标准实用积化和差与和差化积公式、和角、倍半角公式复习课、基本公式复习1、两角和与差公式及规律sin()sincos cos sincos()coscos msin sintan()tantan1 mta n tancos sin2 ,sin sin2 . 1 sin (s in cos-)2.2cos 2cos 2 2cos 2cos2 sin22cos2 11 2sin21 cos2cos2 .22si n222cos —2.2sin —21cos12cos12cos1costan 22 ta n1 tan22文案大全3、积化和差与和差化积公式sin coscos sin[si n(尹in()sin( )].)sin( )].标准实用cos cos1[cos(2)cos()]•sin sin1-[cos(2)cos()]coscos2cos -cos 22sinsin2cos —-sin 22coscos2si n —— sin —22生动的口诀：（和差化积） 口诀正加正，正在前，余加余，余并肩 正减正，余在前，余减余，负正弦 反之亦然sinsin2sin —-cos——22和差化积公式是积化和差公式的逆用形式，要注意的是：① 其中前两个公式可合并为一个：sin阡sin ©=2sin ' cos ?② 积化和差公式的推导用了 “解方程组”的思想，和差化积公式的推导用了“换元”思想。
③ 只有系数绝对值相同的同名函数的和与差，才能直接运用公式化成积的形式，如果一个正弦与一个余弦的和或差，则要先用诱导公式化成同名函数后再运 用公式化积④ 合一变形也是一种和差化积⑤ 三角函数的和差化积，可以理解为代数中的因式分解，因此，因式分解在 代数中起什么作用，和差化积公式在三角中就起什么作用3、积化和差与积差化积是一种孪生兄弟， 不可分离，在解题过程中，要切实注意两者的交替使用如在一般情况下，遇有正、余弦函数的平方，要先考虑降 幕公式，然后应用和差化积、积化和差公式交替使用进行化简或计算和积互化 公式其基本功能在于：当和、积互化时，角度要重新组合，因此有可能产生特殊 角；结构将变化，因此有可能产生互消项或互约因式，从而利于化简求值正因 为如此“和、积互化”是三角恒等变形的一种基本手段sin a+sin B=2sin[( a+ 3)/2] cos[( a- B)/2]的证明过程因为sin( a+ B)=sin a cos 3+cos asin 3，sin( a- 3)=sin acos 3-cos asin 3,将以上两式的左右两边分别相加，得sin( a+ 3)+sin( a- 3)=2s in a cos 3，设 a+ 3= B，a- 3= ©那么a=( 9+ ©)/2, 3= (9- ©)/2把a，3的值代入，即得sin 9+ sin ©=2 sin[ ( 9+ ©)/2 ]cos[( 9- ©)/2]cos( a- 3)-cos( a+ 3)=[(cos acos 3+s in asin 3)-(cos acos 3-sin asin 3)]=2sin asin 3sin asi n p=-1/2[-2s in as in B]=-1/2[(cos acos B-sin asin B)-(cos acos B+sin asin ®]=-1/2[C0S( a+ B)-cos( a- B)]其他的3个式子也是相同的证明方法。
4、万能公式sin2ta n —21 tan2 —2cos1 tan2 —-,tan1 tan2 —22ta n—21 tan2 —2sin2sin cos—2 22tani12 sin2cos -1tan2 -2222 cos-・2 sin-1tan2-cos2221・221, 2sin—cos—tan—222证：sincostansin2si n2cos—22ta n —2cos2 cos —・2 sin —1 tan2-222注意:1、上述二个公式统称为万能公式 2、这个公式的本质是用半角的正切表示正弦、余弦、正切，即：所以利用它对三角式进行化简、求值、证明，可以使解题过程简洁3、上述公式左右两边定义域发生了变化，由左向右定义域缩小、应注意的问题1、 两角差的余弦公式是本章中其余公式的基础，应记准该公式的形式2、 倍角公式 cos2 2cos2 1 1 2si n2有升、降幕的功能，如果升幕,则角减半，如果降幕，则角加倍，根据条件灵活选用 •3、公式的“三用”（顺用、逆用、变用）是熟练进行三角变形的前提 •3、整体原则——从角度关系、函数名称差异、式子结构特征分析入手，寻求 三角变形的思维指向；4、角度配凑方法，其中,是任意角。
)()22 2 22 ( )()()( )2( 2 2 ) 2( 22 ) L三、例题讲解10，求a+ B的值102 3 解析：由已知条件有cos5 10例1已知a，B均为锐角,sinsin文案大全又 cos( a+ ®=cos acos 俟sin asin B5® IO10V5 % 10~5 而、2 °亍＞ 0，所以sin(3 x)cos(x ) tan(x例2已知f (x)cos(n x))cotGx)-,(nZ)52(1) 求 口丁)；3 4(2) 若 cos(-)-,求 f ()的值.2 5解当n 2k(n Z)时，sin xcosxta nxcotxf (x) sinx;cosx2k 1(kZ)时,f(x)sinxcosxtanx( tanx)sin xtan2 x.故当Q cos(sincosx45n为偶数时,f(52sin52f()sin34;J5.4sin -3当n为奇数时,打52、.52」2 52.42 43 -f()sinta nsintan333332・ ， 22 sin9f()sin tansin2—cos16标准实用文案大全例3已知sin()3sin()1-(1)求tancot的值；(2)当(2,2)，解(1)sincoscos sin[方法1]sincoscos sinsincos13cos30从而，tancotsincos 13cossin 7(-,-)时，求sin2的值•2315，7sin30cosQ sin()10，且si n()3sin()si n( )coscossi n( )sin()coscostan1tanIxtan1xtanx 110,tancotx 13(2)由已知可得sin2sin[()()]sin( )cos()cos(4-6 515 .[方法 2]设 x tan cotcossintan tantan tan1J113 x7)sin( )1)?求tan喻的值.1例 4 已知 cos( ) ,cos(解1 cos cos sin sin ,21 cos cos sin sin ,35 . . 1cos cos ,sin sin12 12, , sin sin 1tan tancos cos 5例5已知sincos1,cos2sin彳求sin(解将两条件式分别平方，得)的值.2 2sin 2sin cos cos2cos2cos sinsin21419将上面两式相加，得2 2s in(si n(13365972C.sin 7° cos15°sin 8° r例6 o o o的值等于cos7 sin15 sin 8A. 2 3 B. 2 3原式sin (15 8°) cosl5s in8° cos(l5 8°) sin 15° s in 8°sin 15° cos8° cosl5 s in8° cosl5 s in8° cosl5 cos8° sin 15° sin8° sin 15°sin8°ta n15° tan (45° 3°°)2 3.ta n45° tan 30°1 tan 4 5° ta n30°故选B.1例7已知cos( a —沪-,in 21-,、 都是锐角，求cos( a+ B)的值3解析：由已知条件有1°v2 v —,又sin2 -,2 3则 cos2 .1 sin2 2 . 1 (；)22 2o31 1因为 0 v sin2 a= - v -3 2,所以° V 2 aV—，所以° VaV— o ①- 12又因为°vBv，所以2v-BV°o ②由①、②得o121又因为cos(a- B)=-，所以-v所以 sin( ) 、1 cos2、-2 1 x - 22、2 、36( )从而 cos( a+ B)=cos[2 a-( a- B)]=cos2 acos( a-B)+s in2asin( a- B)评析：本例通过°。