初二数学经典难题及答案

初二数学经典题型1 1．．已知：如图，P 是正方形 ABCD 内点，∠PAD＝∠PDA＝15 ．求证：△PBC 是正三角形．0证明如下首先，PA=PD，∠PAD=∠PDA=（180°-150°）÷2=15°，∠PAB=90°-15°=75°在正方形 ABCD 之外以 AD 为底边作正三角形 ADQ，连接 PQ， 则∠PDQ=60°+15°=75°，同样∠PAQ=75°，又AQ=DQ,，PA=PD，所以△ PAQ≌△PDQ， 那么∠ PQA=∠PQD=60°÷2=30°，在△PQA 中，∠APQ=180°-30°-75°=75°=∠PAQ=∠PAB，于是 PQ=AQ=AB，显然△PAQ≌△PAB，得∠PBA=∠PQA=30°，PB=PQ=AB=BC，∠PBC=90°-30°=60°，所以△ABC 是正三角形2.2.已知：如图，在四边形ABCD 中，AD＝BC，M、N 分别是 AB、CD 的中点，AD、BC 的延长线交 MN 于 E、F．求证：∠DEN＝∠F．证明:连接 AC,并取 AC 的中点 G,连接 GF,GM.又点 N 为 CD 的中点,则 GN=AD/2;GN∥AD,∠GNM=∠DEM;(1)同理:GM=BC/2;GM∥BC,∠GMN=∠CFN;(2)又 AD=BC,则:GN=GM,∠GNM=∠GMN.故:∠DEM=∠CFN.点．求证：点 P 到边 AB 的距离等于 AB 的一半．证明：分别过 E、C、F 作直线 AB 的垂线，垂足分别为 M、O、N，在梯形 MEFN 中，WE 平行 NF因为 P 为 EF 中点，PQ 平行于两底所以 PQ 为梯形 MEFN 中位线，所以 PQ＝（ME＋NF）/2又因为，角 0CB＋角 OBC＝90°＝角 NBF＋角 CBO所以角 OCB=角 NBF而角 C0B＝角 Rt＝角 BNFCB=BF所以△OCB 全等于△NBF△MEA 全等于△OAC（同理）所以 EM＝AO，0B＝NF所以 PQ=AB/2.4 4、、设 P 是平行四边形 ABCD 内部的一点，且∠PBA＝∠PDA．求证：∠PAB＝∠PCB．过点 P 作 DA 的平行线，过点 A 作 DP 的平行线，两者相交于点 E；连接 BE因为 DP//AE，AD//PE所以，四边形 AEPD 为平行四边形所以，∠PDA=∠AEP已知，∠PDA=∠PBA所以，∠PBA=∠AEP所以，A、E、B、P 四点共圆所以，∠PAB=∠PEB因为四边形 AEPD 为平行四边形，所以：PE//AD，且 PE=AD而，四边形 ABCD 为平行四边形，所以：AD//BC，且 AD=BC所以，PE//BC，且 PE=BC第 1 页BAPDAMBNDEF 的中3 3、、如图，分别以△ABC 的 AC 和 BC 为一边，在△ABC 的外侧作正方形 ACDE 和正方形 CBFG，点 P 是CEFC即，四边形 EBCP 也是平行四边形所以，∠PEB=∠PCB所以，∠PAB=∠PCB5 5.P 为正方形 ABCD 内的一点，并且 PA＝a，PB＝2a，PC=3a 正方形的边长．解：将△BAP 绕 B 点旋转 90°使 BA 及 BC 重合，P 点旋转后到 Q 点，连接 PQ因为△BAP≌△BCQ所以 AP＝CQ，BP＝BQ，∠ABP＝∠CBQ，∠BPA＝∠BQC因为四边形 DCBA 是正方形所以∠CBA＝90°，所以∠ABP＋∠CBP＝90°，所以∠CBQ＋∠CBP＝90°即∠PBQ＝90°，所以△BPQ 是等腰直角三角形所以 PQ＝√2*BP，∠BQP＝45因为 PA=a，PB=2a，PC=3a所以 PQ＝2√2a，CQ＝a，所以 CP^2＝9a^2，PQ^2＋CQ^2＝8a^2＋a^2＝9a^2所以 CP^2＝PQ^2＋CQ^2，所以△CPQ 是直角三角形且∠CQA＝90°所以∠BQC＝90°＋45°＝135°，所以∠BPA＝∠BQC＝135°作 BM⊥PQ则△BPM 是等腰直角三角形所以 PM＝BM＝PB/√2＝2a/√2＝√2a所以根据勾股定理得：AB^2＝AM^2＋BM^2＝(√2a＋a)^2＋(√2a)^2＝[5＋2√2]a^2所以 AB＝[√(5＋2√2)]a6.6.一个圆柱形容器的容积为 V 立方米，开始用一根小水管向容器内注水，水面高度达到容器高度一半后，改用一根口径为小水管２倍的大水管注水。

向容器中注满水的全过程共用时间 t 分求两根水管各自注水的速度解：设小水管进水速度为 x，则大水管进水速度为 4xBCPADvv t2x8x5v解之得：x 8t5v经检验得：x 是原方程解8t5v5v∴小口径水管速度为，大口径水管速度为8t2t由题意得：7 7．如图11，已知正比例函数和反比例函数的图像都经过点M（－2，，且P（1，－2）为双曲线上1）的一点，Q为坐标平面上一动点，PA垂直于x轴，QB垂直于y轴，垂足分别是A、B．（1）写出正比例函数和反比例函数的关系式；（2）当点Q在直线MO上运动时，直线MO上是否存在这样的点Q，使得△OBQ及△OAP面积相等？如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由；（3）如图12，当点Q在第一象限中的双曲线上运动时，作以OP、OQ为邻边的平行四边形OPCQ，求平行四第 2 页边形OPCQ周长的最小值．y y解： （1）设正比例函数解析式为式为y  kx，将点M（2，1）坐标代入得ky1xAO2BQ1，所以正比例函数解析2BAOQxx同样可得，反比例函数解析式为M（2）当点QP在直线DO上运动时，图设点Q的坐标为Q(m，于是S△OBQ而S△OAP所以有，y2xMCP1m)，2111OBBQmm222图12m，41( 1) ( 2)212m41，1，解得m  22， 1)1)和Q2(所以点Q的坐标为Q1(2，（3）因为四边形OPCQ是平行四边形，所以OP＝CQ，OQ＝PC，而点P（1，2）是定点，所以OP的长也是定长，所以要求平行四边形OPCQ周长的最小值就只需求OQ的最小值．因为点Q在第一象限中双曲线上，所以可设点Q的坐标为Q(n，)，由勾股定理可得OQ所以当(n22nn222)n0即n422(n)4，n2n20时，OQ2有最小值 4，n2又因为OQ为正值，所以OQ及OQ同时取得最小值，所以OQ有最小值 2．由勾股定理得OP＝5，所以平行四边形OPCQ周长的最小值是8.如图，P是边长为 1 的正方形ABCD对角线AC上一动点 （P及A、C不重合） ， 点E在射线BC上， 且PE=PB.（1）求证：①PE=PD； ②PE⊥PD；（2）设AP=x, △PBE的面积为y.① 求出y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；② 当x取何值时，y取得最大值，并求出这个最大值.解： （1）证法一：① ∵ 四边形ABCD是正方形，AC为对角线，∴BC=DC, ∠BCP=∠DCP=45°.∵ PC=PC，∴ △PBC≌△PDC（SAS）.∴PB= PD， ∠PBC=∠PDC.第 3 页ADP1H2BCE又∵PB= PE，∴PE=PD.② （i）当点E段BC上(E及B、C不重合)时，∵ PB=PE，∴ ∠PBE=∠PEB，∴ ∠PEB=∠PDC，∴ ∠PEB+∠PEC=∠PDC+∠PEC=180°，∴ ∠DPE=360°-(∠BCD+∠PDC+∠PEC)=90°，∴PE⊥PD.）（ii）当点E及点C重合时，点P恰好在AC中点处，此时，PE⊥PD.（iii）当点E在BC的延长线上时，如图.∵ ∠PEC=∠PDC，∠1=∠2，∴ ∠DPE=∠DCE=90°，∴PE⊥PD.综合（i） （ii） （iii）, PE⊥PD.（2）① 过点P作PF⊥BC，垂足为F，则BF=FE.∵AP=x，AC=2，∴PC=2- x，PF=FC=22( 2  x) 122x.BF=FE=1-FC=1-(1222x)=2x.∴S2△PBE=BF·PF=2x(12122x) 2x22x.即y  12x222x (0＜x＜2).∵a  12＜0，∴ 当x 22时，y最大值14.（1）证法二：① 过点P作GF∥AB，分别交AD、BC于G、F. 如图所示.∵ 四边形ABCD是正方形，∴ 四边形ABFG和四边形GFCD都是矩形，△AGP和△PFC都是等腰直角三角形.∴GD=FC=FP，GP=AG=BF，∠PGD=∠PFE=90°.又∵PB=PE，∴BF=FE，∴GP=FE，∴ △EFP≌△PGD（SAS）.∴PE=PD.② ∴ ∠1=∠2.∴ ∠1+∠3=∠2+∠3=90°.∴ ∠DPE=90°.∴PE⊥PD.（2）①∵AP=x，第 4 页ADPBFECAG32DP1BFEC∴BF=PG=∴S△PBE=BF·PF=即y  22x，PF=1-x.221222x(1x.x) x22222122x x (0＜x＜2).221∵a  ＜0，2∴ 当x 21时，y最大值.249、如图，直线 y=k1x+b 及反比例函数 y=k2x 的图象交于 A（1，6） ，B（a，3）两点．（1）求 k1、k2的值．（2）直接写出 k1x+b-k2x＞0 时 x 的取值范围；（3）如图，等腰梯形 OBCD 中，BC∥OD，OB=CD，OD 边在 x 轴上，过点 C 作 CE⊥OD 于点 E，CE 和反比例函数的图象交于点 P，当梯形 OBCD 的面积为 12 时，请判断 PC 和 PE 的大小关系，并说明理由．10、如图 12，已知直线（1）求k的值；（2）若双曲线y 1kx及双曲线y (k  0)交于A，B两点，且点A的横坐标为4．2xy k(k  0)上一点C的纵坐标为 8，求△AOC的面积；xy k，若由点(k  0)于P，Q两点（P点在第一象限）x（3）过原点O的另一条直线l交双曲线A，B，P，Q为顶点组成的四边形面积为24，求点P的坐标．yAOB图 12x第 5 页。