第13讲 函数与方程一、基础自测1．f(x)＝ln x＋2x－6的零点个数是( B )A．0 B．1C．2 D．3【解析】因为f(2)＝ln 2－2＜0，f(3)＝ln 3＞0，所以f(x)在(2，3)内有零点．又因为f(x)为增函数，所以函数f(x)有且只有1个零点．2．函数y＝－ln x的零点所在区间是( B )A．(3，4) B．(2，3)C．(1，2) D．(0，1)【解析】因为函数的定义域为(0，＋∞)，且函数y＝在(0，＋∞)上单调递减，y＝－ln x在(0，＋∞)上单调递减，所以函数y＝－ln x在(0，＋∞)上是减函数．又当x＝2时，y＝－ln 2＞0；当x＝3时，y＝1－ln 3＜0，两函数值异号，所以函数y＝－ln x的零点所在区间是(2，3).3．(多选)已知函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，且有如下对应值表：x123f(x)136.13615.552－3.92x456f(x)10.88－52.488－232.064在下列区间中，函数f(x)必有零点的区间为( BCD )A．(1，2) B．(2，3)C．(3，4) D．(4，5)【解析】由所给的函数值的表格可以看出，f(2)·f(3)＜0，f(3)·f(4)＜0，f(4)·f(5)＜0，所以函数f(x)在(2，3)，(3，4)，(4，5)内必有零点．4．已知函数f(x)＝2x＋x，g(x)＝log2x＋x，h(x)＝x3＋x的零点分别为a，b，c，则a，b，c的大小关系为( B )A．a＞b＞c B．b＞c＞aC．c＞a＞b D．b＞a＞c【解析】在同一平面直角坐标系中分别作出函数y＝2x，y＝log2x，y＝x3及y＝－x的图象，如图所示，由图象可知b＞c＞a.5． 已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，则实数m的取值范围是( D )A．(－∞，0) B．C．(1，＋∞) D．(0，1)【解析】令g(x)＝f(x)－m＝0，得f(x)＝m，根据分段函数f(x)的解析式，作出函数f(x)的图象，如图所示．由题可知函数y＝f(x)的图象和直线y＝m有3个交点，根据图象可得实数m的取值范围是(0，1).二、知识梳理1．函数零点及二分法函数零点概念函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，亦即函数y＝f(x)的图象与x轴交点的__横坐标__，即：方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．存在定理(1) 条件：①函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线；②__f(a)·f(b)__＜0.(2) 结论：函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得__f(c)＝0__，这个c也就是方程f(x)＝0的解．二分法方法对于在区间[a，b]上连续不断，且满足f(a)·f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在区间一分为二，使区间两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．步骤第一步确定区间[a，b]，验证__f(a)·f(b)＜0__，给定精确度ε第二步求区间[a，b]的中点c第三步计算f(c)：(1) 若f(c)＝0，则c就是函数的零点；(2) 若f(a)·f(c)＜0，则令b＝c(此时零点x0∈(a，c))；(3) 若f(c)·f(b)＜0，则令a＝c(此时零点x0∈(c，b))；(4) 判断是否达到精确度ε：即若|a－b|＜ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复(2)～(4).2．常用结论(1) 若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点．函数的零点不是一个“点”，而是方程f(x)＝0的实根．(2) 由函数y＝f(x)(图象是连续不断的)在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出f(a)·f(b)＜0，如图所示，所以f(a)·f(b)＜0是y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件．三、聚焦考点，精讲精练考向1 零点所在区间的判定例1 已知函数f(x)＝e－x－2x－5的零点位于区间(m，m＋1)(m∈Z)上，则m＝( A )A．－2 B．－1C．0 D．1【解析】因为函数f(x)＝e－x－2x－5是连续减函数，f(－2)＝e2－1＞0，f(－1)＝e－3＜0，所以f(－2)·f(－1)＜0，函数f(x)＝e－x－2x－5的零点位于区间(－2，－1)，即(m，m＋1)上，又m∈Z，所以m＝－2.经验总结确定函数零点所在区间的方法：(1) 解方程法：当对应方程f(x)＝0易解时，可先解方程，然后再看求得的根是否落在给定区间上．(2) 利用函数零点的存在定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)＜0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点．(3) 数形结合法：通过画函数图象，判断图象与x轴在给定区间上是否有交点．变式 若x0是方程＝x的根，则x0属于区间( C )A． B．C． D．【解析】构造函数f(x)＝－x，易知函数f(x)在R上单调递减，且函数f(x)的图象是一条连续不断的曲线，易知f(0)＝－0＝1＞0，f＝－＞0，f＝－＜0，f＝－＜0，f(1)＝－1＝－＜0，结合选项，因为f·f＜0，故函数f(x)的零点所在的区间为，即方程＝x的根x0属于区间.考向2 零点个数的判定例2 已知函数f(x)＝则函数g(x)＝f(x)－的零点个数为( C )A．0 B．1C．2 D．3【解析】当x≤0时，令g(x)＝－＝0，解得x＝1，舍去；当x＞0时，令g(x)＝|log2x|－＝0，解得x＝或x＝，满足x＞0，所以x＝或x＝.综上，函数g(x)＝f(x)－的零点个数为2.经验总结函数零点个数的判断方法：(1) 直接求零点；(2) 零点存在定理，应注意：满足条件的零点可能不唯一；不满足条件时，也可能有零点；(3) 作出两函数的图象，观察其交点即得零点个数．变式 设函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝ex＋x－3，则f(x)的零点个数为( C )A．1 B．2C．3 D．4【解析】因为函数f(x)是定义域为R的奇函数，所以f(0)＝0，即x＝0是函数f(x)的1个零点．当x＞0时，令f(x)＝ex＋x－3＝0，则ex＝－x＋3，分别画出函数y＝ex和y＝－x＋3的图象，如图所示，两函数图象有1个交点，所以函数 f(x) 在(0，＋∞)上有1个零点．根据对称性知，当x＜0时，函数f(x)也有1个零点．综上所述，f(x)的零点个数为3.考向3 根据零点情况确定参数例3 (1)已知函数f(x)＝3x－.若存在x0∈(－∞，－1)，使得f(x0)＝0，则实数a的取值范围是( B )A． B．C．(－∞，0) D．【解析】由f(x)＝3x－＝0，可得a＝3x－，令g(x)＝3x－，其中x∈(－∞，－1).由于存在x0∈(－∞，－1)，使得f(x0)＝0，则实数a的取值范围即为函数g(x)在(－∞，－1)上的值域．由于函数y＝3x，y＝－在(－∞，－1)上均单调递增，所以函数g(x)在(－∞，－1)上单调递增．当x∈(－∞，－1)时，g(x)＝3x－＜g(－1)＝3-1＋1＝，又g(x)＝3x－＞0，所以函数g(x)在(－∞，－1)上的值域为.因此实数a的取值范围是.(2) 已知函数f(x)＝g(x)＝x＋a，F(x)＝f(x)＋g(x).若F(x)恰有2个零点，则实数a的取值范围是( C )A．[－1，0) B．[0，＋∞)C．[－1，＋∞) D．[1，＋∞)【解析】F(x)＝f(x)＋g(x)恰有2个零点，则有f(x)＋x＋a＝0，即f(x)＝－x－a，故函数y＝f(x)的图象与直线y＝－x－a的图象有2个交点，画出函数图象如图所示，平移直线y＝－x，可以看出当－a≤1，即a≥－1时，直线y＝－x－a与函数y＝f(x)的图象有2个交点．经验总结已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围常用的方法：(1) 直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数取值范围；(2) 值域法：将问题转化成求函数的值域问题加以解决；(3) 数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中作出函数的图象，然后利用数形结合求解．变式1．已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－m有三个零点，则实数m的取值范围是( A )A．(1，2] B．(1，2)C．(0，1) D．[1，＋∞)【解析】因为函数g(x)＝f(x)－m有三个零点，所以函数f(x)的图象与直线y＝m有三个不同的交点，作出函数f(x)的图象如图所示．由图可知，1＜m≤2，即m的取值范围是(1，2].2．已知函数f(x)＝g(x)＝f(x)－x＋a，若g(x)存在3个零点，则实数a的取值范围为____．【解析】函数g(x)＝f(x)－x＋a存在3个零点，等价于函数f(x)的图象与y＝x－a的图象有3个交点．画出函数f(x)和y＝x－a的图象如图所示．根据图象易知，要使函数f(x)和y＝x－a的图象有3个交点，则－＜－a≤0，即0≤a＜.3．(多选)已知函数f(x)＝若f(x)＝a有四个不同的实数解x1，x2，x3，x4，且满足x1＜x2＜x3＜x4，则下列结论正确的是( ACD )A．0＜a＜1B．x1＋2x2∈C．x1＋x2＋x3＋x4∈D．2x1＋x2∈[2，3)【解析】在同一平面直角坐标系中作出函数y＝f(x)，y＝a的图象，如图所示．由图象知，若f(x)＝a有四个不同的实数解，则0＜a＜1，故A正确；因为|log2x1|＝|log2x2|，即 －log2x1＝log2x2，则＝x2，所以x1＋2x2＝＋2x2，1＜x2＜2，因为y＝＋2x2在(1，2)上单调递增，所以＋2x2∈，故B错误；因为x1＋x2＝＋x2，1＜x2＜2，y＝＋x2在(1，2)上单调递增，所以＋x2∈，而x3＋x4＝8，所以x1＋x2＋x3＋x4∈，故C正确；因为2x1＋x2＝＋x2，1＜x2＜2，y＝＋x2在(1，)上单调递减，在(，2)上单调递增，则＋x2∈[2，3)，故D正确．新角度 嵌套函数的零点问题例4 (1) 已知函数f(x)＝ 其中e为自然对数的底数，则函数g(x)＝3[f(x)]2－10f(x)＋3的零点个数为( A )A．4 B．5C．6 D．3【解析】当x≥0时，f(x)＝4x3－6x2＋1的导数为f′(x)＝12x2－12x，当0＜x＜1时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，当x＞1时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，可得f(x)在x＝1处取得最小值，最小值为－1，且f(0)＝1，作出函数f(x)的图象如图所示．g(x)＝3[f(x)]2－10f(x)＋3，可令g(t)＝0，t＝f(x)，可得3t2－10t＋3＝0，解得t＝3或t＝，当t＝，即f(x)＝时，g(x)有三个零点；当t＝3时，f(x)＝3有一个实根，即g(x)有一个零点．综上，g(x)共有四个零点．(2) 已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(f(x))－a有三个不同的零点，则实数a的取值范围是__[－1，＋∞)__．【解析】设t＝f(x)，令g(x)＝f(f(x))－a＝0，得a＝f(t).在同一平面直角坐标系内作出y＝a，y＝f(t)的图象(如图).当a≥－1时，y＝a与y＝f(t)的图象有两个交点，设交点的横坐标为t1，t2(不妨设t2＞t1)。