八上培优 5 半角模型 方法 ：截长补短图形中，往往出现90°套45°的情况，或者120°套60°的情况还有皿 套«的情况求证的结论一般是线段的和与差解决的方法是：截长补短构造 全等三角形旋转移位造全等，翻折分割构全等截长法，补短法 勤学早和新观察均有专题勤学早在第49页，新观察在第34页，新观察培优 也有涉及，在第27页2两个例题， 29页有习题这些题大同小异，只是图形 略有变化而已证明过程一般要证明两次全等下面是新观察第34页1~4题1. 如图，四边形ABCD 中，ZA=ZC=90 °,zD=60 °, AB=BC, E、F,分别在AD、CD上，且ZEBF=60 求证：EF二AE+CF.2. 如图2,在上题中，若E、F分别在AD、DC的延长线上，其余条件不变，求 证：AE=EF+CF.3. 如图，ZA=ZB=90° , CA=CB=4, ZACB=120o,ZECF=60o, AE=3, BF=2, 求五边形ABCDE的面积.4. 如图 1.在四边形 ABCD 中.AB=AD,ZB+ZD=180 °, E、F 分别是边 BC、CD 上的点，且ZBAD=2ZEAF.(1) 求证：EF二BE+DF；(2) 在(1)问中，若将△ AEF绕点A逆时针旋转，当点E、F分别运动到BC、CD延长线上时，如图2所示，试探究EF、BE、DF之间的数量关系.图1 图23. 如图 3,在四边形 ABDC 中，ZB+ZC=180O, DB=DC，ZBDC=120O，以 D 为 顶点作一个60°的角，角的两边分别交AB、AC于E、F两点，连接EF,探索 线段BE、CF、EF之间的数量关系，并加以证明.勤学早第40页试题1. (1)如图，已知 AB=?AC, ZBAC=90°, ?Z?MAN=45°,过点 C 作 NC?丄AC 交AN于点N,过点B作BM?垂直AB交AM于点M,当ZMAN在ZBAC内部时，求 证： BM+CN?=MN;证明：延长MB到点G,使BG=CN,连接人6,证厶ABG竺△ACN(SAS), .'.AN二AG, ZBAG二,ZNAC. LTZGAM二ZGAB + Z BAM二ZCAN+ ZBAM=45° = LZMAN, 证 AAMN 竺AAMG（SAS）, '.\MN= MG= BM + BG= BM十 NC.证明二：（此证明方法见新观察培优第 27页例3）⑵如图，在⑴的条件下，当AM和AN在AB两侧时，⑴的结论是否成立?请说 明理由.解:不成立，结论是:MN二CN — BM,证明略.基本模型二 120°套 60°2. 如图，AABC 中，CA二CB, ZACB=120° ,E 为 AB 上一点，ZDCE=60° , ZDAE=120°，求证:DE=BE证明：（补短法）延长EB至点F,使BF=AD,连接CF,则厶CBF^ACAD, △CED^ACEF,.DE- AD=EF- BF= BE.3. 如图，AABC 中，CA二CB, ZACB=120°，点 E 为 AB 上一点，ZDCE=ZDAE= 60°， 求证：AD+DE二 BE.证明：（截长法）在BE上截取BF=AD,连接CF,易证△CBF^ACAD, △CED9ACEF, DE= EF, AD+DE= BF+EF=BE.比较：新观察培优版27页例4如 图，AABC是边长为1的等边三角形，ABDC是顶角，ZBDC二120° 的等腰三角形，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB、AC于M、N,连 结MN,试求AAMN的周长.分析：由于ZMDN=60° , ZBDC=120°，所以ZBDM 十ZCDN=60°，注意到 DB=DC， 考虑运用“旋转法”将ZBDM和ZCDN移到一起，寻找全等三角形。
另一方面， △AMN 的周长 AM+AN + MN= AB+ AC+MN-BM- CN.猜想 MN= BM+CN,证三角形全等 解决.新观察培优68页 例5如图，点A、B(2,0)在x轴上原点两侧，C在y轴正 半轴上，OC平分ZACB.(1) 求 A 点坐标 ;(2) 如图1, AQ在ZCAB内部，P是AQ上一点，满足ZACB=ZAQB, AP=BQ试 判断ACPQ的形状，并予以证明；(3) 如图2. BD丄BC交y轴负半轴于D. ZBDO=60° , F为线段AC上一动点，E 在CB延长线上，满足ZCFD+ZE=180° .当F在AC上移动时，结论：①CE+CF 值不变；②CE- CF值不变，其中只有一个正确结论，请选出正确结论并求其 值.分析：(1)由 ZA0C9AB0C 得 AO= BO=2, A(- 2,0).(2)由厶ACP9ABCQ 得 CP=CQ.⑶由BD丄BC, ZBDO=60°，可证得等边AABC.由角平分线和DB_丄BC的条件， 运用对称性知DA丄AC,连结DA,加上条件ZCFD+ZE=180°，可证得AADF兰 △BDE, 于是 CE+CF=2AC= 2AB= 8.基本模型三2 a。
套a °4. ( 1)如图 1,在四边形 ABCD 中，AB=AD, ZB+ZD=180O , E,F分别是 BC,CD 上的点，且ZEAF=1 Z BAD,求证:EF二 BE+ DF;2(2)如图2,在⑴的条件下，若将△ AEF绕点A逆时针旋转，当点E,F分别运动到BC,CD延长线上时，则EF,BE,DF之间的数量关系是EF=BE- DF解:(1)EF二BE+DF,延长 FD 到点 G,使 DG=BE,连接 AG,证△ABE^^ADG (SAS), ...\AE = AG,ZBAE=ZDAG,VZEAF=1 ZBAD,2.\ZGAF=ZDAG+ZDAF=ZBAE+ZDAF=Z BAD- ZEAF= Z EAF, .\Z 'EAF=ZGAF,证^AEF竺△GAF(SAS),.・・・EF二 FG, \*FG=DG+ DF=BE+ DF,・：EF二BE +DF; (2)EF=BE DF.外地试题：4. 探究：如图①，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD 上, ZEAF=45°, 连结 EF,求证：EF二BE+DF.应用：如图②，在四边形ABCD中，点E、F分别在BC、CD 上, AB=AD,ZB+Z D=90°,ZEAF=1 ZBAD，若 EF=3, BE=2,则 DF= .2 FD图②5.通过类比联想、引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的.下面是一个案例,请补充完整.C原题：如图1,点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，ZEAF=45°，连接EF,求证：EF二BE+DF.(1) 思路梳理VAB=AD,A把AABE绕点A逆时针旋转90°至厶ADG,可使AB与AD重合.VZADG=ZB=90°,AZFDG=ZADG+ZADC=180°，则点 F、D、G 共线.根据 ，易证△AFG9 ，从而得EF二BE+DF；(2) 类比引申 如图2,四边形ABCD中，AB二AD,ZBAD=90。
点E、F分别在边BC、CD 上, ZEAF=45 ° .若Z B、Z D都不是直角，但当Z B与Z D满足等量关系 时，仍有EF=BE+DF，请给出证明；(3) 联想拓展如图 3,在厶ABC 中，ZBAC=90°，AB二AC,点 D、E 均在边 BC 上,且ZDAE=45°， 猜想BD、DE、EC应满足的等量关系，并写出推理过程.7. (1)如图 1,在四边形 ABCD 中，AB=AD,ZB=ZD=90°, E、F 分别是边 BC、CD上的点，且AE=AF,ZEAF=1 ZBAD.现有三种添加辅助线的方式：①延长2EB至G,使BG=BE，连接AG；②延长FD至G,使DG=BE，连接AG；③过点A作AG丄EF，垂足为G；选择其中一种方法添加辅助线，求证：EF=BE+FD；(2) 如图 2,在四边形 ABCD 中，AB=AD,若ZB+ZD=180°,ZEAF二1 ZBAD,2证明(1)中结论是否还成立？(3) 如图 3,在四边形 ABCD 中，AB=AD, ZB+ZADC=180°, E、F 分别是边 BC、CD延长线上的点，且ZEAF=1 ZBAD, (1)中的结论是否仍然成立？若成立，2请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明.CD 上的点，且ZEAF=1 ZBAD.求证：EF=BE+FD.2(2) 如图2,在四边形ABCD中，AB二AD,ZB+ZD=180°, E、F分别是边BC、 CD上的点，且ZEAF= 求B点坐标； 如图2,若C为x正半轴上一动点，以AC为直角边作等腰直角△ ACD,ZACD=90。
连接0D,求ZAOD的度数； 如图3,过点A作y轴的垂线交y轴于E, F为x轴负半轴上一点，G在 EF的延长线上，以EG为直角边作等腰RtAEGH,过A作x轴垂线交EH于点M, 连FM,等式AM=FM+OF是否成立？若成立，请说明；若不成立，说明理由. ZBAD, (1)中的结论是否仍然成立？若成立，请证明;2若不成立，请写出线段EF、BE、FD它们之间的数量关系，并证明.(3) 如图 3,在四边形 ABCD 中，AB=AD，ZB+ZADC=180°，E、F 分别是边 BC、 CD延长线上的点，且ZEAF=1 ZBAD, (1)中的结论是否仍然成立？若成立，2请证明；若不成立，请写出线段EF、BE、FD它们之间的数量关系，并证明.半角模型问题放到平面直角坐标系中是什么样子？1. 如图1,在平面直角坐标系中，△ AOB为等腰直角三角形，A (4, 4)解：(1)如图所示，作AE丄OB于E,•:A (4, 4),・・・OE=4,•••△AOB为等腰直角三角形，且AE丄OB,AOE=EB=4,・•・OB=8,・・・B (8, 0)；(2) 如图所示，作AE丄OB于E, DF丄OB于F,• △ACD为等腰直角三角形，• AC二DC,ZACD=90°(3) AM二FM+OF成立，理由：如图所示，在AM上截取AN=OF,连EN.• A (4, 4),• AE=OE=4,又 VZEAN=ZEOF=90°, AN=OF,即 ZACF+ZDCF=90°,VZFDC+ZDCF=90°,• ZACF=ZFDC,又 VZDFC=ZAEC=90°,• △DFC^CEA (AAS),• EC=DF=4, FC=AE,• A (4, 4),• AE=OE=4 ,• FC=OE ,即 OF+EF=CE+EF ,• OF二CE ,• OF二DF ,• ZDOF=45° ,• △AOB为等腰直角三角形，• ZAOB=45° ,• ZAOD=ZAOB+ZDOF=90°；• ZOEF=ZAEN , EF=EN ,又•••△EGH为等腰直角三角形，• ZGEH=45° ,即 ZOEF+ZOEM=45° ,• ZAEN+ZOEM=45°又 VZAEO=90° ,• △EAN^^EOF (SAS),• ZNEM=45° =ZFEM ,又 TEM二EM,•••△NEM^AFEM (SAS), AAM-MF=OF,• MN=MF, 即 AM二FM+OF；【点评】 本题考查三角形综合题、全等三角形的判定、等腰三角形的性质和坐 标与图形性质的综合应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角 形解决问题，属于中考常考题型.2. 如图，直线L交x轴、y轴分别于。