《画法几何》总复习重庆大学虎溪校区风雨操场一、点的投影 (习题集P8) 1. 点的三面投影2. 特殊位置的点(投影面上的点、投影轴上的点) 3. 点的位置(上、下、左、右、前、后) 4. 点的距离 5. 重影点(两点在某投影面上的投影重合)(不可见点加括号表示)二、直线的投影 (习题集P9-13)1. 直线的位置(特殊位置直线、一般位置直线)2. 属于直线的点(从属性、定比性) 3. 直线的迹点 4. 一般位置直线的实长和倾角(直角三角形法 )5. 两直线的相对位置(平行、相交、相叉) 6. 直角投影定理重点: ü 一般线的实长和倾角(直角三角形法) ü 直角投影定理|zA-zB |ABABbbaaB0XO一般线的实长和倾角|zA-zB|XaabbABab|zA-zB|AB|zA-zB|ab直角三角形法 (本讲重点)直角三角形法是用来解决一些空间问题的一种方法,如求空间直线的 实长、倾角、以及通过求坐标差来求空间直线的投影等等在我们所讨论的直角三角形中,有四个要素:实长(SC)、倾角、投 影、距差(坐标差)四个要素中任意知道两个要素,都可以求到另两个 要素。
但必须弄清楚这些要素的关系在解题的时候搞清楚每一个三角形 的含义及目的坐标差△ X△ Y△ Z实长投影 W面投影 a〝b〝V面投影 a′b′H面投影 ab倾角 bb′Xa′aBC(L )例题: 已知线段AB的投影,试定出属于线段AB的点C的投影,使BC 的实长等于已知长度LcLABczA-zBab复习SCAB△Y△Y△ZbXb a a△Xγβ习题3-3(1)求线段AB的实长和α角 (2)求线段AB与V、H面的倾角β和γ △Za″b″b a ab△XXαSCAB也可以用补侧投影的方式求γ角复习作业讲评u 如果空间二直线垂直,且一直线是某一投影面的平行线,则该面投影仍反映垂直u 如果二直线在某投影面上反映垂直,且其中一直线是该面的平行线,则空间二直线垂直直角投影定理 (本讲重点)解题方法:垂直问题,先看有无平行线有:作垂直线;无:作平行线公垂线:和两条直线都垂直相交的直线AHBCcb相交垂直的两直线的投影HcXb′a′c′baAB垂直于AC,且AB平行于H 面,则有ab ac已知:AB⊥AC,AB∥H面 求证∠cab﹦90°证明:AB ∥H 而Aa⊥H ∴AB⊥Aa 又AB⊥AC ∴ AB⊥CcaA平面 ∵AB∥ab ∴ab⊥ CcaA 故 ab⊥bc ∴ ∠abc﹦90°aDEe(d)( )c′e′e(d)( )相叉垂直的两直线的投影BHAbaMNnmXb a bamnn mAB垂直于MN,且AB平行于H面,则有ab mndb′1caba′1′c′d′习题3-17: 已知菱形ABCD的对角线AC和B点的V面投影,试完成 该菱形的V面投影。
X复习作业讲评解题的关键点:求另一对角线BD 的正投影长(用直 角三角形法); 1. ac=AC=BD 2. bd已知 3. 求出∣ZD-ZE︱=∣ZE -ZB∣ 或求d′b′(e′d′或e′b′)习题3-18:矩形ABCD的对角线AC为水平线,试完成该矩形的V面投影bd′b′c′a′adcDE或BE的Z差ee′SCAEDE或BE的水平投影长习题3-19:三角形ABC为一直角线三角形.其中∠B=90°,边BC=25,且β=30°试完成该三角形的两面投影c′a′b′bacc有四解30°BC=25BC的Y差BC的正投影长daADafcbXcda′b′f′e′d′c′习题3-20 已知等边三角形ABC的一边BC属于EF,完成此三角形的两面投影CDorDB30°高AD的Z差三、平面的投影 (习题集P14-16)1.1. 平面的表示法(几何元素表示、迹线表示)2.2. 各种位置平面(投影特性、判断) 3. (垂直面:垂直一个投影面,倾斜两个投影面 ) 4. (平行面:平行一个投影面,垂直两个投影面) 5. (一般面:与三个投影面都倾斜) 3. 平面上的直线和点 4. 平面的最大斜度线(角度线)重点: ü 平面的最大斜度线(反映平面与投影面的倾角)(1) 最大斜度线:平面上对某个投影面倾角最大的直线。
2) 它与投影面的倾角反映该平面与投影面的倾角3) 平面内对某投影面的最大斜度线与该平面内某投影面的平行线相互垂直4) 作图步骤:① 在平面内作一平行线② 用直角定理作一直线垂直于平行线③ 用所作的最大斜度线求倾角(直角三角形法)平面的最大斜度线 (本讲重点)最大斜度线对投影面的角度最大 最大斜度线的几何意义:用来测定平面对投影面的角度HPCDaE1 SAE1321′2′3′aba′cdc′ b′d′例题:求作以AB为边并属于△ⅠⅡⅢ的正方形ABCD作图思路•在△ⅠⅡⅢ上取 线确定a′b′及 其邻边的方向•确定邻边AD•作对应边的平行 线,完成正方形 ABCD复习四、直线与平面、平面与平面的相对位置 (习题集P17-19) 1.1. 直线与平面平行、平面与平面平行♥ 直线与特殊位置平面平行(平面积聚投影与直线同面投影平行)♥ 一般线与一般面平行(一般位置直线与平面内一条直线平行)♥ 两特殊位置平面平行(平面的同面积聚投影平行)♥ 两一般位置平面平行(两平面内有两条相交直线对应平行)1.2. 直线与平面相交、平面与平面相交♥ 一般线与垂直面相交(交点投影为平面积聚投影与直线同面投影交点)♥ 垂直线与一般面相交(交点的一个投影与直线的积聚投影重合)♥ 一般线与一般面相交(本讲重点)1.♥ 垂直面与一般面相交(交线的一个投影为垂直面的积聚投影)2.♥ 一般面与一般面相交(本讲重点)一般线与一般面相交 (本讲重点)由于直线和平面的投影都没有积聚性,求交点时无积聚性投影可以利用,因此通常要采用辅助平面法求一般位置 线、面的交点。
一般线与一般面相交求交点的步骤: (l)包含已知的一般线作一垂直面P; (2)求垂直面与已知的一般面平面的交线; (3)求该交线与原已知一般线的交点,交点即为所求 (4)判别可见性一般面与一般面相交 (本讲重点)求两一般位置平面交线的问题可以看作是求两个共有点 的问题, 因而可利用求一般位置线面交点的方法找出 交线上的两个点,将其连线即为两平面的交线feefbaacbc 12例题1:以正垂面为辅助平面求线面交点QV21kk步骤: 1、 过EF作正 垂平面Q2、求Q平面与 ΔABC的交线 ⅠⅡ3、求交线 ⅠⅡ与EF的交 点K复习12例题2:以铅垂面为辅助平面求线面交点 PH1feefbcaacb步骤: 1、 过EF作铅 垂平面P2、求P平面与 ΔABC的交线 ⅠⅡ3、求交线 ⅠⅡ与EF的交 点Kkk2复习例题3:直线EF与平面 ABC相交,判别可见性利用重影点 判别可见性( )feefaccbab12432134( )kk复习求两个一般位置 平面交线的作图 步骤: (1)用直线与平面 求交点的方法求 出两平面的两个 共有点K、E。
尽量不选投影不 重叠的边,尽可 能选各投影均重 叠较多的边)例题4:求两平面的交线bcaabcllnmmnPVQV 1221kke′e(2)连接两个共 有点,画出交线 KE一般不选AB、BC、NL复习利用重影点 判别可见性只需要判断 一段的可见 性后,交错 前进,依次 封口例题5:两平面相交,判别可见性bcaabcllnmmnkeek3 4 ( )3 4 21( )1 2复习五、平面立体 (习题集P26-31)1.1. 棱柱体(投影特征、棱柱表面取点) 2.2. 棱锥体(投影特征、棱锥表面取点) 3. 平面与平面立体相交(求截交线) 4. 直线与平面立体相交(求贯穿点) 5. 平面立体与平面立体相交(求相贯线) 6. 同坡屋面重点: ü 平面与平面立体相交(求截交线) ü 直线与平面立体相交(求贯穿点) ü 平面立体与平面立体相交(求相贯线) ü 同坡屋面平面与平面立体相交解题步骤:1. 先视截交线是积聚元素上的线,立即得到一个投影 ,立即标点,标点后在多边形投影上得到交线的另 一投影。
2. 利用点在直线上、点在平面上的方法在第三投影上 求出截交线上各点的第三投影3. 连点成封闭的图形(按其余二投影的顺序)4. 整理图形:根据积聚投影所在的投影来保留剩下部 分(没参加相交的部分)标点 --- 求点 --- 连线 --- 整理图形平面与平面立体相交 (本讲重点)习题6-17:完成带缺口三棱柱的H、W投影yy复习 作业讲评习题6-15:作出六棱锥被P、Q平面截割后的投影yyPWQW直线与立体表面的交点称为贯穿点贯穿点是直线与立体表面的公有点(既是 属于直线的点,又是属于立体表面的点) 因此,求贯穿点的问题,就是求线与面交 点的问题求贯穿点的方法:包含已知直线作一个辅 助截平面,求此截平面与立体的截交线,截交 线与已知直线的交点即为贯穿点直线与平面立体相交 (本讲重点)例题: 求直线KL与三棱锥的贯穿点复习KLMN包含直线作 辅助平面,可以 求得该辅助平面 与立体的截交线 ,而直线的贯穿 点在截交线上作图过程:1′12′23′3 mnn′ m′PVklk′k′注意:贯穿点 之间没有线相交的两立体常称为相贯体,相贯体表面的交线称为相贯线相贯线的性质:a.相贯线为两立体表面的共有线,相贯线上的每个点都是两立 体的共有点。
b.相贯线一般是闭合的平面折线或空间折线,只有当两立体具 有重叠表面时,相贯线才不闭合对于两个立体都是平面立体来说,其相贯线一般都是闭 合的空间折线.其每一段线段都是两平面立体相关棱面的交 线,每一个折点都是一平面体的棱线对另一平面体的贯穿点平面立体与平面立体相交 (本讲重点)求两平面立体相贯线的步骤:• 分析形体:认识两相贯体的形体特征,考察两立体的 相对位置判断是“全贯”(两组相贯线)还是“互贯”( 一组相贯线)• 求相贯点:实际上就是求每一条棱线(直线)与另一 立体的相贯点(参与相交的棱线有点)• 连接相贯点:属于同一立体的同一棱面而同时属于另 一立体也是同一棱面的两点才能相连• 判别可见性:两立体的棱面均为可见面:可见(实线 )有一立体的棱面为不可见面:不可见(虚线)• 整理图形:未参与相交的部分,从相贯线往四周连线 12(3)4(5 )1′(2’) ′(3’)5′4′分析: 由于六棱柱垂 直于H面,所以 相贯线的水平 投影为已知习题6-26: 完成六棱柱和三 棱柱相贯后的V面投影复习作业讲评习题6-29: 完成截头三棱柱和四棱锥,六棱柱相贯后的V.H投影立面图作图方法:1.由H投影见点就向V或W引长对正或宽相等的线; 2.在V面上根据已知角度作正垂面的积聚投影;在W面上根据已知角度作侧垂面的积聚投影;3.根据H面上点的编号在V面上或W面上连点即可。
平面图作图方法:1.见角就画45度线; 2.从左向右先碰先交; 3.交点性质:一点三线,两斜一平同坡屋面 (本讲重点)定义:所有方向的屋面与H面的夹角都相等平沟(错误的画法)例题:作坡屋面的投影复习六、曲面立体 (习题集P32-36)1.1. 圆柱体(投影特征、特殊线投影、圆柱表面取点) 2.2. 圆锥体(投影特征、特殊线投影、圆锥表面取点) 3. 圆球体(投影特征、特殊线投影、圆球表面取点) 4. 平面与曲面立体相交(求截交线)(与各种曲面立体不同截割方式的截交线的形状) 5. 直线与曲面立体相交(求贯穿点) 6. 平面立体与曲面立体相交(求相贯线)重点: ü 平面立体与曲面立体相交(求相贯线) (包含直线与曲面。