數學陶冶我一生陳省身 § 早年在中國所受的教育 § 歐洲的留學生活 § 數學上與世隔絕 § 普林斯頓陽光燦爛 § 數學上進入不惑之年 § 在西海岸定居 § 老耄之年的消遣 本文原題 My Mathematical Education譯自作者於1991.10.28寄給《陳省身文選》編者的複印中原文已刊在丘成桐主編的文集《Chern-A Great Geometer of the Twentieth Century》(1992)中本文現收錄在《陳省身──20世紀的幾何大師》（《Chern-A Great Geometer of the Twentieth Century》中譯本），交大出版社出版 早年在中國所受的教育我於1923年1月進天津扶輪中學那是一所四年制的高級中學，我獲准插班入一年級就讀第二學期該校的數學課程有： (1)第一年，算術，使用中文課本； (2)第二年，代數，使用 Hall 與 Knight 的課本； (3)第三年，幾何，使用 Wentworth 與 Smith 的課本； (4)第四年，三角學和高級代數，分別使用 Wentworth-Smith 及 Hall-Knight 的課本。
我的老師都很有能力，又極富獻身精神，我做了大量習題到第四年，我已能做許多 Hall-Knight 的書中引用的劍橋大學榮譽學位考試的題目 1926年我從扶輪畢業；同年我進南開大學，實際上是跳了兩級，因此我從未上過解析幾何課更糟的是，我必須參加南開大學的入學考試，其數學試題中解析幾何佔很重的份量考試前的三個星期，我自學了 Young 與 Morgen 的《數學分析》（Mathematical analysis）如果記得不錯的話，我的考卷位列第二不過在很長的一段時間內，「圓錐曲線的焦點」這一概念令我大傷腦筋，直到幾年後學了射影幾何學我才茅塞頓開 進南開大學後，我很快就發現自己做實驗笨手笨腳，於是數學便成為我唯一的選擇我有幸得姜立夫教授為師-他1918年獲哈佛大學哲學博士學位，導師是 J. Coolidge，論文題目是關於非歐幾里得空間中線球接觸變換的因此，我在大學第四年，花了許多功夫學幾何，所讀的書中有 Coolidge 的《非歐幾何學》(Noneuclidean Geometry) 與《圓和球的幾何學》(Geometry of the circle and sphere)，Solmon 的《圓錐曲線》(conic sections) 與《立體解析幾何》(Analytic Geometry of Three Dimmensions)，以及 Castelnuovo 的《解析幾何與射影幾何》(Analytic and Projective Geometry) 等。
尤其使我著迷的是 Otto Staude 的二卷本著作《線構造》(Fadenkonstruktionen)二次超曲面的幾何是數學中優美的篇章我很高興看到 J. Moser 1979年在可積哈密頓系統和譜理論的研究中繼續這方面的工作參見3）甚至在今日，研究 Salmon 的東西可能仍是有價值的，至少在我看來是有趣的 1930年我從南開畢業，去北平清華大學從孫鎕 註1 教授工作孫先生在當時是中國發表數學研究論文的唯一的數學家孫的研究領域是射影微分幾何，他曾是芝加哥大學 E.P. Lane 的博士生這個主題由 E.J. Wilczynsky 於1901年創立，是那時已經支配幾何學近一世紀的射影幾何的一個自然產物我熟悉了這方面的文獻，並寫了幾篇論文，其中包括我的有關射影線幾何的碩士論文繼 Plücker 與 Klein 之後，線幾何一直是幾何學家們喜愛的主題事實上，Klein 的學位論文就是關於二次線體的，即 Plücker 坐標下的二次方程所確定的線軌 (line loci)二次線體具有許多背景中也有許多線幾何的內容 我的論文研究線匯，即線的二維子流形以及它們的通過二次線體的密切 (osculation)。
在我的研究生學業接近結束時，即大約1934年左右，我開始認識到整體微分幾何（當時稱為大範圍微分幾何）的重要性我的主要靈感來自 W. Blaschke 的關於微分幾何的那些著作 很清楚，代數拓撲是整個領域的基礎而代數拓撲本身當時還處於發展階段Veblen 於1922年發表的 analysis situs 註2 引進了「同調不變量」(homology characters) 即根據關聯矩陣得出的 Betti 數和撓係數Lefschetz 的《拓撲學》於1930年出版，但該書對初學者進入這個領域並無裨益我曾聽過 Emanuel Sperner 的講課（1933～1934年）當時 Sperner 正在北京大學訪問，他的課包含有對 Erhard Schmidt 關於約當曲線定理的證明的嚴密而詳細的論述我也聽過江澤涵講授的以 Lefschetz 的書為藍本的「位置分析」課，江是 Marston Morse 過去的學生，曾擔任 Lefschetz 的助手而我當時的感覺是我只是剛剛站在代數拓撲這座偉大殿堂的門口到1934年 Seifert-Threlfall 的書和1935年 Alexandroff-Hopf 的書問世，情況才有了巨大的變化。
1932年春季，Blaschke 訪問了北平，作了關於「微分幾何中的拓撲問題」的系列演講這是真正的局部微分幾何他採用全體微分同胚構成的偽群取代經典微分幾何中的李群，並研究了局部不變量我能跟上 Blaschke 的演講並去閱讀發表在漢堡大學數學討論會論文集 (Hamburger Abhandlungen) 及其它雜誌上的包含在這同一個總標題下的許多論文這個主題現在稱為網幾何 (web geometry)由於有此接觸，之前又已掌握 Blaschke 的微分幾何書中的知識，所以當1934年獲得一筆獎學金時，我決定去漢堡留學 歐洲的留學生活1934～1936年我在漢堡，1936年獲理學博士學位；並曾在巴黎隨 Elie Cartan 從事一年博士後研究，去漢堡的選擇實屬幸運之舉漢堡大學有一個很強的數學系，Blaschke、Artin 以及 Hecke 是那裡的教授，較資淺的成員包括 E. Kähler、H. Petersson 和 H. Zassenhaus 那時 Blaschke 的數學興趣正從網幾何轉向積分幾何1934年9月我剛見到他時，他給了我一大疊關於網幾何的抽印本我開始對網的秩的概念和具有最大的秩的網產生了興趣。
大家知道，Rn 中一個餘維是 1 的 d 網由處於一般位置的 d 個超曲面葉結構組成設 x1,...,xn 是 Rn 的坐標，葉狀結構由方程 給定形如 的方程被稱為是 Abel 方程線性無關的 Abel 方程的最大個數被稱為是這個網的秩如果 d-網由 Rn 空間裡的 d 類代數曲線的超平面定義，它就具有這樣的 Abel 方程，它們是將 Abel 定理應用於 Abel 微分獲得的因而這個 d-網的秩至少是該曲線的虧格 (genus)在一篇短文中我確定了 Rn 中所有餘維為 1 的 d-網的最大秩 根據 Castelnuovo 的一個定理，這個整數等於 n 維射影空間 Pn 裡不屬於任意超平面 Pn-1 的 d 次代數曲線的最大虧格值得注意的事實是，並非所有具有最大秩的網都是由上述方式描述的具有最大虧格的代數曲線給出的；這裡存在怪異的具有最大秩的網，這些網的葉並非都是超平面這些 Abel 方程本質上是函數方程，因為在經典情形中，這些方程變成眾所周知的超越函數的加法定理在平面上 (n=2)，曲線的 5-網的最大秩為 6，而且存在一個怪異網（Bol網），這個網的 Abel 方程含二重對數1978年 Griffiths 和我研究了 Rn 中具有最大秩 且餘維為 1 的 d-網問題，但我們沒有獲得最後結果。
我認為確定這樣的怪異網是一個非常有趣且很重要的問題 1934～1935年間我的主要精力用於參加 Kähler 的討論班討論班以 Kähler 剛出版不久的著名小冊子《微分方程組理論導引》(Einführung in die Theorie Systeme von Differentialgleichangen) 為基礎主要成果就是後來所稱的 Cartan-Kähler 定理所有的人，包括 Blaschke、Artin 與 Hecke，都出席了首次討論會，每人還得到一本上述的小冊子但參加者減少得很快，我是堅持到底的極少數人之一我把這一理論用於 R2r 中 r 維子流形的 3-網Blaschke 和 Kähler 都認為這個結果與我先前關於最大秩的結果已足夠寫成一篇學位論文了到1935年底我的學位論文已準備就緒 Blaschke 及其學派主要關心積分幾何，Blaschke 開過積分幾何的課程這一主題最漂亮的結果是由 L.A. Santalò 發現的一個結果是用正項的無窮和表示平面凸曲線的等周虧量，其中每個正項均具幾何意義Santalò 的工作使他成為積分幾何方面的世界級領袖他原籍西班牙，後來移民到阿根廷。
我的另一位學友是代數幾何學家周煒良，他為了跟 Hermann Weyl做研究從芝加哥來到哥廷根但是哥廷根乃至整個德國政局的變化使這一願望成為泡影，他又轉往萊比錫隨 Van der Waerden 工作由於某種原因，他住在漢堡，有時來參加討論班周煒良當時正在發展他的「配型」(zugeordnete Formen)，即後來所稱「周氏坐標」周是一位有創見的數學家他對代數幾何作出了重要貢獻，包括他的緊子簇定理和相交理論周出身於中國一個高層官宦家族，它很早就認識到西化的必要，因此這個家族出了不少傑出人物周習慣夜間工作當他來訪時我就得犧牲一些睡眠，但卻學得一些數學 無論如何，只要可能，我就去聽 Artin 的講課二年間他開過的課包括複變函數論、代數拓撲、相對論和丟番圖逼近等我還聽過 Hecke 主要按他的書講的代數數論課我在漢堡的學術生涯是很理想的，但是政局不允許這種生活繼續下去 1936～1937年我可從事一年博士後研究當我徵求 Blaschke 的意見時，他建議我或繼續留漢堡跟 Artin 研究數論，或去巴黎跟隨 Elie Cartan這兩個方案都有吸引力，我最後選擇了後者 這一抉擇非常理想。
那年 Cartan 開了一門外微分系統的課程；講義後來以書的形式出版了那些後來成為 Bourbaki 的「年輕的」法國數學家開始活躍起來他們組織了一個「Julia 討論班」，每二周聚一次，致力於對每年選定的一個專題進行研究1936～1937年的專題是「E. Cartan 的工作」 Cartan 是位極好的導師他提出的「小」問題，有些成為我論文的主題大概由於我對他所提問題作的解答，他允許我大約每二周去他家一次見面後的第二天我通常會收到他的信，信中往往說：「你走後我又考慮了他的問題……這問題似乎很有趣……」這一年過得有趣而令人難忘 我還聽過 Montel 有關多複變的講課，參加過 Hadamard 在法蘭西學院舉辦的討論班在每次討論班結束時 Hadamard 總會作總結，它通常比討論班上的演講本身更清楚更豐富 在獲悉中日戰爭爆發的消息後，我懷著沉重的心情於1937年7月10日告別巴黎返回中國 數學上與世隔絕1937年夏我離歐返華時，本打算去北平就任清華大學教授之職，由於中日戰爭之故，十年後才達到此目的當時清華大學先搬到長沙，1938年又遷至昆明，在那兒一直滯留到1945年夏戰爭結束 昆明是座美麗的城市。
雖然處於戰事中的國家物資匱乏、局勢動蕩，但在生活的其它方面倒是愉快的。