关于焦点三角形与焦点弦〔1〕椭圆上一点与两个焦点所构成的称为焦点三角形设，则有：P①，当〔即为短轴顶点〕时，最大，此时②的面积当〔即为短轴顶点〕时，最大，且③ AB〔2〕经过焦点或的椭圆的弦，称为焦点弦设，的中点为，则弦长〔左焦点取“+〞，右焦点取“-〞〕当轴时，最短，且关于直线与椭圆的位置关系问题常用处理方法1 联立方程法：联立直线和椭圆方程，消去，得到关于的一元二次方程，设交点坐标为，则有，以及，还可进一步求出在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法2 点差法：设交点坐标为代入椭圆方程，并将两式相减，可得，在涉及斜率、中点、围等问题时，常用此法典例剖析1 求椭圆的标准方程【例2】设椭圆的左焦点为，上顶点为，过点作的垂线分别交椭圆于，交轴于，且〔1〕求椭圆的离心率〔2〕假设过三点的圆恰好与直线相切，求椭圆的方程解】〔1〕由可得： 由可得：，将点坐标代入椭圆方程可得： 即 〔2〕由〔1〕得：，圆心为，半径于是有：(圆心到直线距离)， 所以 故椭圆方程为：【例4】椭圆的中心在原点，短轴长为，右准线交轴于点，右焦点为，且，过点的直线交椭圆于两点〔1〕求椭圆的方程〔2〕假设，求直线的方程〔4〕求的最大面积【解】〔1〕 椭圆方程为：〔2〕设直线的方程为：，且设联立消去，得：则 从而求得：由得 ： ，求得 所以的方程为：〔4〕由〔1〕得：令 ， 则 当且仅当，即时，取“〞所以的最大面积为2 椭圆的性质【例6】椭圆的两个焦点分别为，，在椭圆上存在一点，使得〔1〕求椭圆离心率的取值围〔2〕当离心率取最小值时，的面积为，设是椭圆上两动点，假设线段的垂直平分线恒过定点。
①求椭圆的方程；②求直线的斜率的取值围解】〔1〕设椭圆短轴的端点为B,由及椭圆的性质得： 所以，从而 ，即，又， 所以，得：，所以 〔2〕①当取得最小值时，在短轴顶点，所以， 又，故求得： 所以椭圆方程为：设，设直线的方程为，的垂直平分线方程为：联立消去得：则有即 ①又有: 从而所以的中点为 又在的垂直平分线上，所以， 即 ②将②代人①求得：求取值围问题通常要建立不等式，关于不等式的来源有以下几种情况：〔1〕不等式；〔2〕椭圆上的点的横坐标满足；〔3〕；〔4〕椭圆部的点满足；【例7】椭圆的中心在原点，焦点在轴上，斜率为的直线过椭圆的右焦点与椭圆交于两点，与向量共线〔1〕求椭圆的离心率〔2〕设为椭圆上任一点，假设，求证：为定值【解】〔1〕设椭圆方程为，设，， 由：直线AB的方程为：，代入椭圆方程，得：， 由韦达定理得：，易知： 因为与向量共线，所以 ， 而，所以， 即 ，于是有： 又 ，所以，故有：〔2〕由〔1〕得：，，所以椭圆方程为：，即，直线AB的方程为：，于是有：，，从而，设，由：，将M的坐标代入椭圆方程得：， 即， 于是有：。
故为定值例8】为椭圆上一动点，弦分别过焦点，当轴时，恰有. 〔1〕椭圆的离心率〔2〕设，，判断是否为定值.【解】〔1〕当轴时，，从而 依定义有，所以 而，所以 ，即 〔2〕由〔1〕可知椭圆方程为：， 设①假设的斜率都存在，则直线的方程为 代入椭圆方程，并整理得：由韦达定理有由：；同理可得：所以②假设有一个斜率不存在，不妨设轴则 所以 综上所述为定值3. 最值问题【例11】椭圆，是垂直于轴的弦，直线交轴于点，为椭圆的右焦点，直线与交于点〔1〕证明：点在椭圆上〔2〕求面积的最大值【解】〔1〕由设，则且，与的方程分别为：联立两直线的方程求得： 即 因为， 所以点在椭圆上〔2〕设直线的方程为〔过焦点〕且联立则由：所以 所以令，函数递增， 所以当时，取得最小值，故当时，取得最大值【例14】椭圆的左，右焦点分别为，过的直线与椭圆交于两点〔1〕求的面积的最大值〔2〕当的面积最大值时，求的值【解】〔1〕由得：设直线的方程为，且设联立则有：由可得：令易证函数在上递增〔**〕，所以当时，取得最小值，故当时，取得最小值， 故的最大值为〔2〕当最大值时，，从而，而所以4 直线与椭圆的位置关系【例16】是椭圆的左，右焦点，直线与椭圆相切。
〔1〕分别过作切线的垂线，垂足分别为，求的值〔3〕设直线与轴，轴分别交于两点，求的最小值解】〔1〕设直线的方程为，由: ， 所以 ； 于是 联立，消去y，的： 因为直线与椭圆相切，所以 所以 为定值 〔2〕易知：， 所以 当且仅当，即时取等号 所以 例17】椭圆，过点作直线与椭圆顺次交于两点〔在之间〕〔1〕求的取值围； 〔2〕是否存在这样的直线，使得以弦为直径的圆经过坐标原点.假设存在，求的方程，假设不存在，说明理由解】〔1〕方法一：〔联立方程法〕ⅰ〕当直线的斜率存在时，设直线的方程为且设联立， 消去，并整理得：则有， 求得：又有①②设 ，则有，即 ③从①，②，③中消去可得：而 ， 所以 而 ，故求得：ⅱ〕当直线的斜率不存在时，综上所述， 的取值围是方法二：〔点差法〕 设，则有：， 所以，，即于是有 (1)(2) 得：，即 由， ，所以 而， 所以 〔2〕假设满足条件的直线存在，设，则由〔1〕可知：从而求得：于是有： 满足 故满足条件的直线存在，且直线方程为：或【例19】〔2010〕椭圆的左，右焦点为，左，右顶点为，过点的直线分别交椭圆于点〔1〕设动点，满足，求点的轨迹方程〔2〕当，时，求点的坐标〔3〕设，求证：直线过轴上的定点【解】〔1〕由题意知:，设，则， 化简整理得: 〔2〕把代人椭圆方程,分别求出: ， 直线① ; 直线②①、②联立,得： 〔3〕由: ，直线与椭圆联立，得：直线与椭圆联立，得：直线的方程为：化简得令，解得，即直线MN过*轴上定点。
三 解题小结1. 离心率是圆锥曲线的重要性质，求离心率及其取值围，就是寻找与或之间的关系2. 求与椭圆有关的最值问题,有三种方法：〔1〕几何法;〔2〕三角代换法;〔3〕转化函数，利用函数的单调性求最值3. 直线与椭圆的位置问题两种根本方法：〔1〕联立方程法;〔2〕点差法，前者涉及弦长与中点，后者涉及斜率，中点等.4. 关于椭圆的补充性质〔常在解题中遇到〕：①椭圆的接矩形的最大面积为.②过焦点 的直线交椭圆于P, Q两点，则当轴时，的面积最大，且最大面积为.③设右准线与轴交于点E，过E点的直线与椭圆交于P, Q两点，点与点P关于轴对称，则直线一定过椭圆的右焦点，且 .④设点P是右〔左〕准线上任一点〔不在轴上〕，是椭圆的左右顶点，直线, 与椭圆分别交于两点，则直线一定过椭圆的右〔左〕焦点⑤过右〔左〕焦点的直线与椭圆交于两点，是椭圆的左、右顶点，直线的交点一定在右〔左〕准线上 z.。