2.1.1 倾斜角与斜率【学习目标】课程标准学科素养1. 理解直线的倾斜角和斜率的概念.2. 掌握求直线斜率的两种方法(重点).3.了解在平面直角坐标系中确定一条直线的几何要素．1、直观想象2、数学运算3、数形结合【自主学习】1.直线的倾斜角当直线l与x轴相交时，我们取 作为基准，x轴正向与直线l 方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．直线的倾斜角α的取值范围是{ }，并规定与x轴平行或重合的直线的倾斜角为 ．注意三个条件：①x轴正向；②直线向上的方向；③小于180的非负角．2.斜率的概念及斜率公式定义：倾斜角α(α≠90)的 ．记法：k＝ ．3.斜率与倾斜角的对应关系图示倾斜角(范围)α＝00<α<90α＝ 90<α<180斜率(范围) 不存在 k的增减情况k随α的增大而增大k随α的增大而增大其对应情况如下表所示．斜率k01不存在－－1－倾斜角α030456090120135150由上表可见，当直线的斜率k＝0，，1，或斜率k不存在时，其倾斜角均是特殊角．4.斜率公式 经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式：k＝ ．注意：当x1＝x2时，斜率不存在．【小试牛刀】1． 只给出一个倾斜角能确定一条直线吗？2． 当一条直线的倾斜角为0时，这条直线一定与x轴平行吗？3.如图所示，直线l的倾斜角为( )A．45 B．135 C．0 D．不存在4．已知一条直线的倾斜角α＝45，则该直线的斜率等于( )A. B．－ C．1 D．－1【经典例题】题型一 直线的倾斜角例1 下列命题正确的是( )A．两条不重合的直线，如果它们的倾斜角相等，那么这两条直线平行B．若一条直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tan αC．若α，2α，3α分别为三条直线的倾斜角，则α的度数可以大于60D．若α是直线l的倾斜角，且tan α＝，则α＝45[跟踪训练] 1 (1)已知直线l的倾斜角为θ－25，则角θ的取值范围为( )A.25≤θ<155 B.－25≤θ<155C.0≤θ<180 D.25≤θ<205（2）已知直线l向上方向与y轴正向所成的角为30，则直线l的倾斜角为________.题型二 直线斜率的运算例2 （1）（利用斜率定义）若直线的倾斜角为60，则直线的斜率为( )A. B．－ C. D．－（2）（利用斜率公式）经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率，并确定直线的倾斜角α.①A(2,3)，B(4,5)；②C(－2,3)，D(2，－1)；③P(－3,1)，Q(－3,10).[跟踪训练] 2 (1)若直线的倾斜角为60，则直线的斜率为( )A. B.－ C. D.－(2)已知过A(3,1)，B(m，－2)的直线的斜率为1，则m的值为________.题型三 利用数形结合求倾斜角或斜率范围涉及直线与线段有交点问题常利用数形结合及公式求解.例3 已知两点A(－3，4)，B(3，2)，过点P(1，0)的直线l与线段AB有公共点．(1)求直线l的斜率k的取值范围；(2)求直线l的倾斜角α的取值范围．[跟踪训练] 3 直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0，)为端点的线段有公共点，求直线l的斜率和倾斜角的取值范围.题型四 直线的斜率的应用例4 已知实数x，y满足y＝－2x＋8，且2≤x≤3，求的最大值和最小值．例5 已知三点A(0,1)，B(1,3)，C(2,5)，求证：A，B，C三点共线.[跟踪训练] 4 如果三点A(2,1)，B(－2，m)，C(6,8)在同一条直线上，求实数m的值.【当堂达标】1．对于下列命题：①若α是直线l的倾斜角，则0≤α<180；②若k是直线的斜率，则k∈R；③任一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率；④任一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角．其中正确命题的个数是( )A．1 B．2 C．3 D．42.若经过A(m,3)，B(1,2)两点的直线的倾斜角为45，则m等于( )A.2 B.1 C.－1 D.－23．一条直线的斜率等于，则此直线的倾斜角等于________．4．已知点A(1，2)，若在坐标轴上有一点P，使直线PA的倾斜角为135，则点P的坐标为________．5.求经过A(m,3)，B(1,2)两点的直线的倾斜角α的取值范围是________.(其中m≥1)6．求经过下列两点的直线的斜率，并判断其倾斜角是锐角还是钝角．(1)(1，1)，(2，4)； (2)(－3，5)，(0，2)；(3)(2，3)，(2，5)； (4)(3，－2)，(6，－2)．7．已知三点A(1,3)，B(5,11)，C(－3，－5)，求证：这三点在同一条直线上． 【参考答案】【自主学习】1.x轴 向上 α|0≤α＜180 02.正切值 tan__α3.90 k＝0 k>0 k<04.【小试牛刀】1.不能．倾斜角只能确定直线的方向，要确定直线还需知道直线上的一个点．2.不一定，也可能与x轴重合．3.B4. C 解析 k＝tan α＝tan 45＝1.【经典例题】例1 A 解析 0≤α＜180，当α＝90，此时直线不存在斜率，B错；α＝60时，3α＝180，C错；tan 45＝1，D错．[跟踪训练] 1 （1）D 解析 因为直线l的倾斜角为θ－25，所以0≤θ－25<180，所以25≤θ<205.（2）60或120 解析 有两种情况：①如图(1)，直线l向上方向与x轴正向所成的角为60，即直线l的倾斜角为60.②如图(2)，直线l向上方向与x轴正向所成的角为120，即直线l的倾斜角为120.例2 （1） A 解析 k＝tan 60＝.（2） 解 ①存在.直线AB的斜率kAB＝＝1，即tan α＝1，又0≤α<180，所以倾斜角α＝45.②存在.直线CD的斜率kCD＝＝－1，即tan α＝－1，又0≤α<180，所以倾斜角α＝135.③不存在.因为xP＝xQ＝－3，所以直线PQ的斜率不存在，所以倾斜角α＝90.[跟踪训练] 2 （1）A 解析 利用斜率的定义计算（2） 0 解析 由斜率公式计算斜率例3 解 如图所示，由题意，知kPA＝＝－1，kPB＝＝1.(1)要使直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是k≤－1或k≥1.(2)由题意可知直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间，又PB的倾斜角是45，PA的倾斜角是135，所以α的取值范围是45≤α≤135.[跟踪训练] 3 解 如图所示.∵kAP＝＝1，kBP＝＝－，∴k∈(－∞，－]∪[1，＋∞)，∴45≤α≤120.例4 解 如图所示，由于点(x，y)满足关系式2x＋y＝8，且2≤x≤3，可知点P(x，y)段AB上移动，并且A，B两点的坐标可分别求得为(2，4)，(3，2)．由于的几何意义是直线OP的斜率，且kOA＝2，kOB＝，所以可求得的最大值为2，最小值为.例5 证明 ∵kAB＝＝2，kBC＝＝2，∴kAB＝kBC，∴A，B，C三点共线.[跟踪训练] 4 解 kAB＝＝，kAC＝＝，∵A，B，C三点共线，∴kAB＝kAC，即＝，∴m＝－6.【当堂达标】1. C 解析 ①②③正确．2. A 解析 由题意知，tan 45＝，得m＝2.3. 30 解析 k＝tan α＝，又0≤α＜180，故α＝30.4. (3，0)或(0，3) 解析 由题意知kPA＝－1，若P点在x轴上，则设P(m，0)，则＝－1，解得m＝3；若P在y轴上，则设P(0，n)，则＝－1，解得n＝3；故P点的坐标为(3，0)或(0，3)．5. 0<α≤90 解析 当m＝1时，倾斜角α＝90；当m>1时，tan α＝>0，∴0<α<90.故0<α≤90.6.解 (1)k＝＝3>0，所以倾斜角是锐角；(2)k＝＝－1<0，所以倾斜角是钝角；(3)由x1＝x2＝2得：k不存在，倾斜角是90；(4)k＝＝0，所以倾斜角为0.7．证明：由斜率公式，得kAB＝＝2，kAC＝＝2，∴kAB＝kAC，且AB与AC都过点A，∴直线AB，AC斜率相同，且过同一点A，∴A，B，C这三点在同一条直线上．高考数学：试卷答题攻略 一、“六先六后”，因人因卷制宜。
考生可依自己的解题习惯和基本功，选择执行“六先六后”的战术原则1.先易后难2.先熟后生3.先同后异先做同科同类型的题目4.先小后大先做信息量少、运算量小的题目，为解决大题赢得时间5.先点后面高考数学解答题多呈现为多问渐难式的“梯度题”，解答时不必一气审到底，应走一步解决一步，步步为营，由点到面6.先高后低即在考试的后半段时间，如估计两题都会做，则先做高分题;估计两题都不易，则先就高分题实施“分段得分” 二、一慢一快，相得益彰，规范书写，确保准确，力争对全 审题要慢，解答要快在以快为上的前提下，要稳扎稳打，步步准确假如速度与准确不可兼得的话，就只好舍快求对了 三、面对难题，以退求进，立足特殊，发散一般，讲究策略，争取得分 对于一个较一般的问题，若一时不能取得一般思路，可以采取化一般为特殊，化抽象为具体对不能全面完成的题目有两种常用方法：1.缺步解答将疑难的问题划分为一个个子问题或一系列的步骤，每进行一步就可得到一步的分数2.跳步解答若题目有两问，第一问做不上，可以第一问为“已知”，完成第二问 四、执果索因，逆向思考，正难则反，回避结论的肯定与否定 对一个问题正面思考受阻时，就逆推，直接证有困难就反证。
对探索性问题，不必追求结论的“是”与“否”、“有”与“无”，可以一开始，就综合所有条件，进行严格的推理与讨论，则步骤所至，结论自明理综求准求稳求规范 第一：认真审题审题要仔细，关键字眼不可疏忽不要以为是“容易题”“陈题”就一眼带过，要注意“陈题”中可能有“新意”也不要一眼看上去认为是“新题、难题”就畏难而放弃，要知道“难题”也可能只难在一点，“新题”只新在一处 第二：先易后难试卷到手后，迅速浏览一遍所有试题，本着“先易后难”的原则，确定科学的答题顺序，尽量减少答题过程中的学科转换次数高考试题的组卷原则是同类题尽量按由易到难排列，建议大家由前向后顺序答题，遇难题千万不要纠缠 第三：选择题求稳定做选择题时要心态平和，速度不能太快生物、化学选择题只有一个选项，不要选多个答案;对于没有把握的题，先确定该题所考查的内容，联想平时所学。