ThemeGallery PowerTemplate,,§5-3 单边拉普拉斯变换及其性质,国家“十二五”规划教材——《信号与系统》,重点,难点,单边拉普拉斯变换的性质,单边拉普拉斯变换的性质,内容安排,5-3-1 拉普拉斯变换的定义,5-3-2 拉普拉斯变换的性质,由于工程应用中所涉及的信号通常都是因果的，即时间t0时信号f(t)=0，而且初始时刻的选择也往往是任意的因此，时间t=0一般就规定为信号施加于系统的时间，而时间t≥0时系统的输出行为（响应）才是我们所关心的在这类问题中，定义单边拉普拉斯变换更有意义，因为若以非负时间t≥0（因果）的信号作为系统的输入，则基于这个因果信号就可以除去在双边拉普拉斯变换存在的不唯一性，因而也就不必考虑收敛域的问题至于工程上最重要的应用-解存在初始条件的因果系统的微分方程，单边变换的微分性质赋予了解过程的最大便利5-3-1 拉普拉斯变换的定义,,信号f(t)的单边拉普拉斯变换定义如下，式中积分下限0_意味着积分中允许包含t=0时出现的不连续（或间断）点及冲激因此，对于t≥0 ，F(s)就唯一地由f(t)确定5-3-1 拉普拉斯变换的定义,（5-3-1）,5-3-1 拉普拉斯变换的定义,由于式（5-1-11）给出的拉普拉斯逆变换仅取决于F(S)，故单边拉普拉斯逆变换仍然由该式定义，即,,,注意，对于时间t0时f(t)=0的信号，单边和双边变换是等价的。
信号x(t)与其拉普拉斯变换F(S)构成一个拉普拉斯变换对，表示为,（5-3-2）,若函数 的拉普拉斯变换为 则对于任何常数 ，下式成立,5-3-2 拉普拉斯变换的性质,,,,,线性性质,,（5-3-1）,5-3-2 拉普拉斯变换的性质,证明：利用积分性质即可直接证明线性性质，即 上式表明，连续时间函数的线性组合的拉普拉斯变换等于函数拉普拉斯变换的线性组合设信号有拉普拉斯变换对 则对于 个单位延迟的时移信号 ,有 需要强调的是，在时间上左移信号定义为 它一般不满足信号的因果性，所以单边拉普拉斯变换在这种情况下就不能使用但若时间左移信号具有因果性，则时移性质仍然是适用的例如，矩形脉冲 左移两个单位后仍保持因果关系5-3-2 拉普拉斯变换的性质,,,,,,,,时移性质,（5-3-4）,5-3-2 拉普拉斯变换的性质,证明：由拉普拉斯变换的定义，有 作变量代换 ，则 ， ，代入上式得到 这里必须强调正确使用时移性质的条件考虑一个时间函数平移的几种情况，图5-3-1a)是原函数，它是过原点的一条直线；图5-3-1b)是函数f(t)u(t)的波形，它满足,,,,,,,5-3-2 拉普拉斯变换的性质,图5-3-1c)是函数 的波形，其中 。
另外，函数 的波形如图5-3-1d)所示，至于函数 ，因为满足 故其波形由图5-3-1e)给出5-3-2 拉普拉斯变换的性质,观察图5-3-1中时间函数之间存在的差异，需要明确单边拉普拉斯变换是针对图5-3-1b)中的函数定义的，而时移性质通过证明已知仅适用于图5-3-1e)所示的一类函数5-3-2 拉普拉斯变换的性质,试求函数 的拉普拉斯变换 解：该函数不满足式（5-3-4）中定义的形式，但通过 如下变形 则使得函数符合时移性质的适用条件，即,,,,例5-3-1,5-3-2 拉普拉斯变换的性质,试求信号 的拉普拉斯变换 解：根据时移性质的适用条件，有 注意，解题时需将每一项变成式（5-3-4）中定义的形式例5-3-2,设信号有拉普拉斯变换对 ，则有 其中a0是一个时间尺度参数注意，如果a是负数，则因果信号f(t)就变成一个非因果信号f(-|a|t) （通过时间反转和时间尺度变换），故单边拉普拉斯变换将不能应用 证明：对信号 取拉普拉斯变换并引入变量代换 ，则有,,,,,5-3-2 拉普拉斯变换的性质,,尺度变换性质,如果综合考虑尺度变换和时移，则存在下面性质,（5-3-5）,（5-3-6）,5-3-2 拉普拉斯变换的性质,证明：对于一个具有尺度变换和时移的函数 ，由于考虑的是它的单边拉普拉斯变换，故要求 。
同时，时移性（式（5-3-4））要求 需与具有尺度变换和时移的单位阶跃函数 相乘因此， 的单边拉普拉斯变换根据定义为 对上式作变量代换 ，则有 代入上式可得,,,,,,,,,,5-3-2 拉普拉斯变换的性质,试研究时间尺度变换单位阶跃函数 的拉普拉斯变换 解：根据尺度变换性质，显然有 这个结果其实不意外，因为对于任意a0，根据单位阶跃函数的定义都有 另外，如果再考虑移位，还可以证明下面的关系式,,,,,例5-3-3,（5-3-7）,5-3-2 拉普拉斯变换的性质,试求出函数 的拉普拉斯变换 解：查表已知 根据式（5-3-6），可知 ，因此有 也就是,,,,,,例5-3-4,5-3-2 拉普拉斯变换的性质,本题还有一种解法，即先将原函数变形如下 上式利用了关系式（5-3-7）根据时移性质并查表， 有,,,（5-3-9）,设信号有拉普拉斯变换对 ，则有 其中t是时间并且s是复频率 证明：由拉普拉斯变换的定义，有 根据莱布尼茨法则，可得,,,,,5-3-2 拉普拉斯变换的性质,,乘t性质,（5-3-8）,（5-3-10）,比较式（5-3-9）和式（5-3-10），显然有 再对上式用归纳法，求n次导数后得到 乘以 即可证明式（5-3-8）。
5-3-2 拉普拉斯变换的性质,（5-3-11）,5-3-2 拉普拉斯变换的性质,求 的拉普拉斯变换 解：已知 根据乘t性质，显然有 连续应用乘t性质，可得,,,,,例5-3-5,5-3-2 拉普拉斯变换的性质,设信号有拉普拉斯变换对 ，则有 证明：对拉普拉斯变换定义式的等式两边取复变量s的积分，可得 性质得证该性质适合分析形如 的函数类除t性质,（5-3-12）,试求单边抽样信号 的拉普拉斯变换 解：已知单边正弦函数的拉普拉斯变换为 根据除t性质，有,,,,5-3-2 拉普拉斯变换的性质,例5-3-6,设信号有拉普拉斯变换对 ，则有 其中a表示频移量 证明：由拉普拉斯变换的定义，直接可得 该性质与傅立叶变换中的频移性质是对应的5-3-2 拉普拉斯变换的性质,,频移性质,（5-3-13）,5-3-2 拉普拉斯变换的性质,指数衰减正弦信号通常出现在储能系统中，试求 的拉普拉斯变换 解：已知 根据频移性质，可得 的拉普 拉斯变换为,,,,,例5-3-7,试求信号 的拉普拉斯变换。
解：例5-3-6中已经求出单边抽样函数的拉普 拉斯变换为 利用频移性质，即可得到x(t)的拉普拉斯变换为,,,,5-3-2 拉普拉斯变换的性质,例5-3-8,傅里叶域（ 域）中的调制性质对现代通信系统具有重要意义，但对于线性系统而言，拉普拉斯域中相应的性质却没有太大的重要性这个性质更多地是用于计算某些信号的拉普拉斯变换调制性质一般可基于函数F(s)的 频移性质，并利用欧拉公式直接证明，即 和 分别加、减上两式，整理后即可得到调制性质，即,,,,,,5-3-2 拉普拉斯变换的性质,,调制性质,（5-3-14）,余弦和正弦函数的拉普拉斯变换可以利用调制性质 求出出如下： 解：因为已知 因此应用调制性质，可得,,,5-3-2 拉普拉斯变换的性质,例5-3-9,（5-3-15）,试求信号 的拉普拉斯变换 解：由三角公式可得 因此 根据平移性质，有,,,,,5-3-2 拉普拉斯变换的性质,例5-3-10,时域微分性质 时域微分性质是拉普拉斯变换的最重要的性质之一LTI系统的常系数微分方程通过应用微分性质，就可转换到s域成为复系数代数方程一旦解出s域的代数方程，再求其拉普拉斯逆变换，即又变换回时域并且获得相应的时域系统的解。
这个方法将在？节详细研究 设信号有拉普拉斯变换对 ，时域微分性质指出函数的时域微分的拉普拉斯变换由下面的表达式给出：,,5-3-2 拉普拉斯变换的性质,,,其中,,5-3-2 拉普拉斯变换的性质,（5-3-16）,（5-3-17）,证明：一阶微分的拉普拉斯变换根据定义并进行分部积分，即 通过n次分部积分，即可证明式（5-3-15）给出的n阶微分拉普 拉斯变换的通式证明：一阶微分的拉普拉斯变换根据定义并进行分部积分，即 通过n次分部积分，即可证明式（5-3-15）给出的n阶微分拉普 拉斯变换的通式 式（5-3-15）的证明显示函数f(t)在 点的各阶导数 以及 必须存在特别是这个性质不能应用在单位阶跃函数的各阶导数上5-3-2 拉普拉斯变换的性质,注意: 时域微分性质是单边拉普拉斯变换最重要的性质之一由于单边拉普拉斯变换在时间坐标上有起点而傅立叶变换没有，所以傅立叶变换中没有类似的性质正是因为拉普拉斯变换具有这一特性，才使得在求解微分方程时不但用拉普拉斯变换比用傅立叶变换更方便，而且还避开了初始值跳变（ 时刻的值不等于 时刻的值）问题事实上，在用微分性质求解微分方程时，变换过程在数学上已经保证包含了系统的初始条件 ，也就是说系统的初始条件 将在变换过程中作为系统的内在成份出现。
5-3-2 拉普拉斯变换的性质,试求单位冲激信号 的拉普拉斯变换 解：令 ，则 ，由于 是位于t=0处的单位冲激信号，故可以用式（5-3-15）计算 的拉普拉斯变换，即 或,,,,,,,,,5-3-2 拉普拉斯变换的性质,例5-3-11,设信号有拉普拉斯变换对 ，积分性质指出函数的时域积分的拉普拉斯变换由下式给出： 证明：积分性质可以直接用上面给出的微分性质得到令v(t)代表f(t)的积分，即 则当t0时， ，t0时，v(t)=0由微分性质（式（5-3- 16））可知， ，所以有,,,,,,,5-3-2 拉普拉斯变换的性质,,积分性质,（5-3-18）,特别地，如果积分下限为 ，则积分区间可分割成 其中等式右端第一项 是一个常量，而第二项 则可直接利用上面的结论，故其拉普拉斯变换为,,,,,5-3-2 拉普拉斯变换的性质,（5-3-19）,试求图5-3-2所示三角脉冲信号的拉普拉斯变换 图5-3-2 三角脉冲信号 解：当信号波形可由分段函数描述时，信号导数的波形通常都较为简单，适合应用积分性质。
图5-3-2所示的三角脉冲信号可以用分段函数描述为,,,5-3-2 拉普拉斯变换的性质,例5-3-12,对上式求导，可得 由时移单位阶跃函数的拉普拉斯变换可知，上式的拉普拉斯变换对为 注意到三角脉冲信号是一个应果信号，所以根据微分性质可知f(t)的拉普拉斯变换为,,,,5-3-2 拉普拉斯变换的性质,设信号 有拉普拉斯变换对 ，信号 有拉普拉斯变换对 ，则 和 卷积的拉普拉斯变换为 时域卷积定理指出，两个信号时域卷积的拉普拉斯变换等于拉普拉斯变换的乘积但该性质仅适用于因果信号，即t0时， 和 的情况 证明：因果信号 和 的卷积运算定义为 取拉普拉斯变换，有,,,,,,,,,,,,,,5-3-2 拉普拉斯变换的性质,,时域卷积定理,（5-3-20）,为清楚起。