几何与代数相结合的综合问题【考点透视】几何与代数相结合的综合题是初中数学中涵盖广、综合性最强的题型.它可以包含初中阶段所学的代数与几何的假设干知识点和各种数学思想方法，还能有机结合探索性、开放性等有关问题；它既突出考察了初中数学的主干知识，又突出了与高中衔接的重要容，如函数、方程、不等式、三角形、四边形、相似形、圆等.综观全国各地的中考试题，90%左右的压轴题都是几何与代数相结合的综合题.就省十三个大市来说，有十一个大市最后的压轴题都是这样的题型，占分比例都很高.编制这样的综合题，不但考察学生数学根底知识和灵活运用知识的能力；考察学生对数学知识迁移整合能力；考察学生学会将大题分解为小题，逐个击破的能力；考察学生对几何与代数之间的在联系，多角度、多层面综合运用数学知识、数学思想方法分析问题和解决问题的能力；还考察学生知识网络化、创新意识和实践能力.几何与代数综合题在中考试题中还有特别重要的功能，它关系到整个试卷的区分度；有利于高一级学校选拔人才. [典型例题]例1.关于*的一元二次方程*2-(2k+1)*+4k-3=0〔1〕求证：无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根；〔2〕当Rt△ABC的斜边长a=，且两条直角边的长b和c恰好是这个方程的两个根时，求△ABC的周长.〔2003年省市中考试题〕分析：〔1〕由一元二次方程根的判别式得△=(2k-3)2+4>0即可.〔2〕由一元二次方程根与系数关系，再由直角三角形的勾股定理建立关于k的一元二次方程，从而求出三角形的另两边之和.解：〔1〕证明：△=[-〔2k+1〕] 2-4×1×(4k-3)=4k2-12k+13=(2k-3)2+4∵无论k取什么实数值，总有(2k-3)2+4>0，即△>0， ∴无论k取什么实数值时，该方程总有两个不相等的实数根.〔2〕由一元二次方程根与系数的关系，得b+c=2k+1，bc=4k-3.又在Rt△ABC中，根据勾股定理，得b2+c2=a2， ∴〔b+c〕2-2bc=，即(2k+1)2-2(4k-3)=31，整理得，得k2-k-6=0，解这个方程，得k=-2或k=3.当k=-2时，b+c=-4+1=-3<0，不符合题意，舍去故k=3，此时b+c=2×3+1=7，故△ABC的周长为7+.·DCABEO图13-1说明：此题一方面考察学生一元二次方程根的判别式、根与系数关系及直角三角形中的勾股定理重要容；另一方面又考察学生一元二次方程解出的两根是否都符合题意，培养学生严谨解题的习惯.例2.如图13-1，在△ABC中，∠B=90°，O是AB上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB交于点E，与AC切于点D，假设AD=2，且AE、AB的长是关于*的方程*2-8*+k=0的两个实数根.〔1〕求⊙O的半径；〔2〕求CD的长. 〔2003年省宿迁市中考试题〕分析：〔1〕由圆的切割线定理、方程的根与系数关系易求⊙O的半径.〔2〕由切线长相等，设CD=CB=*用勾股定理建立关于*的一元二次方程即可求出CD的长.解：〔1〕∵AD是⊙O的切线， ∴AD2=AE·AB 又AD=2∴AE·AB=12 ∵AE、AB的长是方程*2-8*+k=0的两个实数根 ∴AE·AB=k∴k=12，把k=12代入方程*2-8*+k=0，解是*1=2，*2=6，∴⊙O的半径为〔2〕∵CB⊥AB，AB经过圆心O CB切⊙O于点B ∴CD=CB 在Rt△ABC中，设CD=*则由勾股定理得AB2+BC2=AC2∴62+*2=(2+*)2 解得*=2∴CD=2.说明：此题考察了学生的切割线定理、切线长定理、勾股定理、解一元二次方程及根与系数关系等有关根底知识，并能注意运用方程思想去求线段的长.还可讨论以下两个问题:ABC图13-21、：如图13-2，Rt△ABC中，∠ACB=90°,AB=5，两直角边AC、BC的长是关于*的方程*2-(m+5)*+6m=0的两个实数根.〔1〕求m的值及AC、BC的长〔BC>AC〕.〔2〕段BC的延长线上是否存在点D，使得以D、A、C为顶点的三角形与△ABC相似？假设存在，求出CD的长；假设不存在，请说明理由. (2003年省市中考试题)2、：如图12-3，四边形ABCD为菱形，AF⊥AD交BD于E，交BC于点F.ADCBFEO图13-3〔1〕求证：AD2=；〔2〕过点E作EG⊥AF交AB于点G，假设线段BE、DE〔BE0)的两个根，且菱形ABCD的面积为6，求EG的长.*yONM图13-4〔2003年省市中考试题〕例3.如图13-4，直线y=-与*轴、y轴分别交于点M、N.〔1〕求M、N两点的坐标；〔2〕如果点P在坐标轴上，以点P为圆心，为半径的圆与直线y=-相切，求点P的坐标.〔2003年省市中考试题〕分析：〔1〕较简单略；〔2〕因为⊙P与直线相切，因此点P到直线MN的距离等于圆的半径，从而想到过点P作MN的垂线，由于点P的位置不确定所以想到对P点的位置进展分类.不妨以点P在点N的下方为例，过点P作PA⊥MN于A，则要求P点坐标，只要求OP长，把问题转化为求PN长，利用△PAN∽△MON，使问题得以解决.当点P在N点上方时，可以利用三角形全等知点P到N的距离与在点N下方时PN的长相等，从而求出P点坐标，不需要再重复上述步骤.当点P在*轴上时利用一样的方法可求出P点的坐标.解：〔1〕∵当*=0时，y=4，当y=0时，-=0, ∴*=3. ∴M(3,0)，N〔0,4〕〔2〕①当P1点在y轴上，并且在N点的下方时，设⊙P1与直线y=-相切于点A，连结P1A，则P1A⊥MN.∴∠P1AN=∠MON=90°. ∵∠P1NA=∠MNO, ∴△P1AN∽△MON.∴.在Rt△OMN中，OM=3，ON=4 ∴MN=5. 又∵P1A=，∴P1N=4.∴P1点坐标是〔0，0〕.②当P2点在*轴上，并且在M点的左侧时，同理可得P2点坐标是〔0，0〕.③当P3点在*轴上，并且在M点的右侧时，设⊙P3与直线y=-相切于点B，连结P3B，则P3B⊥MN.∴OA//P3B.∵OA=P3B，∴P3M=OM=3. ∴OP3=6. ∴P3点坐标是(6，0). ④当P4点在y轴上，并且在点N上方时，同理可得P4N=ON=4.∴OP4=8.∴P4点坐标是 〔0，8〕.综上，P点坐标是〔0，0〕，〔6，0〕，〔0，8〕.说明：此题不仅考察学生函数与方程，相似三角形，同时也考察了数形结合，分类讨论等思想，其中熟练地进展线段长与坐标的互化也是解题的关键.其实此题假设能从轨迹的角度去考虑,就可以防止了分类的遗漏,也可以把问题转化为求一次函数的解析式,只需求出一次函数的图象与坐标轴的交点坐标.例4.点P是*轴正半轴上的一个动点，过点P作*轴的垂线PA交双曲线y=于点A，连结OA.〔1〕如图13-5①，当点P在*轴的正方向上运动时，Rt△AOP的面积大小是否变化？假设不变，请求出Rt△AOP的面积；假设改变，试说明理由.〔2〕如图13-5②，在*轴上点P的右侧有一点D，过点D作*轴的垂线交双曲线于点B，连结BO交AP于点C.设△AOP的面积为S1，梯形BCPD的面积为S2，则S1与S2大小关系是S1S2(填“>〞或“<〞或“=〞)〔3〕如图13-5③，AO的延长线与双曲线的另一个交点为点F，FH垂直于*轴，垂足为点H，连结AH、PF，试证明四边形APFH的面积为一常数.*yO图13-5①*yO图13-5②*yO图13-5③ABDPCAHFPAP(2003年省市中考试题)分析：〔1〕因为△AOP的面积，又由于OP、AP的长与A点的坐标有关，假设A点坐标为(a，b)，则OP=a，AP=b，所以△AOP的面积，要探求△AOP的面积大小是否变化，只需考虑ab是否变化，由于A〔a，b〕在反比例函数图象上，因此ab=1，所以△AOP的面积不变.〔2〕由〔1〕知△AOP的面积与△BOD的面积是相等的，观察图形发现梯形BCPD是△BOD的一局部，因此S1>S2.〔3〕由于双曲线关于原点对称，故A、F关于原点对称，所以四边形APFH是平行四边形.根据平行四边形的性质得四边形APFH的面积等于△AOP的面积的4倍，据〔1〕知△AOP的面积是常数，所以四边形APFH的面积为一常数.解：〔1〕设A点坐标为〔a，b〕，则OP=a，AP=b∴S△AOP=∵点A〔a、b〕在函数y=的图象上∴b=，∴ab=1 ∴S△AOP=〔2〕>〔3〕∵A、F关于O点对称∴OA=OF.∵PA⊥*轴，HF⊥*轴， ∴PA//HF， ∴PA=HF，∴四边形APFH是平行四边形，∴SAPFH=4S△AOP=4,∴四边形APFH的面积为一常数.y*OAB图13-6说明：此题注重从数量关系和几何图形的变化中去研究问题,从“运动〞的角度考察学生的探究能力.它不仅考察了反比例函数的图象与性质，同时考察了数形结合的思想方法,通过点的坐标和线段的长度之间的互化实现了数形结合.例5.设一次函数的图象为直线，与*轴y轴分别交于点A、B.〔1〕求tan∠BAO的值；〔2〕直线m经过点P〔-3，0〕，假设直线、m与*轴围成的三角形和直线、m与y围成的三角形相似，求直线m的解析式.(2003年省市中考试题)分析：〔1〕较简单略.〔2〕首先要画出图形，则、m与*轴、y轴围成的三角形分别是△AMP、△MBN.分两种情况讨论：①当N在y轴负半轴上时；△AMP∽△NMB，则有∠MAP=∠BNM，这时有Rt△BOA∽△Rt△PON得：=，OP=3得ON=6，从而得到N、P两点坐标，即可求出直线解析式y=-2*-6.②当N在y轴正半轴上同理可得：y=2*+6，当N段部时，同理求出ON=6出现矛盾，归纳结论得出两条解析式.解：〔1〕tan(2)设直线m与直线相交于点M.与y轴相交于点N.则直线、m及*轴围成的三角形△AMP；直线、m及y轴围成的三角形为△MBN.y*NBOAPM①当N在y轴负半轴上时，由于∠ABN及∠BMN均大于∠MAP，则要使△AMP∽△MBN只能是∠MAP=∠BNM，此时有Rt△BOA∽Rt△PON，则，而OP=3，则ON=6，∴N〔0，-6〕又P〔-3，0〕 则直线m的解析式为y=-2*-6.y*APMBNO②当N在y轴正半轴上且在OB延长线上时，∵显然∠APM及∠MBN均为钝角，要使△APM∽△NBM，则有∠APM=∠MBN∠MNB=∠MAPRt△PON∽Rt△BOA，则.而OP=3，则ON=6，从而N〔0，6〕，则直线m的解析式为y=2*+6.y*OMAPBN③当N段OB部时，假设要△AMP∽△NMB， ∠BAP=∠BNM∠BAP=∠PNORt△ABO ∽Rt△NPO.而OP=3，则ON=6矛盾，即N不可能段OB部，综上所述，满足要求的直线m的解析式应为y=2*+6或y=-2*-6.*AOBCDy图13-7说明：此题设定问题〔1〕考察了学生的根底知识，给学习能力较弱的学生建立信心.设定问题〔2〕首先考察了学生根据题意画出图形的能力；其次考察了学生常用的数学思想，一是数形结合思想，二是分类讨论思想.例6.如图13-7，抛物线y=a*2+b*+c(a<0)与*轴交于A、B。