中古算书中的田地面积算法与土地制度2009-12-08 14:54:00 | 编辑： |【小 中 大 】 【 打印 】【关闭窗口 】 本文原刊《自然科学史研究》2009年10 月第28 卷第4期426-436 页中古算书中的田地面积算法与土地制度——以《五曹算经》“田曹”卷为中心的考察陈巍 邹大海*（中国科学院自然科学史研究所，北京，100010）摘 要关注了前人少有深入探究的一些中古实用算书的特点和相关社会制度背景通过对有关 社会经济史料和算书中的田地面积算题进行纵向和横向的比较与细密的分析，指出《五曹算经》中“田 曹”的面积计算法具有求多而不求精的特点，与北朝田制特别是均田制下出现频繁测量、分划田地的 急切需要有着密切的关系，《敦煌算书》、《夏侯阳算经》等书中田地面积计算法的特点，不仅与均 田制的盛衰，而且与整个社会的文化和数学的发展有关，其中后者还带有编者讲求学理和精简的意图 文章指出，社会因素不仅可以影响到数学讨论的对象，还可以影响到数学知识的本身关键词 五曹算经 敦煌算书 夏侯阳算经 面积计算法 均田制 中古数学与社会《五曹算经》［①］是“算经十书”的一种，一般认为由北周甄鸾所作，李淳风等为之作注［②］ 唐代史料中多有“《五曹》、《孙子》等十部算经” ［2］［8］［9］一类说法，表明此书是“算经十书”中较 受唐代官方重视的一部算书。
作为唐宋官方数学教育的教材，《五曹算经》代有刊刻传抄，受到历朝 很多数学家的重视，其历史影响不可低估另一方面，与十部算经中其他算书相比，《五曹算经》的 编排和卷名更显著地表明它服务于相应的社会经济制度因此，对《五曹算经》的研究有助于我们了 解中国数学史及相关社会背景问题然而，由于此书所载算题“解题方法都很浅近，数字计算不须要 分数的概念”（［5］， 99 页），而被视为“稍为有些落后的” ［10］，从数学史“内史”角度来看，学者 们容易认为其研究价值不高此外，该书分为“田曹”、“兵曹”、“集曹”、“仓曹”、“金曹” 五卷，每卷标题后又都有李淳风所作题解，似乎很容易就能把各卷算题同当时行政事务对应起来所 以，以往的数学史论著往往仅注意它在算法上粗略的一面［4］［11］对于算题的社会背景，论说也很简略 粗疏，还出现了一些误解［③］通过仔细的比勘，我们发现《五曹算经》与南北朝史事有紧密联系认真借鉴历史学界的有关研 究成果，详细考察书中的内容与当时社会、经济、制度之间的联系，不仅有助于我们理解《五曹算经》 这部实用算书本身，亦可为了解中古社会史提供新的信息而结合社会背景考察《五曹算经》的数学 形态，并与其前后的数学著作相比较，则有助于了解中国古代实用数学的发展脉络和特点。
由于《五曹算经》全书涉及的史事和问题很多，本文只拟以该书“田曹”卷 为中心，结合多种社会经济史料与数学史料，对有关问题做较为深入系统的 考察1 对几部算书中各种形状田地面积计算的比较田曹是南北朝时期地方各级行政机构中常见的部门［13］《五曹算经》“田曹”卷共19 题，都 是计算某种形状的田地面积李淳风题解“生人之本，上用天道，下分地利，故田曹为首”，从算书 编排次序上反映了田土和农业在古人心目中的重要地位与宋代以前其它几部涉及田地面积计算的算 书《九章算术》［④］、《孙子算经》［⑤］、《张丘建算经》［⑥］、《敦煌算书》“均田法”［⑦］［19］ 及传本《夏侯阳算经》［⑧］中同类算题内容进行比较，可发现描述田地形状的术语种类存在较大差别， 这些术语可大致分为四类，即四边形类、三角形类、曲边形类和六边梯形类，为方便比较我们列表如 下（在表中分别以I、II、III、IV代指前述四类术语）：九章算术孙子算经张丘建算经五曹算经敦煌算书夏侯阳算经方田统称方田有有有有有直田［⑨］有有有墙田有I邪田有萧［⑩］田有箕田有有有有四不等田有有有I/II牛角田有有II圭田有有有有II/III覆月田有四边形类中又可分几种类型。
方田与直田从《五曹算经》开始分别指正方形与一般矩形，其 面积计算方法为广、从相乘；墙田也是正方形，《五曹》给出的问题是已知周长求其面积，方法是将 周长“以四除之，自相乘”[11] ；邪田、箫田、箕田所利用的都是梯形面积计算公式，即“并二广， 半之，以从乘之”；四不等田则是边长各不相等的四边形，其面积计算方法是“并对边之长，半之， 以二位相乘”牛角田在《五曹算经》中忽略了一条短边的长度，被作为三角形（或者说《五曹》只 考虑属于三边形形状的牛角田情形）来计算，而在《敦煌算书》“均田法”之中则被作为四不等田来 计算覆月田、弧田在《五曹算经》中被近似化为三角形进行计算，但在《九章算术》和传本《夏侯 阳算经》中，都用更精确的“以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一”的方法来计算弧田的面积；《张 丘建算经》也根据同样的公式设置了逆问题腰鼓田、鼓田和蛇田都可以视为由分居于一条公共底边 两侧的两个梯形（其腰可以是直线段，也可以是曲线段）组成的六边形（我们姑且称为六边梯形） 前两者都是两头广相等，但腰鼓田的中央广短，而鼓田中央广长；蛇田的三广互不相同，中央广即“胸 广”最长，“头广”次之，“尾广”最短这三种田的面积计算法为“并三广，以三除之，以从乘之”。
这是把它化为其广为三广的平均值的长方形来处理这种处理在多数情况下有较大的误差，所以后来 杨辉在《田亩比类乘除捷法》[21中]要批评它，并提出相当于把图形化为两个梯形来求和的改进方法从表中可以看到，相比时代较早的几部算书尤其是《孙子算经》与《张丘建算经》，《五曹 算经》对各种形状田地面积的计算法丰富了许多，尤其是第I （四边形）和第IV （六边梯形）类更 是如此而对曲边形田地面积的计算，《五曹算经》比起以前则没有任何发展，反而由于把弧田近似 地作三角形处理，导致计算精确度下降2 《五曹算经》“田曹”卷与北朝土地制度为什么《五曹算经》较之前算书会增加这么多种形状（特别是四边形和六边梯形）的田地面积 计算法，而又将曲边形类图形近似地化为三角形来计算面积，并有不少精确度并不高的其他算法呢？ 答案是，这是与北朝新推行的土地制度下，地方行政机构频繁丈量土地面积的实际需求密切相关的 其中包含以下几个要素：国家对土地的有力管理使得这种计算成为一种日常行政工作；新的土地分配 制度增加了计算土地面积的工作量；在实际操作中会经常遇到要计算更多种形状田地面积的情况北魏初年推行“计口授田”制，实际上是一种民屯［22］，其实施办法可见于太平真君五年（444 年）下令“有牛家与无牛家一人种田二十二亩，偿以私锄功七亩，如是为差；至与小、老无牛家种田 七亩，小、老者偿以锄功二亩。
皆以五口以下贫家为率各列家别口数，所劝种顷亩，明立簿目［23］， 太和元年（477 年）又规定“一夫制治田四十亩，中男二十亩［23］，144 页）这种“授田”制 度可以追溯到战国时期的魏、秦等国［24］《九章算术》记载了多种形状田地的面积计算方法，与春秋 战国时代统计土地数量、收取地租、大量开垦土地、土地买卖等活动需要测量多种形状的土地面积有 密切的关系［25］，也与当时的授田制有一定的关系由于当时数学有理论化的倾向，这就引导人们追求 方法的普遍性并使获得普遍性和精确性高的算法成为可能，而在当时适应变法求强的各种要求严格的 法律和规章制度，也使寻求精确度高的算法成为必要（［25］，127-161 页，［26］），因此《九章 算术》有多种表述上具有普遍性、精度较高的田地面积计算，是不奇怪的晋代也颁布了诸如“男子 一人占田七十亩，女子三十亩”［27］之类占田、课田等土地制度但东汉至六朝时期，国家无力遏制豪 族兼并土地，行政工作中计算土地面积的需求就降低了，这一时期对土地的丈量更多体现在买卖田地 的契约中，但在晋代以前，地契中对土地各项信息的记录并不规范，各项信息往往记载非常模糊［28］ 故从实用角度而言，成书于晋代的《孙子算经》并无详细记载田地面积的计算方法的迫切需要。
同样 理由也适用于反映5 世纪前期中原地区社会经济状况的《张丘建算经》，因为北魏前期授田制基本只 推行于边境及首都平城附近［22］但从北魏开始，国家控制土地的力量又增强了，由此就能更有力地推 行朝廷颁布的土地条令在这一背景下，有的算书中计算田地面积的题目应当会重新增多不过“授 田”制更多的是对前朝制度的继承，将田地面积计算方法恢复到《九章算术》的数量或许就够了，为 什么《五曹算经》中会增加这么多描述土地形状的术语和相应的算法呢？这种情形应该与均田制有密切关系均田制初行于北魏［12］，后代累有采用，到唐中后期废止 均田制以长期战乱造成的大量无主田、荒地为前提，虽少有触犯大官僚和士家大族的利益，但为广大 下层农民获得合法土地提供了一定的保证，而且涉及的地域甚广北魏均田制的标志性事件是太和九 年（485 年）颁布均田令（［23］， 2853-2855 页），规定了农民在各种情况下受露田、桑田的数 量，其中数字最大的是“诸男夫十五以上，受露田四十亩，妇人二十亩，奴婢依良丁牛一头受田三 十亩，限四牛所授之田率倍之，三易之田再倍之，以供耕 ［13］及还受之盈缩”，男夫受“桑田” 二十亩而在人多地少的“狭乡”，如农民不愿迁移，所受田地数量就会少些。
由于是政府主持，地 方籍帐中出现大量授田及还田的记录，都对各块土地的标的、“四至”及面积有详细描述［14］算书 中对田地面积计算法求多求全，与这种由国家对土地管理的增强带来的规范化不无关系另一方面， 在均田制下，农民死后或年逾七十原则上要将所受露田归还给政府，实际操作中往往采取更灵活的方 法，如后代可以继承前代所受桑田作为露田（“倍田”），从而使部分田地的还受在家庭内部解决等 等但无论还田采取何种形式，对于重新受田，官府依然要在户籍中进行记录而既然对田地的各项 信息都要详细记载，那么也应对田地面积进行丈量这与此前少有涉及还田的土地制度相比，丈量田 地面积不但在工作量上大大增加，而且成为地方行政部门的一项日常工作均田制对于土地面积的计算带来的具体影响，可概括为两方面一方面，对土地面积的计算更 频繁了，最初可能只需把大块土地划分成小块授予农民，太和九年令规定民户所受田地“不得隔越他 畔”（［23］，2854 页），即每户所受田地应连成一片，但由于这些田地带有桑田、露田等不同性 质，往往又被细分为若干段经过农民还田官府再授田，或经过多次后代分割继承前代所分桑田等过 程，这些小块土地可能会变得越来越细碎［15］，而每块土地的面积都要被丈量出来，因此不仅开始时 计算量大，而且频繁的计算会长期出现。
另一方面，由于土地被划分为细碎的小块，由于地貌等原因， 就容易出现各种形状不规则的田地［16］为应付均田制带来的划分、丈量田地面积的繁重计算量，需要编辑相应的算书，提供形状足够多 的田地的计算法，以便地方官吏碰到某种形状的田地，就能马上依术计算《五曹算经》“田曹”卷 当以为适应这种需要而编辑的算书为原型田曹共有19个问题涉及19块田，其中面积超过1顷（100 亩）的只有3 块（最大的 四不等田土地方位通常用“四至”来描述，如果土地面积较大，对丈量精确度又要求不高， 顷60 亩奇100 步）其他的田地中，超过北魏实行均田法时一个适龄 男性劳动力所受桑田 20 亩的只有两块，大于 10 亩小于 20 亩的田 5 块，大于 1 亩小于 10 亩的田 地6 块，低于1亩的田地3块，其中最小的为63步考虑到北魏时还有一些。