复曲线三次抛物线缓和曲线插入段计算复曲线三次抛物线缓和曲线插入段计算摘摘 要要 通过对三次抛物线中插缓和曲线插入段起点的分析，可用迭代法求解插入段起点符合精度要求的 x 坐标，进而可计算三次抛物线插入段的其它参数关键词关键词 三次抛物线；缓和曲线；插入段参数；迭代法一、引言一、引言一个典型的复曲线，应包含两端旁插缓和曲 线、大圆与小圆各自的圆曲线、连接大圆与小圆 的中插缓和曲线五个部分当复曲线大、小圆半 径及中插缓和曲线长度选定后，同设置回旋线型 中插缓和曲线的复曲线一样，设置三次抛物线型 中插缓和曲线的复曲线，也需要计算缓和曲线插 入段的其它参数它们有两个不同半径圆曲线的 圆心距 S；大圆中插角 β′；小圆中插角 β″；两个 圆曲线之间插入段的长度 lc 等这些参数也是典 型复曲线众多参数中的重要组成部分三次抛物 线缓和曲线的计算[1]等文献，所给出的计算方法， 同样适用于复曲线设置三次抛物线旁插缓和曲线 的计算，这里不再赘述本话题着重叙述三次抛 物线型中插缓和曲线插入段的计算问题二、插入段起点二、插入段起点中插缓和曲线，并不是如旁插缓和曲线一样， 要把整段缓和曲线都插入复曲线之中。
用于连接 两个不同半径圆曲线的这一段，只是中插缓和曲 线中部某点至其终点的那一段所以应该称之为 中插缓和曲线的插入段，而且插入段起点的曲率 半径，应等于大圆的曲线半径，其终点的曲率半 径应等于小圆的曲线半径与计算回旋线型插入 段起点不同，三次抛物线型插入段起点的确定， 难以通过已知条件直接计算但众所周知，缓和 曲线每一点的曲率半径都不一样，或一个已知的 曲率半径只存在唯一的对应点对于三次抛物线 型缓和曲线，当曲率半径 ρ 已知时，虽难以通过 公式直接计算其对应点的 x 坐标，却可以用迭代 法计算出符合精度要求的 x 坐标 由直角坐标曲率计算公式可知，坐标为 x 那 一点的曲率半径 ρ 按下式计算x4C×(1+ ——)3/2 (1+y′ 2)3/2 4C2 ρ=———— = ——————— y′′ x式中 C 是与小圆半径及缓和曲线长度有关的常数，可以按文献[1]中论述的方法求得上式也可改写为 C x— = ————— (1)ρ x4(1+ ——)3/2 4C2或C x4 x=—×(1＋——) 3/2 (2)ρ 4C2由三次抛物线缓和曲线的使用限制可知，式(2)中 乘号以右部分，其合理的取值范围为大于 1 且小 于(1＋0.2) 3/2的正数。
当取其为 1 时，式(2)则变成Cxi = —— (3) ρ按式(3)计算出的 xi则是 x 的近似值，也可以把 xi 看成是 x 的初值令xi Cdx = ————— － —— (4)xi 4 ρ(1+ ——)3/2 4C2当 dx 绝对值大于或等于某指定精度(比如 5×10－9) 时，以 xi－dx/2 代替 xi再代入式(4)计算 dx，直至 dx 绝对值小于指定的精度值此时的 xi即为三次 抛物线上曲率半径为 ρ 那一点的 x 坐标(用 xF表 示)该点的 yF坐标、转角 βF、距缓和曲线起点 的长度 lF则分别为xF yF=—— (5)6CxF2 180 βF=arctg(——)×—— (6)6C xF5 xF9 xF13lF= xF＋ —— － —— ＋ —— AC2 BC4 DC6 xF17 xF21 xF25－ —— ＋ —— － —— (7)EC8 FC10 GC12式(7)中:A=40；B=1152；D=13312；E=111411.2;F=786432 ；G=104857600。
当 ρ 为复曲线大圆的半径时，按以上方式计 算出的对应点，即为插入段的起点当然若以手 工或是再加上计算器做以上计算，难度较大好 在运用已编的应用程序，计算却变得很简单三、插入段参数三、插入段参数设复曲线大、小圆的半径分别为 R1、R2，中 插缓和曲线长度为 lM，则可以用三次抛物线缓和 曲线计算方法，计算出缓和曲线终点的坐标 (xM，yM)、转角 βM 加上按本话题上述方法计 算出的缓和曲线起点坐标(xF，yF)、转角 βF，于 是复曲线大圆圆心的坐标为O1x = xF－R1×CosβF O1y = yF＋R1×SinβF小圆圆心的坐标则为O2x = xM－R2×CosβM O2y = yM＋R2×SinβM大、小圆的圆心距为S=[( O2x－O1x)2＋(O1y－O2y)2]1/2大圆的中插角为O2x－O1x β′=arctg———— － βF O1y－O2y小圆的中插角为β″= βM－βF －β′插入段的长度为lc=lM－lF四、算例四、算例已知大、小圆的半径分别为 R1=300、R2=150，中插缓和曲线长度 lM =80，计 算插入段其它参数 由中插缓和曲线终点曲率半径等于小圆的曲 线半径 150，及 lM =80，可计算出 C=10442.43992、xM=79.2903、yM=7.9562、βM=1 6°45′11.86″。
由插入段起点曲率半径等于大圆的曲线半径 300，及 C=10442.43992，可计算出 xF=34.9877、yF=0.6836、βF=3°21′16.09″、lF =34.9997 于是大、小圆的圆心坐标分别为（O1x =17.4438，O1y =300.1696） 、 （O2x =36.0526，O2y =151.5894） 、圆心距 S=149.7422、大圆中插角 β′=3°47′17.22″、小圆中插角 β″=9°36′38.55″、 插入段长 lc=45.0003五、结语五、结语中插缓和曲线的插入段是典型复曲线的重要 组成部分在三次抛物线缓和曲线已被广泛应用 的情况下，如何用三次抛物线缓和曲线连接两个 半径不相同的圆曲线，也是值得探讨得问题本 话题中，通过对中插缓和曲线插入段起点的分析， 可用迭代法求解插入段起点符合精度要求 (以三次 抛物线缓和曲线起点为坐标原点) 的 x 坐标，进而 计算三次抛物线插入段的其它参数，从而达到可 在复曲线中，用三次抛物线型插入段连接两个不 同半径圆曲线的目标参考文献[1]顾大军，三次抛物线缓和曲线的计算，新疆有色金属，2009.32（z1）[2]王国栋等，铁路三次抛物线缓和曲线的计算，交通科技与经济，2011 年第 1 期。