工程制图-ch1 点、直线、平面的投影-精品文档资料

§1-1 投影的基本知识§1-2 点的投影§1-3 直线的投影§1-4 平面的投影§1-5 直线与平面、两平面之间的距离第一章 点、直线、平面的投影平行投影法平行投影法中心投影法中心投影法一一 投影法及其分类投影法及其分类投影法投影法投射线投射线物体物体投影面投影面投影投影 投投射线通过物体，向选定的平面进行投射，并在该射线通过物体，向选定的平面进行投射，并在该面上得到图形的方法面上得到图形的方法——投影法投影法投射中心投射中心斜投影法斜投影法正投影法正投影法§1-1 投影的基本知识中心投影法中心投影法 投射中心、物体、投影面三者之间的相投射中心、物体、投影面三者之间的相对距离对投影的大小有影响对距离对投影的大小有影响 度量性较差度量性较差投投 影影 特特 性性物体位置改物体位置改变，投影大变，投影大小也改变小也改变投射线投射线物体物体投影面投影面投影投影投射中心投射中心平平 行行 投投 影影 法法斜投影法斜投影法正投影法正投影法投投 影影 特特 性性 投影大小与物体和投影面之间的距离无关。

投影大小与物体和投影面之间的距离无关度量性较好度量性较好 工程图样多数采用正投影法绘制工程图样多数采用正投影法绘制投影法投影法中心投影法中心投影法平行投影法平行投影法正投影法正投影法斜投影法斜投影法画透视图画透视图画斜轴测图画斜轴测图画工程图样画工程图样及正轴测图及正轴测图1、多面正投影2、轴测投影3、透视投影4、标高投影12二、工程上常用的投影二、工程上常用的投影131、多面正投影142、轴测投影将物体连同其参考直角坐标系，沿不平行于任一坐标面的方向，用平行投影法将其投射在一个投影面上所得到的图形153、透视投影是指按中心投影法绘制的单向投影图这种图的优点是形象逼真，与肉眼看到的情况很相似，特别适用于画大型建筑物的直观图；其缺点是作图费时，不易度量164、标高投影152025152025标高投影图是一种单面正投影图,多用来表达地形及复杂曲面,它是假象用一组高差相等的水平面切割地面,将所得的一系列交线(称等高线)投射在水平投影上,并用数字标出这些等高线的高程而得到的投影图(常称地形图) 用水平投影加注高度数字表示空间形体的方法称为标高投影法,所得到的单面正投影图称为标高投影图。

一、 两投影面体系中点的投影二、 三投影面体系中点的投影三、 点的坐标、两点的相对位置四、 重影点的投影及其可见性17§1-2 点的投影 Pb●●AP增加投影面，采用多面投影增加投影面，采用多面投影 过空间点过空间点A，引投射线垂直，引投射线垂直于平面于平面P，交平面，交平面P于一点于一点a，，a点即为点点即为点A在在P面上的投影面上的投影B1●B2●B3● 空间点在投影面上的投影是空间点在投影面上的投影是唯一的，但是点的一个投影不能唯一的，但是点的一个投影不能确定点的空间位置确定点的空间位置点在一个投影面上的投影点在一个投影面上的投影a●解决办法？解决办法？181、点的两个投影与该点的空间位置2、两投影面体系的建立3 、两投影面体系中点的投影4、两面投影图的性质5、特殊点的投影19一、 两投影面体系中点的投影20HVOX1、点的两个投影与该点的空间位置Aa’a21HVXO水平投影面 —— H垂直投影面 —— V投影轴 —— OX2、两投影面体系的建立22HVOXA点的水平投影 ——aA点的垂直投影 ——a’a'aAZYX3 、两投影面体系中点的投影ax23HVOXa’aAaxHVXOa’aax4、两面投影图和其投影规律不动不动向下翻向下翻1) aa'⊥ OX2) a'ax =Aaaax =Aa'24OXa'a B b’bC c’cHoC c’ca'B b’ baA5、特殊点的投影VVHX1、三投影面体系的建立2、三投影面体系中点的投影3、三投影面体系中点的投影规律25二、 三投影面体系中点的投影261、三投影面体系的建立H HW WV V投影面投影面◆◆正面投影面（简称正正面投影面（简称正 面或面或V V面）面）◆◆水平投影面（简称水水平投影面（简称水 平面或平面或H H面）面）◆◆侧面投影面（简称侧侧面投影面（简称侧 面或面或W W面）面）投影轴投影轴O OX XZ ZOXOX轴轴 V V面与面与H H面的交线面的交线OZOZ轴轴 V V面与面与W W面的交线面的交线OYOY轴轴 H H面与面与W W面的交线面的交线三个投影面三个投影面互相垂直互相垂直Y Y2、 三投影面体系中点的投影W WH HV VO OX XZ ZY Ya 点点A A的正面投影的正面投影a点点A A的水平投影的水平投影a 点点A A的侧面投影的侧面投影注意：注意：空间点用大写字母空间点用大写字母表示，点的投影用表示，点的投影用小写字母表示。

小写字母表示a ●a●a ● A A●●●●●X XY YZ ZO OV VH HW WA Aaa a xaazay向右翻向右翻向下翻向下翻不动不动投影面展开投影面展开W WV VH Haa●x●●azZ Zaa yayaX XY Y Y YO O  ●●●●X XY YZ ZO OV VH HW WA Aaa a ①① a a⊥⊥OXOX轴轴②② aax= a ax=aay=xaazay●●Y YZ Zaza X XY YayO Oaaxaya ● a a ⊥⊥OZOZ轴轴=y=A Aa （（A A到到V V面的距离）面的距离）a az=x=A Aa （（A A到到W W面的距离面的距离））a ay=z=A Aa （（A A到到H H面的距离面的距离））a az3、 三投影面体系中点的投影规律yxz29三、 点的坐标、两点的相对位置 两点的相对位置指两两点的相对位置指两点在空间的点在空间的上下、前后、上下、前后、左右左右位置关系位置关系判断方法：判断方法：▲ ▲ x x 坐标大的在左坐标大的在左 ▲ ▲ y y 坐标大的在前坐标大的在前▲ ▲ z z 坐标大的在上坐标大的在上B点在点在A点之右、点之右、之前、之下。

之前、之下b aa  a b b●●●●●●X XY YY YZ Zo o30四、 重影点的投影及其可见性( )a cc 重影点：重影点： 空间两点在某空间两点在某一投影面上的一投影面上的投影投影重合为一点重合为一点时，则时，则称此两点为称此两点为该投影该投影面面的重影点的重影点●●●●●a a c 被挡住的投被挡住的投影加影加( )A、、C为哪个投为哪个投影面的重影点影面的重影点呢？呢？A、、C为为H面的重影点面的重影点31例1已知点的两个投影，求第三投影已知点的两个投影，求第三投影●●a aax●a ●●a aaxazaz解法一解法一:通过作通过作45°线线使使a az=aax解法二解法二:用圆规直接量用圆规直接量取取a az=aaxa ●32a"aXb"ZYWYHOb'b58a'9例2已知A点在B点之前5毫米，之上9毫米，之右8毫米，求A点的投影§1-3 直线一、直线的投影特性二、直线与点的相对位置三、两直线的相对位置aa  a b b b●●●●●● 两两点点确确定定一一条条直直线线，，将将两两点点的的同同名名投投影影用用直直线线连连接接，，就得到直线的同名投影。

就得到直线的同名投影⒈⒈ 直线对一个投影面的投影特性直线对一个投影面的投影特性一、直线的投影特性一、直线的投影特性 B BA A●●●●ab直线垂直于投影面直线垂直于投影面投影重合为一点投影重合为一点 积　聚　性积　聚　性直线平行于投影面直线平行于投影面投影反映线段实长投影反映线段实长 ab=ABAB直线倾斜于投影面直线倾斜于投影面投影比空间线段短投影比空间线段短ab=ABAB.cos ●●A AB B●●ab A AM MB B●a≡b≡m●●●⒉ ⒉ 直线在三个投影面中的投影特性直线在三个投影面中的投影特性投影面平行线投影面平行线平行于某一投影面而平行于某一投影面而与其余两投影面倾斜与其余两投影面倾斜投影面垂直线投影面垂直线正平线（平行于Ｖ面）正平线（平行于Ｖ面）侧平线（平行于Ｗ面）侧平线（平行于Ｗ面）水平线（平行于Ｈ面）水平线（平行于Ｈ面）正垂线（垂直于Ｖ面）正垂线（垂直于Ｖ面）侧垂线（垂直于Ｗ面）侧垂线（垂直于Ｗ面）铅垂线（垂直于Ｈ面）铅垂线（垂直于Ｈ面）一般一般位置位置直线直线与三个投影面都倾斜的直线与三个投影面都倾斜的直线统称特殊统称特殊位置位置直线直线垂直于某一投影面垂直于某一投影面 其投影特性取决于直线与三个投影面其投影特性取决于直线与三个投影面间的相对位置间的相对位置⑴⑴ 投影面平行线投影面平行线γγββX XZ Z″baaabbO OY YY Y′′″水平线水平线实长实长投影特性：投影特性：V VH HabAaaγγββBbbW Wββγγ′′″″① ① 在其平行的那个投影在其平行的那个投影 面上的投影反映实长，面上的投影反映实长， 并反映直线与另两投并反映直线与另两投 影面倾角的实际大小。

影面倾角的实际大小② ② 另两个投影面上的投另两个投影面上的投 影平行于相应的投影影平行于相应的投影 轴，其到相应投影轴轴，其到相应投影轴 距离反映直线与它所距离反映直线与它所 平行的投影面之间的平行的投影面之间的 距离判断下列直线是什么位置的直线？判断下列直线是什么位置的直线？侧平线侧平线正平线正平线与与H面的夹角面的夹角:   ；与；与V面的夹角面的夹角:β与与W面的夹角面的夹角:γ实长实长 β实长实长γ b a aba b b aa b ba 直线与投影面夹角的表示法：直线与投影面夹角的表示法： 反映线段实长，且垂直反映线段实长，且垂直于相应的投影轴于相应的投影轴⑵ ⑵ 投影面垂直线投影面垂直线铅垂线铅垂线正垂线正垂线侧垂线侧垂线②② 另外两个投影另外两个投影，① ① 在其垂直的投影面上，在其垂直的投影面上， 投影有积聚性投影有积聚性投影特性投影特性: :●a b a(b)a b ●c (d )cdd c ●e f efe (f )⑶ ⑶ 一般位置直线一般位置直线Z Z Y YaO OX XabbaY Yb    三个投影都倾斜于投影轴，其与投影轴的夹角三个投影都倾斜于投影轴，其与投影轴的夹角并不反映空间线段与三个投影面夹角的大小。

三个并不反映空间线段与三个投影面夹角的大小三个投影的长度均比空间线段短，即都不反映空间线段投影的长度均比空间线段短，即都不反映空间线段的实长投影特性投影特性H HaββγγaAb V VBbW Wa  b  cacX XabcY YY YbO OaZ Zb′″′′″″cAH HacaV VbBabcCbW W′′′″″″二、二、直线与点的相对位置直线与点的相对位置 ◆◆若点在直线上若点在直线上, ,则点的投影必在直线的则点的投影必在直线的同名投同名投影影上　　 ◆◆点的投影将线段的同名投影分割成与空间线点的投影将线段的同名投影分割成与空间线段相同的比例即：段相同的比例即：AC:CB=ac:cb= a c  : c b = a c  : c b 定比定理定比定理例例1：判断点：判断点C是否段是否段AB上②②c abca b ●●abca b c ①①●●在在不在不在a b ●c ●●aa b c b③③c不在不在应用定比定理应用定比定理另一判断法另一判断法?例例2：已知点：已知点K段段AB上，求点上，求点K正面投影。

正面投影解法一：解法一：（应用第三投影）（应用第三投影）解法二：解法二：（应用定比定理）（应用定比定理）●aa  b bka b●k●k ●aa b bk●●k ●三、两直线的相对位置三、两直线的相对位置空间两直线的相对位置分为：空间两直线的相对位置分为：平行平行、、相交相交、、交叉（异面）交叉（异面）⒈ ⒈ 两直线平行两直线平行 空间两直线平行，则其各空间两直线平行，则其各同名投影同名投影必必相互平行，反之亦然相互平行，反之亦然bcdH HAdaCcV VaDbBacdbcdabO OX X例：判断图中两条直线是否平行例：判断图中两条直线是否平行 对于一般位置直线，对于一般位置直线，只要有两组同名投影互只要有两组同名投影互相平行，空间两直线就相平行，空间两直线就平行AB与与CD平行AB与与CD不平行 对于特殊位置直线，对于特殊位置直线，只有两组同名投影互相只有两组同名投影互相平行，空间直线不一定平行，空间直线不一定平行a b c d cbadd b a c ②②b d c a ①①abcdc a b d ⒉ ⒉ 两直线相交两直线相交 若空间两直线相交，若空间两直线相交，则其同名投影必则其同名投影必相交，且交点的投影必符合空间一点的投相交，且交点的投影必符合空间一点的投影特性影特性。

交点是两直交点是两直线的共有点线的共有点acV VX XbH HDacdkCAkKdbO OBcabd b a c d kk ●cd k kd例例1 1：过：过C C点点作水平线作水平线CDCD与与ABAB相交先作正面投影先作正面投影a●bb a c ′例例2 2：判断直线：判断直线ABAB、、CDCD的相对位置的相对位置c′′ a′ bdabcd相交吗？相交吗？不相交！不相交！为什么？为什么？ 交点不符交点不符合空间一个点合空间一个点的投影特性的投影特性判断方法？判断方法？⒈⒈ 应用定比定理应用定比定理⒉⒉ 利用侧面投影利用侧面投影⒊ ⒊ 两直线交叉两直线交叉为什么？为什么？两直线相交吗？两直线相交吗？不相交！不相交！ 交点不符合一个交点不符合一个点的投影规律！点的投影规律！cacabddbO OX X′′′′accAaCV VbH HddDBb′′′′accAaCV VbH HddDBb′′′′cacabddbO OX X′′′′1(2)1(2)●2 2●′1 1●′投影特性投影特性：：★ ★ 同名投影可能相交，但同名投影可能相交，但 “交点交点”不符合空间一个不符合空间一个 点的投影规律点的投影规律。

★ ★ ““交点交点”是两直线上的一对是两直线上的一对重影点的投影重影点的投影，用其，用其 可帮助判断两直线的空间位置可帮助判断两直线的空间位置2 21 11(2)1(2)ⅡⅡⅠⅠ′′●●●●●′′ⅣⅣ4 43(4 )3(4 )3 3ⅢⅢ●●●●●●3(4 )3(4 )3 34 4●●′ ′一、 平面的表示法二、 各种位置平面的投影特性三、 属于平面的点和直线45§1-4 平面1、用几何元素表示平面2、平面的迹线表示法46一、 平面的表示法471、用几何元素表示平面不在同一不在同一直线上的直线上的三个点三个点直线及直线及线外一线外一点点abca b c ●●●●●●d●d ●两平行直两平行直线线abca b c ●●●●●●两相交两相交直线直线c●●●●●●aba b c b●●●●●●aca b c 平面平面图形图形c ●●●abca b ●●●652、用迹线表示平面平面的迹线是平平面的迹线是平面与投影面的交面与投影面的交线，用迹线表示线，用迹线表示的平面为迹线平的平面为迹线平面特殊位置平面用特殊位置平面用迹线来表示是用迹线来表示是用其具有积聚性的其具有积聚性的一条边线来表示。

一条边线来表示二、各种位置平面的投影特性垂直垂直倾斜倾斜投投 影影 特特 性性★★平面平行投影面平面平行投影面——投影就把实形现投影就把实形现★★平面垂直投影面平面垂直投影面——投影积聚成直线投影积聚成直线★★平面倾斜投影面平面倾斜投影面——投影类似原平面投影类似原平面实形性实形性类似性类似性积聚性积聚性⒈ ⒈ 平面对一个投影面的投影特性平面对一个投影面的投影特性平行平行⒉ ⒉ 平面在三投影面体系中的投影特性平面在三投影面体系中的投影特性平面对于三投影面的位置可分为三类平面对于三投影面的位置可分为三类：：投影面垂直面投影面垂直面 投影面平行面投影面平行面一般一般位置位置平面平面特殊特殊位置位置平面平面垂直于某一投影面，垂直于某一投影面，倾斜于另两个投影面倾斜于另两个投影面平行于某一投影面，平行于某一投影面，垂直于另两个投影面垂直于另两个投影面与三个投影面都倾斜与三个投影面都倾斜 正垂面正垂面 侧垂面侧垂面 铅垂面铅垂面 正平面正平面 侧平面侧平面 水平面水平面c c ⑴ ⑴ 投影面垂直面投影面垂直面为什么？为什么？是什么位置的是什么位置的平面？平面？abca b b a 类似性类似性类似性类似性积聚性积聚性铅垂面铅垂面γβ投影特性：投影特性： 在它垂直的投影面上的投影积聚成直在它垂直的投影面上的投影积聚成直线。

该直线与投影轴的夹角反映空间平面线该直线与投影轴的夹角反映空间平面与另外两投影面夹角的大小与另外两投影面夹角的大小另外两个投影面上的投影为类似形另外两个投影面上的投影为类似形XOZYβPHγY69铅垂面迹线表示法70投影特性：1、a′ b′ c′ 重影于一条直线2 、Δabc、 Δa″b″c″为ΔABC的类似形3 、a′ b′ c′ 与OX、OZ 的夹角反映α、γ角的真实大小ZXa′b′a″b″baOYYγc″c′c正垂面αOYY71X αZγQV正垂面的迹线表示法723 、 a’’b’’c’’与OZ、 OY的夹角反映α、β角的真实大小a’xb’a投影特性：1、 a’’b’’c’’重影于一条直线2 、 Δabc、 Δa’b’c’为ΔABC的类似形oYbczc’b’’β c’’α a’’ Y侧垂面73侧垂面的迹线表示法a b c a b c abc⑵ ⑵ 投影面平行面投影面平行面积聚性积聚性积聚性积聚性实形性实形性水平面水平面投影特性：投影特性：在它所平行的投影面上的投影反映实形在它所平行的投影面上的投影反映实形 另两个投影面上的投影分别积聚成与相应另两个投影面上的投影分别积聚成与相应的投影轴平行的直线。

的投影轴平行的直线投影特性：1、abc 、a’’b’’c’’重影于一条直线 ，abc//OX， a’’b’’c’’//OZ 2 、正平面投影Δa’b’c’ 反映ΔABC实形 76b’’ a’’c’’ Yb’Ybcac’XZa’o正平面77 投影特性：1、 abc 、 a′ b′ c′ 重影于一条直线, abc//OY，a’b’c’//OZ 2 、 侧平面投影Δa″b″c″ 反映ΔABC实形侧平面78三）一般位置平面a b c a c b abc投影特性：投影特性：三个投影都类似三个投影都类似a c b c a ●abcb 例例：正垂面：正垂面ABCABC与与H H面的夹角为面的夹角为4545°，已知其水平投影，已知其水平投影 及顶点及顶点B B的正面投影，求的正面投影，求△△ABCABC的正面投影及侧面的正面投影及侧面 投影思考：此题有几个解？思考：此题有几个解？45°1、属于一般位置平面的点和直线2、属于特殊位置平面的点和直线3、属于平面的投影面平行线79三、 属于平面的点和直线1）取属于平面的点2）取属于平面的直线801、属于一般位置平面的点和直线81e′d′EDde取属于平面的点，要取自属于该平面的已知直线。

1）取属于平面的点2）取属于平面的直线位于平面上的直线应满足的条件：位于平面上的直线应满足的条件：●●M MN NA AB B●M M若一直线过平面上若一直线过平面上的两点，则此直线的两点，则此直线必在该平面内必在该平面内若一直线过平面上的若一直线过平面上的一点且平行于该平面一点且平行于该平面上的另一直线，则此上的另一直线，则此直线在该平面内直线在该平面内abcb c a  d d例：已知平面由直线例：已知平面由直线ABAB、、ACAC所确定，试在所确定，试在 平面内任作一条直线平面内任作一条直线解法一解法一:解法二解法二:有多少解？有多少解？有无数解！有无数解！n ●m ●n●m●abcb c a 83例例1：已知：已知K点在平面点在平面ABC上，求上，求K点的水平投影点的水平投影baca k b ●①①c 利用平面的积聚性求解利用平面的积聚性求解通过在面内作辅助线求解通过在面内作辅助线求解k●d d②②●abca b k c k● 先找出过此点而又在平面内的一条直线作为先找出过此点而又在平面内的一条直线作为辅助线，然后再在该直线上确定点的位置。

辅助线，然后再在该直线上确定点的位置 面上取点的方法：面上取点的方法：首先面上取线首先面上取线例8 已知已知AC为正平线，补全平行四边形为正平线，补全平行四边形ABCD的水平投影的水平投影bckada d b c ada d b c k bc解法一解法一解法二解法二85例9在平面在平面ABC内作一条水平线，使其到内作一条水平线，使其到H面的距面的距 离为离为10mmn m nm10c a b cab 唯一解！唯一解！有多少解？有多少解？1）取属于特殊位置平面的点和直线2） 过一般位置直线总可作投影面的垂直面3）过特殊位置直线作平面862、属于特殊位置平面的点和直线属于特殊位置平面的点和直线，它们至少有一个投影必重合于具有积聚性的迹线如左图所示，正垂面P由PV给定取属于该平面的点，先自PV取定正面投影（a ‘, b‘），再在投影连线上任取水平投影（a , b）， 则点A(a,a‘)和点B(b,b’)都属于平面P又如左图所示，已知正平面Q由QW给定取属于该平面的直线，先自QW取定侧面投影(c‘‘,d’’)，再任取正面投影(c‘,d’)，则直线CD(c'd',c''d'')便属于平面Q。

1）取属于特殊位置平面的点和直线87取属于正垂面的点取属于正平面的直线88过一般位置直线AB作H面的垂直面PH过一般位置直线AB作V面的垂直面SV2）过一般位置直线总可作投影面的垂直面89ff’e’m’ff’ene(m)e’(n’)过一般位置直线作投影面的垂直面(几何元素表示)90a’’a’azoyySVb’bQWb’’xPH过一般位置直线作投影面的垂直面(迹线表示)m’（n’）nmm’（n’）nmm’（n’）nmm’（n’）nmPVSVQVRV（给题）例如：试过正垂线MN作一平面经过空间分析可知，过正垂线MN可作一个水平面P，一个铅垂面S，并可作无穷多个正垂面Q,R等，如图所示 913) 过特殊位置直线作平面(迹线表示法)92ef’e’eff’e’ff’e’f ef’PHf eSH e’g’g（a ）给题（c）作正垂面（ b）作正平面（d）作一般位置平面例10过正平线作平面933、属于平面的投影面平行线属于一般位置平面或投影面垂直面的投影面平行线方向是一定的如上图所示，属于平面P的水平线均互相平行，它们平行于平面P与H面的交线——水平迹线PH属于平面P的正平线均互相平行，且平行于正面迹线PV。

例11已知ΔABC 给定一平面，试过点C 作属于该平面的正平线，过点A作属于该平面的水平线m′n′nm941510m′n′rsr′s′ne′em95例12已知点E 在ΔABC平面上，且点E距离H面15，距离V面10，试求点E的投影§1-5 直线与平面、两平面的相对位置Ø平行问题 Ø相交问题Ø垂直问题基本要求一一 、平行问题、平行问题 1 1．熟悉线、面平行，面、面平行的几何条件；．熟悉线、面平行，面、面平行的几何条件； 2 2．熟练掌握线、面平行，面、面平行的投影特性及作图方法．熟练掌握线、面平行，面、面平行的投影特性及作图方法二、二、 相交问题相交问题 1 1．熟练掌握特殊位置线、面相交（其中直线或平面的投影具有积聚．熟练掌握特殊位置线、面相交（其中直线或平面的投影具有积聚性）交点的求法和作两个面的交线（其中一平面的投影具有积聚性）性）交点的求法和作两个面的交线（其中一平面的投影具有积聚性） 2 2．熟练掌握一般位置线、面相交求交点的方法；掌握一般位置面、．熟练掌握一般位置线、面相交求交点的方法；掌握一般位置面、面相交求交线的作图方法。

面相交求交线的作图方法 3 3．掌握利用重影点判别投影可见性的方法．掌握利用重影点判别投影可见性的方法三三 、垂直问题、垂直问题 掌握线面垂直、面面垂直的投影特性及作图方法掌握线面垂直、面面垂直的投影特性及作图方法• • 直线与平面平行直线与平面平行直线与平面平行直线与平面平行• • 两平面平行两平面平行两平面平行两平面平行一、平行问题一、平行问题⒈⒈⒈⒈ 直线与平面平行直线与平面平行直线与平面平行直线与平面平行D DB BC CA AP P若：若：ABAB∥∥CD则：则：ABAB∥P∥P 若平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，若平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线与该平面平行这是解决直线与平面平行作则该直线与该平面平行这是解决直线与平面平行作图问题的依据图问题的依据几何条件：几何条件：几何条件：几何条件：有关线、面平行的作图问题有：有关线、面平行的作图问题有： 判别已知线面是否平行；判别已知线面是否平行； 作直线与已知平面平行；作直线与已知平面平行； 包含已知直线作平面与另一已知直线平行。

包含已知直线作平面与另一已知直线平行fgfg结论：直线结论：直线ABAB不平行于定平面不平行于定平面[ [例例1]1] 试判断直线试判断直线AB是否平行于定平面是否平行于定平面n ●●a c b m abcmn[ [例例2] 2] 过过M点作直线点作直线MN平行于平面平行于平面ABC有无数解有无数解d dX X正平线正平线[ [例例3] 3] 过过M点作直线点作直线MN平行于平行于V面和面和 平面平面 ABC唯一解唯一解c ●●b a m abcmnn d dX Xbaaffb[ [例例4]4] 试过点试过点K作水平线作水平线AB平行于平行于ΔCDE平面平面直线与特殊位置平面平行直线与特殊位置平面平行直线与特殊位置平面平行直线与特殊位置平面平行 当平面为投影面的垂直面时，只要平面有积聚性的投影和直当平面为投影面的垂直面时，只要平面有积聚性的投影和直线的同面投影平行，或直线也为该投影面的垂线，则直线与平面线的同面投影平行，或直线也为该投影面的垂线，则直线与平面必定平行必定平行。

⒉⒉⒉⒉ 两平面平行两平面平行两平面平行两平面平行 若一个平面内的相交二直线与另一个平面内的相交二直线对应平行，则此两平面平行这是两平面平行的作图依据 判别两已知平面是否相互平行； 过一点作一平面与已知平面平行； 已知两平面平行，完成其中一平面的所缺投影几何条件：几何条件： 两平面平行的作图问题有：两平面平行的作图问题有：两平面平行两平面平行两平面平行两平面平行①① 若一平面上的两相交直线分别平行于另一若一平面上的两相交直线分别平行于另一平面上的两相交直线，则这两平面相互平行平面上的两相交直线，则这两平面相互平行ⅠⅡⅢAB∥AB∥ⅠⅡⅠⅡ；；AC∥AC∥ⅠⅢⅠⅢ；； 则：则：P P∥∥Q Q②② 若两投影面垂直面相互平行，则它们具有若两投影面垂直面相互平行，则它们具有积聚性的那组投影必相互平行积聚性的那组投影必相互平行两特殊位置平面平行两特殊位置平面平行两特殊位置平面平行两特殊位置平面平行 c f b d e a abcdefX Xf g abcdefga b c d e X X两特殊位置平面平行两特殊位置平面平行 两两一般位置平面平行一般位置平面平行 acebb a d dfc f e khk h O OX Xm m由于由于ek不不平行于平行于ac, ,故两平面故两平面不平行。

不平行[ [例例1]1] 判断平面判断平面ABDCABDC与平面与平面EFHMEFHM是否平行，是否平行， 已知已知AB∥CD∥EF∥MHAB∥CD∥EF∥MH[例例2 2] 试判断两平面是否平行mnmnrrss结论：两平面平行结论：两平面平行emnmnfefsrsrkk[ [例例3]3] 已知定平面由平行两直线已知定平面由平行两直线AB和和CD给定试过给定试过 点点K作一平面平行于已知平面作一平面平行于已知平面 [例例4 4] 试判断两平面是否平行结论：因为结论：因为PH平行平行SH，，所以两平面平行所以两平面平行• • 直线与平面相交直线与平面相交直线与平面相交直线与平面相交• • 两平面相交两平面相交两平面相交两平面相交二、相交问题二、相交问题 直线与平面相交，其交点是直线与平面的直线与平面相交，其交点是直线与平面的共有点1.1. 直线与平面相交直线与平面相交直线与平面相交直线与平面相交要讨论的问题：要讨论的问题：(1) (1) 求直线与平面的交点求直线与平面的交点。

(2) (2) 判别两者之间的相互遮判别两者之间的相互遮 挡关系，即判别可见性挡关系，即判别可见性 我们将分别讨论一般位置的直线与平我们将分别讨论一般位置的直线与平面或至少有一个处于特殊位置的情况面或至少有一个处于特殊位置的情况●●Ø特殊位置线面相交特殊位置线面相交直线与特殊位置平面相交判断直线的可见性特殊位置直线与一般位置平面相交1） 直线与特殊位置平面相交由于由于特殊位置特殊位置平面的某个投影有积聚性平面的某个投影有积聚性，，交点可直接求出交点可直接求出bbaaccmmnnk k2）判断直线的可见性特殊位置线面相交，根据平面的积聚性投影，能直接判别直线的可见性特殊位置线面相交，根据平面的积聚性投影，能直接判别直线的可见性 kbbaaccmmnnk 例例1 1 求直线求直线MN与平面与平面ABC的交点的交点K并判别可见性并判别可见性空间及投影分析空间及投影分析: 平面平面ABC是一铅垂是一铅垂面，其水平投影积聚成面，其水平投影积聚成一条直线，该直线与一条直线，该直线与mn的交点即为的交点即为K点的水点的水平投影。

平投影①① 求交点求交点②② 判别可见性判别可见性 由水平投影可知，由水平投影可知，KN段在平面前，故正段在平面前，故正面投影上面投影上k n 为可见 还可通过重影还可通过重影点判别可见性点判别可见性⑴⑴ 平面为特殊位置平面为特殊位置abcmnc n b a m k ●k●1 (2 )2●1●●X Xkm(n)b●m n c b a ac⑵⑵ 直线为特殊位置直线为特殊位置空间及投影分析空间及投影分析: 直线直线MN为铅垂线，其为铅垂线，其水平投影积聚成一个点，水平投影积聚成一个点，故交点故交点K的水平投影也积聚的水平投影也积聚在该点上在该点上①① 求交点求交点②② 判别可见性判别可见性 点点Ⅰ位于平面上，在位于平面上，在前，点前，点Ⅱ位于位于MN上，在上，在后，故后，故k 1 1 为不可见为不可见k ●2 ●1●●1  (2 )X X( )k21k'2'1'例例2 2 求铅垂线求铅垂线求铅垂线求铅垂线EFEF与与与与一般位置平面一般位置平面一般位置平面一般位置平面△△△△ABCABC的交点并判别的交点并判别的交点并判别的交点并判别 其可见性。

其可见性其可见性其可见性ØØ 直线与一般直线与一般位置位置平面相交平面相交以正垂面为辅助平面求线面交点 示意图以铅垂面为辅助平面求线面交点 示意图判别可见性 示意图1 2 QV21kk步骤：步骤：1．过．过EF作正作正垂平面垂平面Q2．求．求Q平面与平面与ΔABC的交线的交线ⅠⅡ3．．求交线求交线ⅠⅡ与与EF的交点的交点K示意图以正垂面为辅助平面求直线以正垂面为辅助平面求直线EF与与ΔABC平面的交点平面的交点ABCQ过过EF作作正垂面正垂面QEF以正垂面为辅助平面求线面交点以正垂面为辅助平面求线面交点 示意图示意图ⅠⅡ2PH1 步骤：步骤：1．过．过EF作铅作铅垂平面垂平面P2．求．求P平面与平面与ΔABC的交线的交线ⅠⅡ3．．求交线求交线ⅠⅡ与与EF的交点的交点Kkk2  示意图以铅垂面为辅助平面求直线以铅垂面为辅助平面求直线EF与与ΔABC平面的交点平面的交点1过过EF作铅作铅垂垂面面P以以铅铅垂面为辅助平面求线面交点垂面为辅助平面求线面交点 示意图示意图FCABPEFKEⅠⅡfee直线EF与平面 ABC相交，判别可见性。

利利用用重重影影点点判判别别可可见见性性1243（ ）kk(3)4示意图示意图( )213ⅠⅡⅢ1 (2)(4)3利利用用重重影影点点判判别别可可见见性性Ⅳ直线直线EF与与平面平面  ABC相交，判别可见性相交，判别可见性示意图示意图2.2. 两平面相交两平面相交两平面相交两平面相交 两平面相交其交线两平面相交其交线为直线，交线是两平面为直线，交线是两平面的共有线，同时交线上的共有线，同时交线上的点都是两平面的共有的点都是两平面的共有点要讨论的问题：要讨论的问题：①① 求两平面的交线求两平面的交线方法：方法：方法：方法：⑴⑴ 确定两平面的两个共有点确定两平面的两个共有点⑵⑵ 确定一个共有点及交线的方向确定一个共有点及交线的方向 ②② 判别两平面之间的相互遮挡关系，即：判别两平面之间的相互遮挡关系，即： 判别可见性判别可见性ØØ一般位置平面与一般位置平面与特殊位置特殊位置平面相交平面相交 求两平面交线的问题可以看作是求两个共有点的问题，由于特殊位置平面的某个投影有积聚性，交线可直接求出 1）求交线 2）判断平面的可见性1） 求交线MmnlacbPPHABCFKNLkfnlmmlnbaccabfkfk2 2）））） 判断平面的可见性判断平面的可见性判断平面的可见性判断平面的可见性2 2）））） 判断平面的可见性判断平面的可见性判断平面的可见性判断平面的可见性abcdefc f d b e a m (n )●例例3 3 求两平面的交线求两平面的交线 MN并判别可见性。

并判别可见性⑴⑴空间及投影分析：空间及投影分析：①① 求交线求交线②② 判别可见性判别可见性 从正面投影上可看出，从正面投影上可看出，在交线左侧，平面在交线左侧，平面ABC在在上，其水平投影可见上，其水平投影可见m●n● 平面平面ABC与与DEF都为都为 正垂面，它们的交线为一正垂面，它们的交线为一条正垂线，两平面正面投条正垂线，两平面正面投影的交点即为交线的正面影的交点即为交线的正面投影，交线的水平投影垂投影，交线的水平投影垂直于直于OX轴 还可通过重影点还可通过重影点判别可见性判别可见性a ′abd( (e) )e′b′d′h( (f) )cf′c′h′⑵⑵m●n●空间及投影分析：空间及投影分析： 平面平面DEFH是一铅垂面，是一铅垂面，它的水平投影有积聚性，其它的水平投影有积聚性，其与与ac、、bc的交点的交点m 、、n 即为即为两个共有点的水平投影，故两个共有点的水平投影，故mn即为交线即为交线MN的水平投影的水平投影①① 求交线求交线②② 判别可见性判别可见性 点点Ⅰ在在MC上，点上，点Ⅱ在在MH上，点上，点Ⅰ在前，点在前，点Ⅱ在后，在后，故故mc 可见。

可见作图作图X X211 1'(2(2') )m′●●●n′●●bc d e f a b acdef⑶⑶投影分析投影分析 N点的水平投影点的水平投影n位于位于Δdef 的外面，说明点的外面，说明点N位位于于ΔDEF所确定的平面内，所确定的平面内，但不位于但不位于ΔDEF这个图形这个图形内 所以所以ΔABC和和ΔDEF的的交线应为交线应为MKm●k●k ●nn'●①① 求交线求交线②② 判别可见性判别可见性作图作图●m ●ΔDEF的正面投影积聚的正面投影积聚ØØ两一般位置平面相交两一般位置平面相交 求两平面交线的问题可以看作是求两个共有点的问题, 因而可利用求一般位置线面交点的方法找出交线上的两个点，将其连线即为两平面的交线•两一般位置平面相交求交线两一般位置平面相交求交线•判别可见性判别可见性两一般位置平两一般位置平面相交，求交面相交，求交线步骤：线步骤：1．．用求直线用求直线与平面交点的与平面交点的方法，作出两方法，作出两平面的两个共平面的两个共有点有点K、、EllnmmnPVQV1221kkee2．．连接两个连接两个共有点，画出共有点，画出交线交线KE。

示意图示意图例4求两平面的交线求两平面的交线两一般位置平面相交求交线的方法两一般位置平面相交求交线的方法 示意图示意图 利用求一般位置线面利用求一般位置线面交点的方法找出交线上的交点的方法找出交线上的两个点，将其连线即为两两个点，将其连线即为两平面的交线平面的交线MBCAFKNL利利用用重重影影点点判判别别可可见见性性两平面相交，判别可见性两平面相交，判别可见性3  4  ( )3 4 21( )1  2 • • 直线与平面垂直直线与平面垂直直线与平面垂直直线与平面垂直• • 两平面互相垂直两平面互相垂直两平面互相垂直两平面互相垂直三、垂直问题三、垂直问题直线与平面垂直直线与平面垂直VHPAKLDCBE几何条件：几何条件：若一直线垂直于一平面，则必垂直于属于该平面若一直线垂直于一平面，则必垂直于属于该平面 的一切直线的一切直线定理定理1 1：：若一直线垂直于一平面、则直线的水平投影必垂直于属若一直线垂直于一平面、则直线的水平投影必垂直于属 于该平面的水平线的水平投影；直线的正面投影必垂直于该平面的水平线的水平投影；直线的正面投影必垂直 于属于该平面的正平线的正面投影。

于属于该平面的正平线的正面投影VPAKLDCBEHaadcbdcbeeknknXO定理定理2 2：：若一直线垂直于属于平面的水平线的水平投影；直线若一直线垂直于属于平面的水平线的水平投影；直线（逆）（逆） 的正面投影垂直于属于平面的正平线的正面投影、则的正面投影垂直于属于平面的正平线的正面投影、则 直线必垂直于该平面直线必垂直于该平面acacnnkfdbdbfkVPAKLDCBEHXOacacnnmfdbdbfm例例6 6 平面由平面由  BDF给定，试过定点给定，试过定点M作平面的垂线作平面的垂线hhhhhhkkSVkkPVkkQH例例7 7 试过定点试过定点K作特殊位置平面的法线作特殊位置平面的法线efemnmncaadbcdbfXO例例8 8 平面由两平行线平面由两平行线AB、、CD给定，试判断直线给定，试判断直线MN 是否垂直于定平面是否垂直于定平面PAB 两平面垂直两平面垂直两平面垂直两平面垂直几何条件：几何条件：若一直线垂直于一定平面，则包含这条直线的所若一直线垂直于一定平面，则包含这条直线的所 有平面都垂直于该平面。

有平面都垂直于该平面 反之，两平面相互垂直，则由属于第一个平面的任意一反之，两平面相互垂直，则由属于第一个平面的任意一点向第二个平面作的垂线必属于第一个平面点向第二个平面作的垂线必属于第一个平面ABⅠⅡ两平面垂直两平面垂直两平面不垂直两平面不垂直ⅡⅠABghacachkkfdbdbfgXO例10 平面由 BDF给定，试过定点K作已知平面的垂面ghachackkbbgffdd结论：结论：两平面不平行两平面不平行XO例11 试判断 ABC与相交两直线KG和KH所给定的平面 是否垂直abca b c ① ① 直线为一般位置时直线为一般位置时② ② 直线为特殊位置时直线为特殊位置时bab ka k ●●  小小 结结  ★ ★ 点、直线、平面的投影特性，尤其是点、直线、平面的投影特性，尤其是特殊位置直特殊位置直 线与平面的投影特性线与平面的投影特性重点掌握：重点掌握：★ ★ 点、直线、平面的点、直线、平面的相对位置的判断方法及投影特性相对位置的判断方法及投影特性。

一、直线上的点一、直线上的点⒈ ⒈ 点的投影在直线的同名投影上点的投影在直线的同名投影上⒉ ⒉ 点的投影必分线段的投影成定比点的投影必分线段的投影成定比——定比定理定比定理⒊ ⒊ 判断方法判断方法 二、两直线的相对位置二、两直线的相对位置⒈⒈ 平行平行同名投影互相平行同名投影互相平行 对于一般位置直线，只对于一般位置直线，只要有两个同名投影互相平行，要有两个同名投影互相平行，空间两直线就平行空间两直线就平行abcdc a b d ①① 对于特殊位置直线，只对于特殊位置直线，只有两个同名投影互相平行，有两个同名投影互相平行，空间直线不一定平行空间直线不一定平行cbdd b a c ②②a⒉ ⒉ 相交相交⒊ ⒊ 交叉（异面）交叉（异面） 同名投影相交，交点是两直线的共有点，同名投影相交，交点是两直线的共有点，且符合空间一个点的投影规律且符合空间一个点的投影规律 同名投影可能相交，但同名投影可能相交，但“交点交点”不符合空不符合空间一个点的投影规律间一个点的投影规律交点交点”是两直线上一是两直线上一对重影点的投影。

对重影点的投影●●cabb a c d k kd①①c′′ a′ bd′abcd②②三、点与平面的相对位置三、点与平面的相对位置面上取点的方法面上取点的方法baca k b ●①①c 利用平面的积聚性求解利用平面的积聚性求解通过在面内作辅助线求解通过在面内作辅助线求解②②●abca b k c 四、直线与平面的相对位置四、直线与平面的相对位置⒈ ⒈ 直线与平面平行直线与平面平行 直线平行于直线平行于平面内平面内的一条直线的一条直线⒉⒉ 直线与平面相交直线与平面相交⑵ ⑵ 投影面垂直线与一般位置平投影面垂直线与一般位置平 面求交点，利用交点的共有面求交点，利用交点的共有 性和直线的积聚性，采取平性和直线的积聚性，采取平 面上取点的方法求解面上取点的方法求解⑴ ⑴ 一般位置直线与特殊位置平一般位置直线与特殊位置平 面求交点，利用交点的共有面求交点，利用交点的共有 性和平面的积聚性，采用直性和平面的积聚性，采用直 线上取点的方法求解线上取点的方法求解abcmnc n b am m(n)b●m n c b a ac五、两平面的相对位置五、两平面的相对位置⒈ 两平面平行两平面平行⑴ ⑴ 若一平面上的若一平面上的两相交两相交 直线直线分别平行于另一分别平行于另一 平面上的平面上的两相交直线两相交直线，， 则这两平面相互平行。

则这两平面相互平行⑵ ⑵ 若两若两投影面垂直面投影面垂直面相相 互平行，则它们互平行，则它们具有具有 积聚性积聚性的那组投影必的那组投影必 相互平行相互平行c f b d e a abcdeff h abcdefha b c d e ⒉⒉ 两平面相交两平面相交⑴ ⑴ 两特殊位置平面相交，分两特殊位置平面相交，分 析交线的空间位置，有时析交线的空间位置，有时 可找出两平面的一个共有可找出两平面的一个共有 点，根据交线的投影特性点，根据交线的投影特性 画出交线的投影画出交线的投影 ⑵ ⑵ 一般位置平面与特殊位置一般位置平面与特殊位置 平面相交，可利用特殊位平面相交，可利用特殊位 置平面的积聚性找出两平置平面的积聚性找出两平 面的两个共有点，求出交面的两个共有点，求出交 线。

线abcdefc f d b e a a′abd(e)e′b′d′h(f)cf′c′h′。