1单击此处编辑母版标题样式单击此处编辑母版副标题样式第九章 重积分及 曲线积分 第一节 二重积分的概念与性质第二节 二重积分的计算法第三节 二重积分的应用一、曲顶柱体的体积柱体体积=底面积 高特点：平顶.柱体体积=？特点：曲顶.利用与求曲边梯形面积类似的办法来求曲顶柱体的体积1）分割 用一曲线网把闭区域D分成n个小闭 区域则原来的曲顶柱体被分为n个小曲顶柱体2）近似代替 以 为底的小曲顶柱体可近似地看作以 为高的平顶柱体3）求和 则 为曲顶柱体体积4）取极限令每个小闭区域直径中的最大值（记为 ）趋于0二、二重积分 1、对二重积分定义的说明：（1）当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积2、二重积分的几何意义（2）当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的 负值；（3） 当被积函数有正也有负，则二重积分等于xoy面上方的柱体体积减去xoy面下方的柱体体积在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区域D，则面积元素为故二重积分可写为D D3、二重积分的性质性质1性质2性质3二重积分在闭区域上有可加性与定积分有类似的性质）性质4在闭区域D上f(x,y)=1， 为D的面积几何意义： 高为1的平顶柱体的体积在数值上等于柱体的底面积。
性质5在闭区域D上 则性质6M、m是f(x,y)在D上的最大值和最小值，则有性质7（中值定理）设f(x,y)在闭区域D上连续， ，则在D上至少存在一点 ，使一、利用直角坐标计算设 ，则 等于以D为底，以曲面z=f(x,y)为顶的曲顶柱体体积现用 ， 来表示底面区域D ， 在a,b均连续 ab下面用元素法求曲顶柱体体积ab再在a,b上取一点 ,用同样方法得到另一曲边梯形.红色曲边梯形面积为在a,b上取一点 ，作平行于yoz的平面，它截得曲顶柱体所得截面是一个以区间 为底，曲线为曲边的曲边梯形 以曲边梯形为底的薄柱体体积,即体积元素为则以dV作为被积表达式的定积分即为曲顶柱体体积将上式中 一般化,得到二次积分公式当给出的积分区域D为则 若积分区域D可用 , 表示也可用 , 表示,则由此可见,二次积分的积分次序可以调换.-xdyyxfdx1010),(例1 改变 的积分次序例2 计算 ，其中D由直线y=1、X=2及y=x所围成的三角形闭区域例3 计算 ，其中D是由x轴、y轴及抛物线 所围成的在第一象限内的闭区域 可以看出，X-型与Y-型公式的选取很重要，主要是由积分区域D的特点来定 但是这也不能绝对化，还要顾及到被积函数，应尽量使求积过程简单。
例4 计算 ，其中D是由抛物线 及直线y=x-2所围成的闭区域例5 计算 ，其中D与上例相同.例6 求两个半径相等的直交圆柱面所围成立体的体积二、利用极坐标计算二重积分根据二重积分定义1、用从极点发出的一族射线和以极点为中心的一族同心圆把闭区域D分成n个小闭区域Ox二重积分直角坐标到极坐标的转换公式只要把x,y换成 ， dxdy 换成 即可dxdy 称为直角坐标系中的面积元素， 称为极坐标系中的面积元素2、极坐标系中二重积分的计算（1）设极点在闭区域D外，且区域D用 表示OX（2）极点在闭区域的边界上D（3）极点在区域D内D例1 试导出极坐标计算闭区域D的面积公式例3 计算 ，其中闭区域D为例2 课本第145页第3题例3 求球体 与圆柱体 的公共部分的体积一、曲面的面积例 求半径为a的球的表面积。