《数学分析》教案第十二章 数项级数 教学目的：1.明确认识级数是研究函数的一个重要工具；2.明确认识无穷级数的收敛问题是如何化归为部分和数列收敛问题的；3.理解并掌握收敛的几种判别法，记住一些特殊而常用的级数收敛判别法及敛散性 教学重点难点：本章的重点是级数敛散性的概念和正项级数敛散性的判别；难点是一般级数敛散性的判别法 教学时数：18学时 1 级数的收敛性 一． 概念 ： 1． 级数 ：级数 ，无穷级数 ; 通项 ( 一般项 , 第 项 ), 前 项部分和等概念 ( 与中学的有关概念联系 ). 级数常简记为 .2. 级数的敛散性与和 : 介绍从有限和入手, 引出无限和的极限思想 . 以在中学学过的无穷等比级数为蓝本 , 定义敛散性、级数的和、余和以及求和等概念 . 例1 讨论几何级数 的敛散性.（这是一个重要例题！）解 时, . 级数收敛 ; 时, 级数发散 ; 时, , , 级数发散 ; 时, , , 级数发散 .综上, 几何级数 当且仅当 时收敛, 且和为 ( 注意 从0开始 ). 例2 讨论级数 的敛散性. 解（利用拆项求和的方法）例3 讨论级数 的敛散性.解 设 , , = , . , . 因此, 该级数收敛. 例4 讨论级数 的敛散性.解 , . 级数发散.3. 级数与数列的关系 : 对应部分和数列{ }, 收敛 { }收敛;对每个数列{ }, 对应级数 , 对该级数, 有 = . 于是,数列{ }收敛 级数 收敛.可见 , 级数与数列是同一问题的两种不同形式 . 4. 级数与无穷积分的关系 : , 其中 . 无穷积分可化为级数 ;对每个级数, 定义函数 , 易见有= . 即级数可化为无穷积分.综上所述 , 级数和无穷积分可以互化 , 它们有平行的理论和结果 . 可以用其中的一个研究另一个 . 二. 级数收敛的充要条件 —— Cauchy准则 ：把部分和数列{ }收敛的Cauchy准则翻译成级数的语言 ， 就得到级数收敛的Cauchy准则 . Th ( Cauchy准则 ) 收敛 和 N, . 由该定理可见, 去掉或添加上或改变 ( 包括交换次序 ) 级数的有限项 , 不会影响级数的敛散性 . 但在收敛时 , 级数的和将改变 . 去掉前 项的级数表为 或.系 ( 级数收敛的必要条件 ) 收敛 . 例5 证明：级数 收敛 .证 显然满足收敛的必要条件 . 令 , 则当 时有应用Cauchy准则时，应设法把式 | |不失真地放大成只含 而不含 的式子，令其小于 ，确定 . 例6 判断级数 的敛散性. ( 验证 . 级数判敛时应首先验证是否满足收敛的必要条件 )例7 ( 但级数发散的例 ) 证明调和级数 发散 .证法一 ( 用Cauchy准则的否定进行验证 ) 三． 收敛级数的基本性质：（ 均给出证明 ） 性质1 收敛， — Const 收敛且有 = 性质2 和 收敛 ， 收敛, 且有 = .性质3 若级数 收敛 , 则任意加括号后所得级数也收敛 ,且和不变 . 2 正项级数 一. 正项级数判敛的一般原则 : 1. 正项级数 : ↗; 任意加括号不影响敛散性.2. 基本定理 : Th 1 设 . 则级数 收敛 . 且当 发散时, 有, . ( 证 )3. 正项级数判敛的比较原则 : Th 2 设 和 是两个正项级数 , 且 时有 , 则 ⅰ> 收敛, 收敛; ⅱ> 发散, 发散.( ⅱ> 是ⅰ>的逆否命题 )例1 考查级数 的敛散性 .解 有 例2 设 . 判断级数 的敛散性 . 推论1 ( 比较原则的极限形式 ) 设 和 是两个正项级数且 ,则 ⅰ> 时 , 和 共敛散 ; ⅱ> 时 , 收敛, 收敛; ⅲ> 时 , 发散, 发散. ( 证 )二. 正项级数判敛法: 1． 检比法： 亦称为 D’alembert判别法 .用几何级数作为比较对象 , 有下列所谓检比法 .Th 3 设 为正项级数 , 且 及 时 ⅰ> 若 , 收敛; ⅱ> 若 , 发散. 证 ⅰ> 不妨设 时就有 成立 , 有 依次相乘 , , 即 . 由 , 得 收敛, 收敛. ⅱ> 可见 往后递增 , .推论 ( 检比法的极限形式 ) 设 为正项级数 , 且 . 则 ⅰ> < , 收敛; ⅱ> > 或 = , 发散. ( 证 ) 例4 判断级数 的敛散性.解 , 收敛. 例5 讨论级数 的敛散性. 解 . 因此, 当 时, ; 时, ; 时, 级数成为 , 发散 2. 检根法 ( Cauchy 判别法 ): 也是以几何级数作为比较的对象建立的判别法.Th 4 设 为正项级数 , 且 及 , 当 时 , ⅰ> 若 , 收敛; ⅱ> 若 , 发散. ( 证 )推论 ( 检根法的极限形式 ) 设 为正项级数 , 且 . 则 , 收敛; , 发散. ( 证 ) 例5 研究级数 的敛散性 . 解 , 收敛. 3． 积分判别法 ： Th 5 设在区间 上函数 且↘ . 则正项级数 与积分共敛散. 证 对 且 . 例6 讨论下列级数的敛散性: ⑴ ; ⑵ . 习 题 课 一． 直接比较判敛： 对正项级数，用直接比较法判敛时 , 常用下列不等式: ⑴ . ⑵ 对 , 有 . ⑶ ; 特别地 , 有 , . ⑷ 时 , 有 . ⑸ . ⑹ 充分大时 , 有 . 例1 判断级数 的敛散性. 解 时, , ( 或 ). …… 例2 判断级数 的敛散性 , 其中 . 解 时 , 有 收敛; 时 , 发散.例3 设数列 有界 . 证明 .证 设 . 例4 设 且数列 有正下界 . 证明级数 .证 设 . 例5 . 若 , 则 .证 ; 又 . 例6 设 . 若级数和 收敛 ,则级数 收敛.例7 设 . 证明 ⑴ , , ; ⑵ 和 之一或两者均发散时, 仍可能收敛 ; ⑶ , , .证 ⑴ 充分大时 , . ⑵ 取 . ⑶ . 二. 利用同阶或等价无穷小判敛 : 例8 判断下列级数的敛散性: ⑴ ; ⑵ ; ⑶ ; ⑷ ; ⑸ . 例9 判断下列级数的敛散性: ⑴ ; ⑵ .三． 利用级数判敛求极限 ： 原理 : 常用判定级数 收敛的方法证明 或 .例10 证明 . 例11 证明 .例12 设 ↘ . 若 收敛, .证 对 , 由 收敛, 有 , 即 ; , 即 .于是 , 时总有 . 此即 . 3 一般项级数 一. 交错级数 : 交错级数 , Leibniz型级数 . 二. 绝对收敛级数及其性质 : 1. 绝对收敛和条件收敛: 以Leibniz级数为例, 先说明 收敛 绝对收敛.Th 2 ( 绝对收敛与收敛的关系 ) , 收敛.证 ( 用Cauchy 准则 ). 一般项级数判敛时, 先应判其是否绝对收敛. 例2 判断例1中的级数绝对或条件收敛性 . 2. 绝对收敛级数可重排性 : ⑴ 同号项级数 ： 对级数 ，令 则有 ⅰ> 和 均为正项级数 , 且有 和; ⅱ> , . ⑵ 同号项级数的性质: Th 3 ⅰ> 若 ， 则 ， . ⅱ> 若 条件收敛 , 则 , . 证 ⅰ> 由 和 , ⅰ> 成立 . ⅱ> 反设不真 , 即 和 中至少有一个收敛 , 不妨设 .由 = , = 以及 和 收敛 , .而 , ,与条件收敛矛盾 . 三. 级数乘积简介: 1. 级数乘积 : 级数乘积 , Cauchy积. [1] P20—21. 2．级数乘积的Cauchy定理: 四. 型如 的级数判敛法： Th (Abel判别法 ) 设 ⅰ> 级数 收敛，ⅱ> 数列 单调有界 . 则 级数 收敛 .证 ( 用Cauchy收敛准则 , 利用Abel引理估计尾项 )设 , 由 收敛 , 对 时 , 对 , 有 . 于是当 时对 有 . 由Cauchy收敛准则 , 收敛. 2. Dirichlet判别法: Th 8 ( Dirichlet) 设 ⅰ> 级数 的部分和有界, ⅱ> 数列 单调趋于零 . 则级数 收敛 .证 设 , 则 , 对 , 有 。