幂函数与二次函数知识点提要一、 幂函数1. 幂的有关概念正整数指数幂：零指数幂：负整数指数幂：分数指数幂：正分数指数幂的意义是：负分数指数幂的意义是： 2. 幂函数的定义一般地，函数叫做幂函数，其中x是自变量，a是常数(我们只讨论a是有理数的情况)．3. 幂函数的图象幂函数当时的图象见左图；当时的图象见右图：由图象可知，对于幂函数而言，它们都具有下列性质： 有下列性质：(1)时：①图象都通过点，；②在第一象限内，函数值随的增大而增大，即在上是增函数．(2)时：①图象都通过点；②在第一象限内，函数值随的增大而减小，即在上是减函数；③在第一象限内，图象向上与轴无限地接近，向右与轴无限地接近．(3)任何幂函数的图象与坐标轴至多只有一个交点；(4)任何幂函数图象都不经过第四象限；(5)任何两个幂函数的图象最多有三个交点．【说明】由幂函数的概念和定义域决定了，我们研究幂函数一般只研究其在第一象限内的部分，更精确地说是研究幂函数的时候只讨论x≥0或者x＞0的时候．4. 幂函数的奇偶性函数的定义域为,定义域关于原点对称,且所以当为奇数时函数是奇函数,为偶数时函数是偶函数．【说明】高中范围内一般不研究非整数指数的幂函数的奇偶性．二、 二次函数1．二次函数：当0时，或称为关于的二次函数，其对称轴为直线，另外配方可得，其中，下同．2．二次函数的性质：当时，的图象开口向上，在区间上随自变量增大函数值减小（简称递减），在上随自变量增大函数值增大（简称递增）．当时，情况相反．3．当时，方程即…．①和不等式…②及…③与函数的关系如下（记）．1）当时，方程①有两个不等实根，设，不等式②和不等式③的解集分别是和，二次函数图象与轴有两个不同的交点，还可写成．2）当时，方程①有两个相等的实根,不等式②和不等式③的解集分别是和空集，的图象与轴有唯一公共点．3）当时，方程①无解，不等式②和不等式③的解集分别是和．图象与轴无公共点．当时，请读者自己分析．4．二次函数的最值：若当时，取最小值,若，则当时，取最大值．对于给定区间上的二次函数，当时，在上的最小值为; 当时,在上的最小值为；当时，在上的最小值为（以上结论由二次函数图象即可得出）．例题一、 幂函数的定义与图像【例1】 （陕西2011文4） 函数的图像是 （ ） 【答案】B【分析】已知函数解析式和图像，可以用取点验证的方法判断．【解析】 取，，则，，选项B，D符合；取，则，选项B符合题意．【例2】 (安徽2011理) 函数在区间上的图像如图所示，则的值可能是 y1xO A． B． C． D． 【答案】B【解析】代入验证，当，，则，由可知，，结合图像可知函数应在递增，在递减，即在取得最大值，由，知存在．故选B．二、 幂函数的性质与应用【例3】 （上海2011文）下列函数中，既是偶函数，又在区间上单调递减的函数是（ ）A． B． C． D．【解析】、都是奇函数，故B、D错误，又虽为偶函数，但在上为增函数，故错误，在上为减函数，且为偶函数，故A满足题意．【例4】 已知，试比较的大小．【答案】【解析】 本题考查的是幂函数的单调性知识，这里三个表达式的底数和幂都分别不同，所以需要转化看待，将它们化成同类幂函数进行比较．为比较与的大小，将它们看成指数相同的两个幂，由于幂函数在区间上是增函数，因此只须比较底数a与的大小，由于指数函数 ()为减函数，且，所以，从而．比较与的大小，也可以将它们看成底数相同(都是aα)的两个幂，于是可以利用指数函数 是减函数，由于，得到． 由于，函数 ()是减函数，因此． 综上，【点评】解答本题的关键都在于适当地选取一个函数，函数选得恰当，问题可以顺利地获得解决．【例5】 （山东2011理10）已知是上最小正周期为2的周期函数，且当时,,则函数的图象在区间上与轴的交点的个数为（ ）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】A【解析】因为当时, ,又因为是上最小正周期为2的周期函数，且,所以,又因为,所以,,故函数的图象在区间上与轴的交点的个数为6个,选A．【例6】 （天津2010文）设函数．对任意，恒成立，则实数的取值范围是 ．【答案】．【解析】解法1．显然，由于函数对是增函数，则当时，不恒成立，因此．当时，函数在 是减函数，因此当时，取得最大值，于是恒成立等价于的最大值，即，解得．于是实数的取值范围是．解法2．然，由于函数对是增函数，则当时，不成立，因此．，因为，，则，设函数，则当时为增函数，于是时，取得最小值．解得．于是实数的取值范围是．解法3．因为对任意，恒成立，所以对，不等式也成立，于是，即，解得．于是实数的取值范围是．【例7】 已知函数对任意实数都有，且当时，．（1）判断的奇偶性；（2）判断在上的单调性，并给出证明；（3）若且，求的取值范围．【解析】由题设可知是幂函数的抽象函数，从而可猜想是偶函数，且在上是增函数．（1）令，则为偶函数．（2）设时，故在上是增函数．（3）∵又即又故【例8】 已知函数f(x)对任意的都有＝，且时，<1,=（1）求证： （2）= （3）是否存在单调，说明理由． （4）若的解集为求【解析】（1）若存在有则 与=矛盾．（2）（3）在单调递减．（4） 在下降，三、 二次函数的性质与应用【例9】 （2010安徽理）设，二次函数的图象可能是【解析】当时，、同号，（C）（D）两图中，故，选项（D）符合．【方法技巧】根据二次函数图像开口向上或向下，分或两种情况分类考虑．另外还要注意c值是抛物线与y轴交点的纵坐标，还要注意对称轴的位置或定点坐标的位置等．【例10】 （天津2011文10）设函数，则的值域是（ ）． Ａ． Ｂ．， Ｃ． Ｄ．【答案】D【解析】解得，则或．因此的解为：．于是当或时，．当时，，则，又当和时，，所以．由以上，可得或，因此的值域是．故选Ｄ．【例11】 （湖南2011文）已知函数若有则的取值范围为（ ） A． B． C． D．【答案】B【解析】由题可知，，若有则，即，解得【例12】 （陕西2011理）设，一元二次方程有整数根的充要条件是 【答案】3或4【分析】直接利用求根公式进行计算，然后用完全平方数、整除等进行判断计算．【解析】，因为是整数，即为整数，所以为整数，且，又因为，取，验证可知符合题意；反之时，可推出一元二次方程有整数根．【例13】 （天津2010理）设函数．对任意，恒成立，则实数的取值范围是 【答案】．【解析】解法１．不等式化为，即，整理得，因为，所以，设，．于是题目化为，对任意恒成立的问题．为此需求，的最大值．设，则．函数在区间上是增函数，因而在处取得最大值．，所以，整理得，即，所以，解得或，因此实数的取值范围是．解法2．同解法1,题目化为，对任意恒成立的问题．为此需求，的最大值．设，则．．因为函数在上是增函数，所以当时，取得最小值．从而有最大值．所以，整理得，即，所以，解得或，因此实数的取值范围是．解法3．不等式化为，即，整理得， 令．由于，则其判别式，因此的最小值不可能在函数图象的顶点得到，所以为使对任意恒成立，必须使为最小值，即实数应满足 解得，因此实数的取值范围是．解法4．(针对填空题或选择题)由题设，因为对任意，恒成立，则对，不等式也成立，把代入上式得，即，因为，上式两边同乘以，并整理得，即，所以，解得或，因此实数的取值范围是． 【例14】 设变量满足，并且的最小值是，求的值．【解析】 由，得1) 即时，的最小值为所以所以（舍）．2) 即时，在上是减函数，所以的最小值为综上，【例15】 已知有实数根，且在内有两个实数根，求证：【解析】证法一：由已知条件可得 ① ② ③ ④于是所以于是证法二：设的两个根为 则 由基本不等式【例16】 已知的两根为若，试比较与的大小．【解析】解法一：设 作差：又 解法二：同解法一得 令 是增函数，且另一方面： 【例17】 设二次函数方程的两根满足（Ⅰ）当时，求证： （Ⅱ）设函数的图象关于对称，求证： 【证明】 因为是方程的两根，所以即（Ⅰ）当时，所以其次所以综上，（Ⅱ）所以,所以，所以 【例18】 （2009江苏卷） 设为实数，函数． (1)若求的取值范围； (2)求的最小值； (3)设函数直接写出(不需给出演算步骤)不等式的解集．【解析】本小题主要考查函数的概念、性质、图象及解一元二次不等式等基础知识，考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力．（1）若，则（2）当时， 当时， 综上（3）时，得，当时，；当时，△>0,得：讨论得：当时，解集为;当时，解集为;当时，解集为．本课小结1. 幂函数因幂指数不同而性质各异，图像更是多样，重在掌握图像在第一象限的部分．抓住特殊点，并注意把和进行比较，掌握它们的变化规律．2. 在区间上幂函数中指数越大，函数图像越靠近轴，在上幂函数中指数越大，函数图像越远离轴．3. 幂函数的图像一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性．幂函数的图像最多只能同时出现在两个象限内，如果幂函数图像与坐标轴相交，则交点一定是原点．4. 幂函数的定义域的求法可以分为5中情况，即：（1）为零；（2）为正整数；（3）为负整数；（4）为正分数；（5）为负分数．5. 作幂函数的图像要联系函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等，只要作出幂函数在第一象限内的图像，然后根据它的奇偶性就可以作出幂函数在定义域内完整的图像．6. 比较两个幂值的大小，首先要分清是底数相同还是指数相同，如果底数相同，可利用指数函数的单调性；如果指数相同，可以转化为底数相同，也可借助于图像；如果指数不同，底数不同，则要利用中间量比较．课后作业【习题1】 （2010陕西文）下列四类函数中，有性质“对任意的函数满足”的是（ ） A．幂函数 B．对数函数 C．指数函数 D．余弦函数【答案】 C【解析】本题考查幂的运算性质 【习题2】 （2009辽宁卷文）已知函数满足则＝；当时＝，则＝（ ）A． B． C． D．【答案】 A【解析】。