单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,3.4立体几何中的向量方法,空间“角”问题,3.4立体几何中的向量方法空间“角”问题,1,空间的角：,空间的角常见的有：,线线角、线面角、面面角空间的角：空间的角常见的有：线线角、线面角、面面角2,异面直线所成角的范围：,思考：,结论：,一、线线角：,异面直线所成角的范围：思考：结论：一、线线角：,3,x,z,y,向量法,质疑：,空间向量的夹角与异面直线的夹角有什么 区别？,A,D,C,B,D,1,C,1,B,1,A,1,E,1,F,1,方法小结,几何法,已知F,1,与E,1,为四等分点，,求异面直线DF,1,与BE,1,的夹角余弦值？,xzy 向量法质疑：空间向量的夹角与异面直线的夹角有什么,4,例1、如图，正三棱柱ABCA,1,B,1,C,1,的底面边长为,a,侧棱长为,求AC,1,和CB,1,的夹角，,A,B,C,A,1,B,1,C,1,分析：,求异面直线的夹角,解法步骤：1、写出,异面直线,的方向,向量的坐标2、利用空间两个向量的,夹角公式求出夹角AC,1,和CB,1,的夹角为：,x,y,Z,D,例1、如图，正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为a,侧棱,5,所以 与 所成角的余弦值为,解：如图所示，建立空间直角坐标,系 ,如图所示，设 则：,所以：,练习：,所以 与 所成角的余弦值为解：如图所示，建立空间直角,6,斜线与平面所成的角,平面的一条斜线,和它在这个平面内的射影,所成的,锐角,A,O,B,二、线面角,斜线与平面所成的角平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的,7,当直线与平面垂直时，直,线与平面所成的角是,90,当直线在平面内或,与平面平行时，,直线与平面所成的角是,0,当直线与平面垂直时，直当直线在平面内或,8,斜线与平面所成的角,（,0,90,）,直线与平面所成的角,0,90,异面直线所成的角,（,0,90,斜线与平面所成的角（0,90）直线与平面所成,9,最小角原理,A,O,B,C,斜线与平面所成的角，是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中,最小的角,。
最小角原理AOBC斜线与平面所成的角，是这条斜线和这个平面内,10,例2、如图，在正方体ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,中，,求A,1,B与平面A,1,B,1,CD所成的角,A,B,C,D,A,1,B,1,C,1,D,1,O,例2、如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1 中，ABC,11,n,A,B,线面角或等于直线的方向向量与平面的法向量所成角的补角的余角.,二、线面角向量法：,范围：,线面角等于直线的方向向量与平面的法向量所成角 的余角.,nAB线面角或等于直线的方向向量与平面的法向量所成角的补角的,12,例2、如图，正三棱柱ABCA,1,B,1,C,1,的底面边长为,a,侧棱长为,1）求AC,1,和CB,1,的夹角，,2）求AC,1,和面ABB,1,A,1,所成角的正弦值,A,B,C,A,1,B,1,C,1,2）,直线与平面所成的角,步骤：1、求出,平面的法向量,2、求出,直线的方向向量,3、求以上两个向量的夹角，,（,锐角,）其余角为所求角,设平面ABB,1,B的法向量：,所以AC,1,和面ABB,1,A,1,所成角的正弦值为,例2、如图，正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为a,侧棱,13,练习：,的棱长为,1,.,正方体,x,y,z,解：设正方体棱长为1，,正弦值,练习：的棱长为1.正方体xyz解：设正方体棱长为1，正弦值,14,二面角,二面角,15,O,B,A,A,B,从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做,二面角,。
这条直线叫做,二面角的棱,这两个半平面叫做,二面角的面,3,定义:,OBAAB 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形,16,A,B,二面角,AB,l,二面角,l,二面角,CAB D,A,B,C,D,5,O,B,A,AOB,表示方法：,AB二面角AB l二面角 l 二面,17,l,O,O,1,A,B,A,1,B,1,A O B,A,1,O,1,B,1,？,以二面角的,棱,上任意一点为端点，在,两个面内,分别作,垂直,于棱的两条射线，这两条射线所成的,角,叫做,二面角的平面角平面角是,直角,的二面角叫做,直二面角,9,二面角的大小用它的平面角来度量,度量：,lOO1ABA1B1A O BA1O1B1？,18,二面角的平面角必须满足,：,3）,角的边都要垂直于二面角的棱,1）,角的顶点在棱上,2）,角的两边分别在两个面内,以二面角的,棱上任意一点,为端点，,在两个面内,分别作,垂直于棱,的两条射线，这两条射线所成的,角,叫做,二面角的平面角10,l,O,A,B,二面角的平面角必须满足：3）角的边都要垂直于二面角的棱1）角,19,二面角的计算几何法：,1、,找到或作出二面角的平面角,2、,证明,1,中的角就是所求的角,3、,计算出此角的大小,一“,作,”二“,证,”三“,计算,”,16,二面角的计算几何法：1、找到或作出二面角的平面角2、证明 1,20,.如图，正方体,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,中，二面角,C,1,-BD-C,的正切值是_.,练习,.如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，二面角C1-B,21,l,l,三、面面角：,二面角的范围,：,向量法,注意,法向量的方向：一进一出，二面角等于法向量夹角；,同进同出，二面角等于法向量夹角的补角,ll三、面面角：二面角的范围：向量法注意法向量的方向：一进,22,证明：以 为正交基底，建立空间直角坐标系如图。
则可得,例4.已知正方体 的边长为2，,O,为,AC,和,BD,的交点，,M,为 的中点,（1）求证：直线 面,MAC;,（2）求二面角 的余弦值.,B,1,A,1,C,1,D,1,D,C,B,A,O,M,x,y,z,证明：以 为正交基,23,B,1,A,1,C,1,D,1,D,C,B,A,O,M,x,y,z,由图可知二面角为锐角,B1A1 C1D1DCBAOMxyz,24,设平面,设平面,25,小结：,1.异面直线所成角：,2.直线与平面所成角：,小结：1.异面直线所成角：2.直线与平面所成角：,26,l,D,C,B,A,3.二面角：,l,l,一进一出，二面角等于法向量的夹角；,同进同出，二面角等于法向量夹角的补角lDCBA3.二面角：ll一进一出，二面角等于法向量的夹角；,27,练 习：,如图，已知：直角梯形OABC中，OABC，AOC=90，SO面OABC，且,OS=OC=BC=1，OA=2求：,异面直线SA和OB所成的角的余弦值，,OS与面SAB所成角的正弦值,，,二面角BASO的余弦值则A（2，0，0）；,于是我们有,O,A,B,C,S,解：如图建立直角坐标系，,x,y,z,=（2，0，-1）；,=（-1，1，0）；,=（1，1，0）；,=（0，0，1）；,B（1，1，0）；,S（0，0，1），,C（0，1，0）；O（0，0，0）；,练 习：如图，已知：直角梯形OABC中，OABC，AO,28,令x=1，则y=1，z=2；,从而,（2）设面SAB的法向量,显然有,O,A,B,C,S,x,y,z,令x=1，则y=1，z=2；从而（2）设面SAB的法向量显然,29,.由知面S,AB,的法向量,=,（,1,，,1,，,2,）,又OC面AOS，,是面AOS的法向量，,令,则有,由于所求二面角的大小等于,O,A,B,C,S,x,y,z,二面角BASO的余弦值为,6,6,所以直线SA与OB所成角余弦值为,5,10,.由知面SAB的法向量 =（1，1，2）又OC,30,2.如图，60的二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直AB，已知AB4，AC6，BD8，求CD的长.,B,A,C,D,2.如图，60的二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分,31,解：如图，建立空间直角坐标系，,x,y,z,由例,2,知面,A,1,B,1,C,的法向量为,=,（,0,，,4,，,3,）,下面我们来求面,A,1,C,1,C,的法向量,设,=,（,x,，,y,，,z,），,由于 =（3，3，0）,令,y=,1,，则,x=1,，,=,（,1,，,1,，,0,）,又所求二面角为,的补角，,故二面角,B,1,A,1,C,C,1,的余弦值为,B,1,B,A,1,D,1,C,1,C,D,E,A,练习：在例2中，长方体AC,1,的棱AB=BC=3，BB,1,=4，,点E是CC,1,的中点。
求:二面角,B,1,A,1,C,C,1,的大小0,，,0,，,4,）,解：如图，建立空间直角坐标系，xyz 由例2知面A1B1C,32,A,B,C,D,E,M,N,(,本小题满分,14,分,),如图所示的几何体,ABCDE,中，,DA,平面,EAB，CB/DA，EA=DA=AB=2CB，EAAB，M,是,EC,的中点，,(),求证：,DMEB；,(),求二面角,M-BD-A,的余弦值.,ABCDEMN(本小题满分14分),33,E,D,C,B,A,M,z,y,x,解,:分别以直线,AE，AB，AD,为,x,轴、,y,轴,、z,轴，建立如图所示的空间直角坐标系,A-xyz，,设,CB=a,，则,A(0，0，0)，E(2a，0，0)，B(0，2a，0)，C(0，2a，a)，D(0，0，2a)，,所以,M(a，a,，,),4分,DMEB，,即,DMEB,7分,(),解,:,设平面,MBD,的法向量为,n=(x，y，z),DB=(0，2a，,2a,),由,nDB，nDM,得,DM,EB=a(2a)+a,2a+0=0,(),证,:,DM=(a，a，1.5a)，,EB=(2a，2a，0)，,5分,EDCBAMzyx 解:分别以直线AE，AB，AD为,34,取,z=2,得平面,MBD,的一非零法向量为,n=(1，2，2)，,又平面,BDA,的法向量为,n,1,=(1，0，0)，,cos,即二面角,M-BD-A,的余,弦值为,14分,11分,E,D,C,B,A,M,z,y,x,10分,此题用“坐标法”解简单易行！,取z=2得平面MBD的一非零法向量为n=(1，2，2)，又,35,高中数学人教版选修2-1教学ppt：3,36,例、如图，正三棱柱ABCA,1,B,1,C,1,的底面边长为,a,侧棱长为,1）求AC,1,和CB,1,的夹角，,2）求AC,1,和面ABB,1,B所成的夹角,3）求二面角BAB,1,C,1,的大小,4）M是A,1,B,1,的中点，求点B,1,到面C,1,MB的距离,5）求AM与B,1,C,1,的距离,A,B,C,A,1,B,1,C,1,分析：1）,求异面直线的夹角,解法步骤：1、写出,异面直线,的方向,向量的坐标。
2、利用空间两个向量的,夹角公式求出夹角AC,1,和CB,1,的夹角为：,例、如图，正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为a,侧棱长,37,例、如图，正三棱柱ABCA,1,B,1,C,1,的底面边长为,a,侧棱长为,1）求AC,1,和CB,1,的夹角，,2）求AC,1,和面ABB,1,B所成的夹角,3）求二面角BAB,1,C,1,的大小,4）M是A,1,B,1,的中点，求点B,1,到面C,1,MB的距离,5）求AM与B,1,C,1,的距离,A,B,C,A,1,B,1,C,1,2）,直线与平面所成的角,解法1步骤：1、求出,直线的方向向量,的,坐标和直线在平面内的,射影的方向向量,坐标2、求以上两个向量的夹角,M,例、如图，正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为a,侧棱长,38,例、如图，正三棱柱ABCA,1,B,1,C,1,的底面边长为,a,侧棱长为,1）求AC,1,和CB,1,的夹角，,2）求AC,1,和面ABB,1,B所成的夹角,3）求二面角BAB,1,C,1,的大小,4）M是A,1,B,1,的中点，求点B,1,到面C,1,MB的距离,5）求AM与B,1,C。