(1，－4，－3)，u＝(2,0,3)；•④直线l的方向向量、平面α的法向量分别是a＝(3,2,1)，u＝(－1,2，－1)． •解：①∵a·b＝1×8＋(－3)×2＋(－1)×2＝0，•∴a⊥b，∴l1⊥l2.•②∵n＝－3u，∴n∥u，∴α∥β.•③∵a·u≠0且a≠λu，∴l与平面α斜交．•④a·u＝3×(－1)＋2×2＋1×(－1)＝0，•∴a⊥u，∴l∥α或l⊂α. •类型二 求平面的法向量•[例2] 已知平面α经过三点A(1,2,3)、B(2,0，－1)、C(3，－2,0)，试求平面α的一个法向量． •类型三 证明线线、线面平行• [例3] 如图4所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是C1C、B1C1的中点．求证：MN∥平面A1BD. •[证明] 法一：如图5所示，以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则可求得 •[点评] 用向量法证明线面平行常用三种方法：一是证明直线上某个向量与平面内某一向量共线；二是证明直线上的某个向量与平面内的两个不共线向量共面，且不在平面内；三是证明直线上某个向量与平面的法向量垂直． •迁移体验3 如图6，在长方体OAEB－O1A1E1B1中，OA＝3，OB＝4，OO1＝2，点P在棱AA1上，且AP＝2PA1，点S在棱BB1上，且SB1＝2BS，点Q、R分别是O1B1、AE的中点，求证：PQ∥RS. •证明：如图7所示，建立空间直角坐标系，则A(3,0,0)，B(0,4,0)，O1(0,0,2)，A1(3,0,2)，B1(0,4,2)，E(3,4,0)•∵AP＝2PA1， •类型四 证明面面平行• [例4] 正方体ABCD－A1B1C1D1的边长为4，M、N、E、F分别是棱A1D1、A1B1、D1C1、B1C1的中点．•求证：平面AMN∥平面EFBD. •[分析] 利用向量证面面平行一般通过证线面平行或线线平行．也可以证两平面的法向量共线． •[证明] 法一：建立如图9所示的空间直角坐标系，则A(4,0,0)，M(2,0,4)，N(4,2,4)，D(0,0,0)，B(4,4,0)，E(0,2,4)，F(2,4,4)．•取MN的中点G及EF的中点K，BD的中点Q，则G(3,1,4)，K(1,3,4)，Q(2,2,0)． •法二：建立如图10所示的空间直角坐标系，则A(4,0,0)，M(2,0,4)，N(4,2,4)，B(4,4,0)，E(0,2,4)，F(2,4,4)， •迁移体验4 如图11，O是正方体ABCD－A1B1C1D1的底面中心，P是DD1的中点，Q点在CC1上，问：当点Q在CC1的什么位置时，平面BD1Q∥平面APO? •解：以D为原点，分别以DA、DC、DD1所在直线为x、y、z轴，建立空间直角坐标系， •设正方体的棱长为2，则O(1,1,0)，P(0,0,1)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，D1(0,0,2)，•设Q(0,2，z)(0≤z≤2)， •思 悟 升 华•1．平面法向量的求法•(1)当已知平面的垂线时，在垂线上取一非零向量即可作为平面的法向量．•(2)当已知平面α内两不共线向量a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)时，常用待定系数法求法向量： •2．用向量方法证明平行关系的方法线线线线平行平行设直线设直线l l1 1、、l l2 2的方向向量分别是的方向向量分别是a a、、b b，则要证明，则要证明l l1 1∥∥l l2 2，只需证，只需证明明a a∥∥b b，即，即a a＝＝kbkb( (k k∈∈R R) )．．线面线面平行平行1.1.设直线设直线l l的方向向量是的方向向量是a a，平面，平面αα的法向量是的法向量是u u，则要证明，则要证明l l∥∥αα，只需证明，只需证明a a⊥⊥u u，即，即a a· ·u u＝＝0.0.2.2.根据线面平行判定定理在平面内找一个向量与已知直线的方向根据线面平行判定定理在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即可．向量是共线向量即可．3.3.证明一条直线证明一条直线l l与一个平面与一个平面αα平行，只需证明平行，只需证明l l的方向向量能用的方向向量能用平面平面αα内两个不共线向量线性表示．内两个不共线向量线性表示．面面面面平行平行1.1.转化为相应地线线平行或线面平行．转化为相应地线线平行或线面平行．2.2.求出平面求出平面αα，，ββ的法向量的法向量u u，，v v，证明，证明u u∥∥v v即可说明即可说明αα∥∥ββ. . 。