第二节第二节 单纯形法单纯形法Simplex Method 一、单纯形法原理及步骤一、单纯形法原理及步骤二、用向量矩阵描述单纯形法原理二、用向量矩阵描述单纯形法原理三、单纯形表三、单纯形表四、四、两阶段法和大两阶段法和大M法法五、退化和循环五、退化和循环 用向量矩阵描述单纯形法原理用向量矩阵描述单纯形法原理并设并设 是是A A的一个基的一个基设标准的线性规划问题为设标准的线性规划问题为则则 ，相应地，向量，相应地，向量X X 和和C C 可以记为可以记为 max z = = C CX AX=b b X≥0 s.t. BXB+NXN=bXB=B-1b-B-1NXNCBXB+CNXNz=CBB-1b-(CBB-1N-CN)XN 用向量矩阵描述单纯形法原理用向量矩阵描述单纯形法原理z=CBB-1b-(CBB-1N-CN)XNXN=0基础解基础解CBB-1N-CN>=0：任意非基变量进基，目标函数：任意非基变量进基，目标函数值减少，当前解已经是最优解。
值减少，当前解已经是最优解检验数！变量xj的检验数： 用向量矩阵描述单纯形法原理用向量矩阵描述单纯形法原理基于向量矩阵的单纯形法基本思路：基于向量矩阵的单纯形法基本思路： (1)取得初始可行基B、相应的基本可行解 及对应的目标函数值 (2)从当前的非基变量非基变量中选取一个xk ,使xk的值由当前的值0开始增加，其余非基变量的值均保持零值不变如果任何一个非基变量的值由0增加时，目标函数都不能增加，则当前的基已经是最优基 用向量矩阵描述单纯形法原理用向量矩阵描述单纯形法原理基于向量矩阵的单纯形法基本思路：基于向量矩阵的单纯形法基本思路： (3)当xk的值由0开始增加时，当前各基变量的值也会随之变化： 1)当当xk的的值增增加加时，，某某些些基基变变量量的的值值随随之之减减小小，，则则必必定定有有一一个个基基变变量量xr的的值值在在xk的的增增加加过过程程中中首首先先降降为为0这时，这个基变量xr成为非基变量，而非基变量xk进基成为基变量，相应地， xk在矩阵A中相应（不在基B中）的列向量pk将取代基变量xr在基B中的列向量pr。
此时基变换后的目标函数值必定大于原目标函数值 用向量矩阵描述单纯形法原理用向量矩阵描述单纯形法原理基于向量矩阵的单纯形法基本思路：基于向量矩阵的单纯形法基本思路： 2)当当xk的的值增增加加时，，所所有有基基变变量量的的值值都都随随之之增增加加，，则则不不会会有有任任何何基基变变量量出出基基，，这这时时xk值值的的增增加加没没有有任任何何限限制制此时可行域无界，即目标函数无界 (4)重复步骤(2)和(3)，就一定可以获得最优基或确定目标函数无界 用向量矩阵描述单纯形法原理用向量矩阵描述单纯形法原理单纯形法的几何意义：单纯形法的几何意义： 从几何意义方面解释，单纯形法就是在可行在可行域的边界上，沿着相邻的极点进行搜索的一种算域的边界上，沿着相邻的极点进行搜索的一种算法法所谓相邻的极点，就是每次只有一个变量进基，一个变量出基转换前后所对应的基本可行解我们把这两个基本可行解所对应的两个基称为“相邻的”基 单纯形表单纯形表根据单纯形法的向量矩阵描述，可得：系数矩阵B-1B-1B-1= ECBCBCB需要变成0！ 单纯形表单纯形表与基B对应的单纯形表目标函数值基变量的目标函数系数令则检验数σj可以记为 单纯形表单纯形表 单纯形表单纯形表列出以x3、x4为基变量的单纯形表如下。
z2-c2=-3< z1-c1=-2 ，x2为进基变量最小比值 法！最小检验数规则！[ ]X4离基(1)旋转运算例1 Cj 2 3 0 0 单纯形表单纯形表(2)x1进基[ ]X3离基(3)>0，最优！X*=(2,1,0,0),Z*=7旋转运算 Cj 2 3 0 0 单纯形表单纯形表例2列出以x3、x4为基变量的单纯形表如下x2进基[ ]X3离基(1) Cj 1 2 0 0 单纯形表单纯形表(2)x1进基[ ]X4离基(3)x3进基目标函数无界！能确定进基变量，无法确定离基变量 Cj 1 2 0 0 单纯形表单纯形表例3标准化（加入松弛变量x3、x4，z’=-z）后，列出以x3、x4为基变量的单纯形表如下。
1)x2进基[ ]X3离基 Cj -2 2 0 0 单纯形表单纯形表(2)x1进基[ ]X4离基最优解X1=(0,1,0,1)T，z’=2(3)最优解X2=(1,2,0,1)T，z’=2最优解X=t X1+(1-t) X2=(1-t,2-t,0,t)T，(0≤t≤1) Cj -2 2 0 0 单纯形表单纯形表单纯形算法流程图 单纯形表单纯形表例4列出以x3、x4为基变量的单纯形表如下x1进基[ ]X4离基(1) Cj 10 5 0 0 单纯形表单纯形表(2)x2进基[ ]X3离基(3)>0，最优！X*=(1,3/2,0,0),Z*=35/2旋转运算 Cj 10 5 0 0 单纯形表单纯形表例5引进松弛变量，标准化并初始单纯形表：x2进基[ ]X5离基(1) Cj 1 2 1 0 0 0 单纯形表单纯形表x3进基[ ]X4离基(2)(3)最优解为x1=0，x2=3，x3=9，x4=0，x5=0，x6=12， max z=15 Cj 1 2 1 0 0 0 。