2 对称性在曲线积分计算中的应用 2.1 对称性在第一类曲线积分计算中的应用 结论1 假设积分曲线L关于x轴〔或y轴〕对称，记L1为曲线L被坐标轴所分割的两个对称区域之一，那么有： ① ∫Lf(x,y)ds=0,f(x,y)为关于y〔或x〕的奇函数； ② ∫Lf(x,y)ds=2∫L1f(x,y)ds,f(x,y)为关于y〔或x〕的偶函数 结论2 假设积分曲线L关于直线y=x对称，那么当点(x,y)∈L时，有(y,x)∈L，即L关于x,y具有轮换对称性，这时有： ∫Lf(x,y)ds=∫Lf(y,x)ds=12∫L［f(x,y)+f(y,x)］ds 假设f(x,y)=-f(y,x)，即f(x,y)关于直线y=x奇对称，那么∫Lf(x,y)ds=0； 假设f(x,y)=(y,x)，即f(x,y)关于直线y=x偶对称，那么∫Lf(x,y)ds=2∫L1f(y,x)ds 其中L1为曲线L被直线y=x所分割的两个对称区域之一 2.2 对称性在第二类曲线积分计算中的应用 设有曲线积分I=∫L P(x,y)dx，其中L为光滑的有向曲线弧，如果L关于某条直线〔包括坐标轴〕对称，这时利用对称性计算上述曲线积分时，不仅要考虑P(x,y)的大小和符号，还要考虑投影元素dx的符号。
当积分方向和坐标轴正向之夹角小于π2时，投影元素为正，否那么为负一般地，我们有： 结论 假设积分曲线L关于某直线对称，记L1为曲线L被这条直线所分割的两个对称区域之一，那么有： ① ∫Lf(x,y)ds=0,P(x,y)dx在对称点上取相反的符号； ② ∫Lf(x,y)ds=2∫L1f(x,y)ds,P(x,y)dx 在对称点上取一样的符号 对于积分∫L Q(x,y)dy也有类似地结论上述结论都可推广到空间曲线的情形 3 对称性在曲面积分计算中的应用 3.1 对称性在第一类曲面积分计算中的应用 结论1 假设积分曲面关于某平面〔或某点〕对称，记1为曲面被某平面〔或某点〕所分割的两个对称曲面之一，那么有： ① f(x,y,z)dS=0,在对称点上f(x,y,z)取相反的符号； ② f(x,y,z)dS=21f(x,y,z)dS,在对称点上f(x,y,z)取一样的符号 结论2 假设积分曲面关于x,y,z具有轮换对称性，那么有： f(x,y,z)dS=f(y,z,x)dS=f(z,x,y)dS =13［f(x,y,z)+f(y,z,x)+f(z,x,y)］dS 3.2 对称性在第二类曲面积分计算中的应用 利用对称性计算第二类曲面积分同样需要注意投影元素的符号。
现以曲面积分f(x,y,z)dxdy为例来讨论当曲面指定侧上动点的法线方向与z轴正向成锐角时，面积元素dS在xoy面上的投影dxdy为正；成钝角时为负一般地，我们有： 结论 假设积分曲面可分成对称的两局部1、2〔=1+2〕，在对称点上|f|的值相等，那么有 ① f(x,y,z)dxdy=0,在对称点上fdxdy取相反的符号； ② f(x,y,z)dxdy=2f(x,y,z)dxdy,在对称点上fdxdy的符号一样 对于积分f(x,y,z)dydz, f(x,y,z)dzdx也有类似的结论 总之，应用对称性计算积分时应注意以下几点： ① 必须兼顾被积函数和积分区域两个方面，只有当两个方面都具有某种对称性时才能利用如果只有积分区域具有某种对称性，这时根据具体情况，我们可以把被积函数经过恒等变形使之具有某种对称性，再考虑利用上述结论 ② 对第二类曲线积分和第二类曲面积分，在利用对称性时，尚需考虑积分路线的方向和曲面的侧，确定投影元素的符号，需慎重 ③ 有些问题利用轮换对称性可得到简便的解答。