数三角形的方法之我见杨 林小学 汪 进华数三角形常常困扰很多学生，为了让学生更好地数三角形，本人通过不断的努力学习和探索，最近，终于发现了一种数三角形的规律，能够很方便地把三角形的个数数出来现在本人将探索的结果展现出来参考，如有不足之处希望行家多加指导本人是以人民出版社小学四年级数学中，一个数三角形的题型为说法，存在的规律如下：1 （图 一）只有 一个三角形，我把它看成 1 的平方 算式 ： 1²=1（ 图一）1 （ 图 二） 共有五个三角形其中有四个小三角形是 2 的平方，加上（图 一）正好是五个 算式 ： 1²+2²=53（ 图二） 1 （图 三）共有十三个三角形其中有九个小三角形是 3 的平方，减掉一（有一个倒三角形不完整），再加上（ 图 二 ）正好是十三个 算式 ： 1²+2²+（ 3²-1） =1335 （图三）1（图 四）共有二十七个三角形其中有十六个小三角形是 4 的平方，3 减掉二（有两个倒三角形不完整），再加上（ 图 三）正好是二十七个 算式 ： 1²+2²+（ 3²-1） +（ 4²-2） =2757（图四） 131 5 （图 五） 共有四十八个三角形。
其中有二十五个小三角形是 5 的平方，减掉四（有四个倒三角形不完整），再加上（ 图 四）正好是四十八个7 算式 ： 1²+2²+（ 3²-1） +（ 4²-2） +（ 5²-4） =485 7 9（图五） 一 1 （ 图 六） 共有七十八个三角形其中有三十六个小三角形是 6 的 3 平方，减掉六（有六个倒三角形不完整），再加上（ 图 五）正好5 是七十八个7 算式 ： 1²+2²+（ 3²-1） +（ 4²-2） +（ 5²-4） +（ 6²-6） =789 11（ 图六）从上面的规律分析可以看出， （图一）和（图二）没有出现不完整的倒三角形，所以平方不须要减任何数，也就是图形的一、二层不须要减任何数图形的三层和四层分别出现了一个和两个不完整的倒三角形，所以平方就要减一，减二，不完整倒三角形都出现在底下一层在图形的五层、六层分别发现有四个、六个不完整的倒三角形，所以平方就要减4，减 6，这时不完整倒三角形出现了两层。
由此可以推出：七层有九个不完整的倒三角形，八层有十二个 ，不完整倒三角形有可能会出现三层…由此可以归纳出它的规律，一，二层分别为：0，0（个） ；三，四层分别为：1，2（个） ；五，六层分别为 4，6（个） ；七，八层分别为：9，12（个） ；九，十层分别为：16，20（个）…不完整的倒三角形由此可以写成:0*0 ，1*0（个） ；1*1,2*1 （个）;2*2,3*2 （个）;3*3,4*3（个） ；4*4，5*4（个）…不完整的倒三角形所以不完整的倒三角形分为两种形式： 单数层 [n(n+1)(4n-1)/6]和双数层 [n(n+1)（ 4n+5n） /6]从以上的规律可以总结出数三角形的方法算式为：（ 1²+2²+3²+4²+5²+6²+7²+8²+…+m²） -[1²+2*1+2²+3*2+3²+4*3+4²+5*4+…+n²+(n+1)*n]( m≥1, n≥0) ，由此推出： 1， 3， 5， 7， 9…单数层公式（ 1）为： [m(m+1)(2m+1)/6]-[n(n+1)(4n-1)/6]， ( m≥1, n≥0);2,4,6,8… 双数层公式（ 2）为： [m(m+1)(2m+1)/6]-[n(n+1)（ 4n+5n） /6], ( m≥1, n≥0) 。
[当 m=1 时， n=0 用公式（ 1） ， m=2 时， n=0 用公式（ 2） （没有不完整倒三角形） ,当 m=3 时， n=1 用公式（ 1） ，当 m=4 时， n=1 用公式（ 2）（不完整倒三角形都出现在底下一层 ）…]135 7911 13 （图七）。