数学 试题卷第 1页（共 6页）嘉兴市普通高中教师学科（专业）素养测试数学试卷（2023.8）考生注意：1答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸上规定的位置2答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸上的相应位置规范作答，在本试题卷上的作答一律无效一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1设集合2|3|xxA，2log|2xxB，则BAA)41(，B)50(，C)5(，D)1(，2复数 z 满足2)i1(1iz（i为虚数单位），则|1|zA2B2C5D103在平行四边形ABCD中，ABAE21，CDCF31，G为EF的中点，则DGAADAB21127BADAB2141CADAB41125DADAB211254设数列 na的前n项和为nS，)(231NnSSnn，则“21a”是“na为等比数列”的A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件5中国是茶的故乡，也是茶文化的发源地，茶文化是把茶、赏茶、闻茶、饮茶、品茶等习惯与中国的文化内涵相结合而形成的一种文化现象，具有鲜明的中国文化特征其中数学 试题卷第 2页（共 6页）沏茶、饮茶对水温也有一定的要求，把物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是1C，空气的温度是0C，经过 t 分钟后物体的温度为，满足公式0.25010et现有一壶水温为 80的热水用来沏西湖龙井，由经验可知茶温为 40时口感最佳，若空气的温度为 32，则从沏茶开始，若要饮用口感最佳大约需要（参考数据：1.0991n3，0.6931n2）A7.05 分钟B7.17 分钟C7.25 分钟D7.27 分钟6已知)2tan23(tan23cos2cos)(xxxxxf，则)78()66()42()6(ffffA21B41C81D1617已知四棱锥PABCD的底面是边长为 4 的正方形，3 PDPC，45PCA，则PBC的面积为A2B22C23D248定义在)11(，的函数)(xf满足)1()()(xyyxfyfxf，且当)01(，x时，0)(xf，则A)21()51()31(fffB)21()51()31(fffC)21()41()31(fffD)21()41()31(fff二、选择题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分9下列说法中正确的是A数据 8.5，9.4，10.7，9.6，8.7，10.2，10.9 的 70 分位数为 10.2B已知随机变量X服从),(pnB，若10)(XE，30)2(XD，则41pC在经验回归分析中，如果两个变量的相关性越强，则相关系数r就越接近于 1D若3.0)|(ABP，3.0)(BP，则事件BA，相互独立数学 试题卷第 3页（共 6页）10已知正实数yx,满足1lnlnyx，则A0)1)(1(yxB2exy 或2 exyCexyD当1x时，3lnyx11 在正三棱柱111ABCABC-中，11ABAA，点P满足1BPBCBB ，其中0,1，0,1，则A当1时，1AB P的周长为定值B当1时，三棱锥1PABC的体积为定值C当12时，有且仅有一个点P，使得1APBPD当12时，有且仅有一个点P，使得1AB 平面1AB P12 已知抛物线xyC42：，)0,1(M，过焦点F作不垂直于x轴的直线l与C交于BA,两点，P为AB中点，Q为x轴正半轴上一点，则A若|AFAM，当取到最大值时，AMF的面积为 2B|3|BFAB 的最小值为29C|AFMBBFMAD若PQAB，则|)|(|QFMBMBMABF三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
135)11(xx的展开式中含有3x的系数为14已知直线)20(2sincosyxl：与圆1)4()3(22yxC：相切，则满足条件的的个数是个15已知函数 2cos()f xx的部分图像如图所示，则满足条件74()()043f xff xf的最小正整数x为第 15 题图数学 试题卷第 4页（共 6页）16 已知椭圆1422 yxC：的左焦点为F，直线4xl：，过点)0,1(M的直线m交C于BA,两点，lAA 1于1A，lBB 1于1B，记11BMA，1FAA，1FBB的面积分别为S，1S，2S，则21SSS四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（本题满分 10 分）如图，已知四边形ABCD是矩形，PA面ABCD，2 PAAB，3BC，点NM，分别段CDPB，上，且满足tNCDNMPBM（1）是否存在实数t，使得直线MN同时垂直直线PB和直线DC，若存在，请写出一个符合条件的t的值，若不存在，请说明理由；（2）若1t，求直线MN与平面PCD所成角的正弦值18（本题满分 12 分）已知等差数列na与正项等比数列nb，满足311 ba，424bba，1463 ab（1）求数列na和nb的通项公式；（2）设为偶数为奇数nbnaacnnnn,42，求数列nc的前n项和nTABCDNP第17题图M数学 试题卷第 5页（共 6页）19（本题满分 12 分）已知锐角ABC的内角,A B C的对边分别为,a b c，且满足Cbabcos2（1）求证：BC2；（2）求caBcos1的取值范围20（本题满分 12 分）某同学在连续 3 次投掷骰子都得到 1 点朝上的结果时，他产生了一个疑问：在连续多少次 1 点朝上时，是否该合理怀疑骰子是不均匀的？带着这个疑问，他研究了以下问题：有两个骰子，一个是正常的、均匀的 1 号骰子，另一个是不均匀的 2 号骰子经测试，投掷 2 号骰子得到 1 点朝上的概率为31（1）若等可能地选择其中一个骰子，连续投掷 3 次，在得到都是 1 点朝上的结果的前提下，求这个骰子是 2 号骰子的概率；（2）若每次都等可能地选择其中一个骰子，投掷了 8 次，在得到都是 1 点朝上的结果的前提下，设这 8 次中有X次用了 2 号骰子的概率为)(XP，试问当X取何值时)(XP最大？数学 试题卷第 6页（共 6页）21（本题满分 12 分）已知函数xxaxxf3cossin)(，)2,0(x（1）当8a时，讨论)(xf的单调性；（2）若xxf2sin)(恒成立，求实数 a 的取值范围22（本题满分 12 分）已知双曲线)0(1222bbyxC：的左顶点为A，过点A作两条渐近线的垂线，垂足分别为M，N，且43|ANAM（1）求双曲线C的方程；（2）P，Q是C右支上的两动点，若直线AP与AQ垂直，求点A到直线PQ的距离d的取值范围数学 参考答案第数学 参考答案第 1页（共页（共 8页）页）嘉兴市普通高中教师学科（专业）素养测试数学答案（2023.8）（2023.8）一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1B2A3A4C5B6D7D8D二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分9ABD10ABD11BD12AC三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分135144152162四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（本题满分 10 分）如图，已知四边形ABCD是矩形，PA面ABCD，2 PAAB，3BC，点NM，分别段CDPB，上，且满足tNCDNMPBM（1）是否存在实数t，使得直线MN同时垂直直线PB和直线DC；（2）若1t，求直线MN与平面PCD所成角的正弦值解：（1）因为PA面ABCD，所以PAAD，又因为ABAD，所以AD面PAB，2 分又/CDAB，所以直线AD同时垂直直线PB和直线DC，ABCDNP第 17 题图M数学 参考答案第数学 参考答案第 2页（共页（共 8页）页）显然直线MN与直线AD不平行，所以不存在实数t，使得直线MN同时垂直直线PB和直线DC；4 分（2）如图建立空间直角坐标系，则)1,0,1(M，)0,3,1(N，)1,3,0(MN，6 分)0,0,2(DC,)2,3,0(DP,则平面PCD的法向量)3,2,0(m，8 分所以130130313103|sinmMNmMN，即直线MN与平面PCD所成角的正弦值为130130310 分18（本题满分 12 分）已知等差数列na与正项等比数列nb，满足311 ba，424bba，1463 ab（1）求数列na和nb的通项公式；（2）设为偶数为奇数nbnaacnnnn,42，求数列nc的前n项和nT解：（1）设等差数列na的公差为d，正项等比数列nb的公比为q，则由已知得14)53(333)33(23dqd，所以32qd2 分所以nnnbna3,12.4 分（2）为偶数为奇数nnnncnn,3,)52)(12(4，即为偶数为奇数nnnncnn,3,5211216 分当n为偶数时，ABCDNP第 17 题图Mxyz数学 参考答案第数学 参考答案第 3页（共页（共 8页）页）91)31(9)321121111717131()()(42131nnnnnnccccccT241932183893)32131(22nnnn9 分当n为奇数时，52112124191218311-nnncTTnnnn2419521831nn即为偶数，为奇数nnnnTnnn241932183,2419521832112 分19（本题满分 12 分）已知锐角ABC的内角,A B C的对边分别为,a b c，且满足Cbabcos2（1）求证：BC2；（2）求caBcos1的取值范围解：因为Cbabcos2，所以CBABcossin2sinsin，2 分)sin(cossincossincossin2)sin(sinBCCBBCCBCBB因为在锐角ABC中，所以BCB，即BC2；4 分（2）BBBCABcaB2sin3sincos1sinsincos1cos16 分BBBBBBBcossin2sin2coscos2sincos1BBBBBcos21cos4cos21cos4cos122BBcos21cos28 分因为锐角ABC，所以462322020BBBB数学 参考答案第数学 参考答案第 4页（共页（共 8页）页）所以)23,22(cosB10 分所以caBcos1)334,223(cos21cos2BB12 分20（本题满分 12 分）某同学在连续 3 次投掷骰子都得到 1 点朝上的结果时，他产生了一个疑问：在连续多少次 1 点朝上时，是否该合理怀疑骰子是不均匀的？带着这个疑问，他研究了以下问题：有两个骰子，一个是正常的、均匀的 1 号骰子，另一个是不均匀的 2 号骰子经测试，投掷 2 号骰子得到 1 点朝上的概率为31（1）若等可能地选择其中一个骰子，连续投掷 3 次，在得到都是 1 点朝上的结果的前提下，求这个骰子是 2 号骰子的概率；（2）若每次都等可能地选择其中一个骰子，投掷了 8 次，在得到都是 1 点朝上的结果的前提下，设这 8 次中有X次用了 2 号骰子的概率为)(XP，试问当X取何值时)(XP最大？解：（1）设事件 A=3 次 1 点朝上，事件 B=选择 2 号骰子，则3)31(21)(ABP，2 分3)61(21)(BAP，所以33)61(21)31(21)()()(BAPABPAP4 分所以98)61()31()31()61(21)31(21)31(21)()()|(333333APABPABP；5 分（2）设事件28号骰子次选次中有kBk，18点朝上次D，则88)21()(kkCBP，888878188808)31()21(31)61()21()61()21()(CCCDP数学 参。