1 关于等式与不等式的基本证明 一、考试内容 （一）介值 定理 介值 定理： 若)(xf在],[ba上连续， 且( )( )f af b，对于( ),( )f af b之间的任一个数C，),(ba，使( )fC． （,a b）介值 定理推论 1（零点 定理）：若)(xf在],[ba上连续，且( )( )0f a f b，则),(ba，使( )0f． （,a b）介值 定理推论 2（零点 定理）：若)(xf在( , )a b内连续，且()()0f af b，则),(ba，使( )0f． （,a b）介值 定理推论 3（零点 定理）：若)(xf在(,)内连续，且lim( ) lim( )0 xxfxf x，则),(ba，使( )0f． （,a b）介值 定理推论 4：若)(xf在],[ba上连续，min( )fxm，max( )fxM，且Mm，对于,m M之间的任一个数C，则),(ba，使( )fC． （可能取到a或b）（二）代數基本定理： 任何一個非零的一元n 次实系数多項式，都至多有n 個实数零点． （三）积分 中值定理定积分 中值定理：若)(xf在],[ba上连续，则( , )a b，使( )( )()baf x dxfba．定积分 中值定理推论1：设)(),(xgxf在],[ba上连续，且( )g x在],[ba上不变号，则( , )a b，使babadxxgfdxxgxf)()()()(．对于定积分 中值定理及其推论1，可能取到a或b．（四）微分 中值定理 罗尔 中值定理：若)(xf在],[ba上连续，在),(ba内可导，且( )( )f af b，则),(ba，使( )0f．罗尔 中值定理的推广形式1：若)(xf在],[ba上连续， 在),(ba内可导， 且)(xf有2n个不同的零点，则'( )fx在),(ba内至少存在1n个不同的零点．罗尔 中值定理的推广形式2：若)(xf在),(ba内可导，且()()f aAf b，则),(ba，使( )0f．罗尔 中值定理的推广形式3：若)(xf在[ ,)a内连续，在( ,)a内可导，且lim( )( ) xf xf a，则( ,)a，使( )0f．罗尔 中值定理的推广形式4：若)(xf在],[ba上连续，在),(ba内可导，且'( )0fx，则)(xf在),(ba内为单调函数．拉格朗日 中值定理：若)(xf在],[ba上连续，在),(ba内可导，则),(ba，使( )( )( )()f bf afba．（五）不等式定理凹凸性不等式定理：若( )( )0,fx则( )( )( )()22f xfyxyf．积分 不等式定理：若( )( )f xg x，则( )( )bbaaf x dxg x dx（ab） ，但反之不然．积分 估值定理：若( )f x在[ , ]a b（ab）上连续，则minmax( )()( )( )()bafx baf x dxfx ba．积分绝对值 不等式定理：( )( )bbaaf x dxf x dx（ab） ．2 二、典型例题 题型一恒等式证明 主要方法：求导法、换元法、反证法例 1、 求证： （1）()0( )()( )( ),fxa TTafxfx Tf x dxf x dx可积 （ 2）( )00( )()( )( )fxnTTfxfx Tf x dxnf x dx可积 ．提示： （1）令 0( )( )( ),a TTaF af x dxf x dxaR用求导法，这比用换元法方便（2）令 00( )( )( )nTT G nf x dxnf x dx，用求导法错误，因nZ,用换元法方便111(1)0000 000( )( )()( )( )nnnx kTunTkTTTTkT kkkf x dxf x dxf kTu duf x dxnf x dx．例 2、设)(xf在],[ba上连续，且0)(xf，若0)(badxxf，则在],[ba上，0)(xf．证明：用反证法，假设0)(),,(00xfbax，则),(),(00baxx)0(0)(xf，则baxxxxfdxxfdxxf),(,0)(2)()(0000积分中值定理 . 这与0)(badxxf矛盾，故原式得证．题型二方程根的存在性与中值问题 主要方法：介值定理、微积分中值定理、反证法（1）)(xf在],[ba或),(ba上连续， 则( )f x直接对使用介值定理利用原函数构造辅助函数，用中值定理解决例 1、设)(xf在],[ba上连续，且0,,qpbdca，求证：方程)()()()(dqfcpfxfqp在),(da内至少有一根．提示：取)()()()()(dqfcpfxfqpxF在],[dc上用零点Th．例 2、 设)(xf在),(上连续，且0)(limxxfx， 求证：),(使0)(f．证明：设xxfxF)()(，则)(xF在),(上连续，])(1 [lim)(limxxfxxF xx，01x，使0)(1xF同理，由,)(limxf x02x，使0)(2xF故，)(xF在],[21xx上满足零点定理，因而，原题得证．例 3、)(xf在],[ba上连续，0],,[iitbax),,2, 1(ni，且11niit，求证：],[ba使niiixftf1)()(． （此为1{()}n if x的加权平均值）提示：( )mf xM， 有niniiniiiiMMtxftmtm111)(．事实上，对于定积分中值定理的证明同上，111( )bbbaaammdxf x dxMdxMbababa则( , )a b，使1( )( )baff x dxba． （此为( )fx在],[ba上的平均值）3 例 4、设ka是满足012) 1(1nkkk ka的实数，求证：nkkxka10)12cos(在)2,0(内至少有一实根．提示：令1'( )cos(21)nk kFxakx，构造nkkkxkaxF 112)12sin()(在]2,0[上用罗尔．例 5、设)(xfy为]1 ,0[上的任一连续函数，且1010)()(dxxxfdxxf求证：0)1)((xxf在)1 , 0(内至少有一根．提示：令'( )( )(1)Fxf xx，构造1 )1)(()(xdtttfxF在] 1 ,0[上用罗尔定理．例 6、设)(xfy为]0, 1[上的任一连续函数，记)(xf在]0, 1[上的平均值为A，求证：)0, 1(，使Afdttfe] )()([1．提示：令 1'( )[( )( )]xxFxef t dtf xA，构造1( )( )xxF xef t dtAx，用罗尔定理．（2）)(xf在],[ba或),(ba上可导， 则 数，用中值定理解决利用原函数构造辅助函使用中值定理直接对)(xf例 1、设)(xf在1[,2]2连续，在1(,2)2上可导，且)2()(2121fdxxf，试证：)2,0(，使'( )0f．提示：由积分中值定理知，11 21(2)2( )( ),(,1)2ff x dxf，用罗尔定理．例 2、设)(),(xgxf在],[ba连续，在],[ba上可导，且对于),(bax有0)(xg试证：),(ba，使 )()()()()()(gbgaffgf．提示：令'( )'( ) ( )( )'( )'( )( )( )'( )Fxfx g xf x gxfx g bf a gx，构造函数( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )F xf x g xfx g bf a g x在],[ba上用罗尔Th．例 3、设)(xf在],[ba上连续，在),(ba上可导求证：),(ba，使11[( )( )]( )( )nn nbanffAba f af b．提示： （1）令1'( )( )( )nnFxnxf xx fx，构造)()(xfxxFn在],[ba上使用 Lagrange （2）令1'( )( )( )nnFxnxf xx fxA，构造( )( )nF xx f xAx在],[ba上使用罗尔．例 5、设)(),(xgxf于10,连续，10,内可导，对),(bax恒有)()()()(xgxfxgxf，求证：若)(),(xgxf在),(ba内有两个零点，则介于其之间，)(xg至少有一个零点．提示：用反证法，假设0)()(21xfxf，且0)(xg，],[21xxx构造 )()()(xgxfxF，则0)(F，与条件矛盾．例 4、设)(xf在ba,上一阶可导，( )0f a，'( )0fa，证明： （1）存在),(ba，使0)(f； （ 2）存在),(ba，使'( )( )ff．提示： （1）由保序性，1,xa a，使得10fx，由零点定理知（1） ．（2）注意到（ 1）及题设条件，知函数fx在,a b上存在两个零点,a，于是xF xefx在,a b上有两个零点，由Rolle 定理，易证（ 2） ．4 题型三非积分不等式 主要方法(1) 构造函数)(xf，确定其单调性，求出端点的函数值或极限值，作比较即可. (2) 利用函数的凹凸性. (3) 利用函数的极值和最值----构造函数，比较值为极值或最值. (4) 利用中值法证明不等式. 例 1、设)1 ,0(x，求证： (i) 22)1 (ln)1(xxx； (ii) 211)1ln(112ln1xx．提示： (i)令( )ln(1) 1xf xx x或22( )(1)ln (1)g xxxx(ii) 令11( )ln(1)h xxx，则22( )'( )0(1)ln (1)g xh xxxx，有(1)( )(0 )hh xh．例 2、比较ee 与的大小．提示：xe，比较xeex与的大小，取对数构造( )lnf xxex，易证ee．例 3、 设)(),(xgxf二阶可导，当0x时，)()(xgxf， 且)0()0(gf，)0()0(gf，求证：)()(0xgxfx时，．提示：令)()()(xgxfxF，需两次求导．例 4、当0,0 yx时，求证： 2ln)(lnlnyxyxyyxx．提示：令) 2(2)()(0)(,ln)(yxfyfxftftttf．例 5、0,0,0 yx，求证：11 )()(yxyx．提示：其等价于11 ln[1() )]ln(1( ) )yy xx，令1( )ln(1)tf xat，0a．若1a，原命题成立，现证明( )f t在0,1ta时单调递减22ln(1)ln(1)( )'( )(1)(1)ttttttaaaag tfttata，'( )ln [lnln(1)]tttg taaaa1a时，'( )0g t，则( )(0)0g tg；01a时，'( )0g t，则( )lim()0 tg tg t．例 6、设1, 10px，求证：1)1( 21 1pp pxx. 提示：令ppxxtf)1()(，求其在] 1 ,0[的最值．例 7、设)(xf在( 1,1)内有0)(xf，且2 sincos)(lim20xxxfx，求证：( )1f x．证明：易知, 1)0(f2200( )cossincos 1(0)limlim0sinxxf xxxfxxx 令1)()(xfxF，求其最大值，因0)()(,0)0(, 0)0(xfxFFF，则易证．例 8、若xy0及1p，求证：)()(11yxpxyxyxpypppp．提示：令( )pf tt，在],[yx上对)(tf应用拉氏定理．例 9、 在],0[a上，( )fxM， 且)(xf在),0(a内取最大值， 求证：Maaff)()0(．证明：设,0)],([max)( 0acxfcf ax则0)(cf在],[],,0[acc对)(xf分别应用拉氏定理，则易证．5 题型四积分不等式 主要方法 （1）应用定积分的不等式性质(如比较定理，估值定理及函数绝对值积分不等式 （2）函数的单调性（构造辅助函数）积分中值定理（3）微分中值定理（被积函数具有可导条件）常伴于其中例 1、设0p，求证：1 1110pxp.提示：1 111ppxx，用积分不等式性质.例 2、求证：220sin0x dx.提示：22222。