附录A拉普拉斯变换及应用拉普拉斯变换(The Laplace Transfrom)(简称拉氏变换)是一种函数的变换，经变换后， 可将微分方程式变换成代数方程式，并且在变换的同时将初始条件引人，避免了经典解法中 求积分常数的麻烦，因此这种方法可以使微分方程求解的过程大为简化在经典控制理论中，自动控制系统的数学模型是建立在传递函数基础之上的，而传递函 数的概念又是建立在拉氏变换的基础上的，因此，拉氏变换是经典控制理论的数学基础 一、 拉普拉斯变换定义若将实变量t的函数f (t)，乘以指数函数e -st (其中s = G + j①，是一个复变量)，对其在0 g区间进行积分，就得到一个新函数F (s)，即F(s) = L[ f (t)] = J g f (t)e-stdt (A—l)0拉普拉斯变换定义成立条件是等号右边的积分存在(收敛)符号L[f (t)]表示对函数f (t)进行拉普拉斯变换拉普拉斯变换的结果F(s)是复变量s的函数可见，拉普拉斯变换是将实变量函数f (t)转变为复变量函数F(s)拉普拉斯变换是一种单值变换，即f (t)和F(s)之间具有一对应的关系通常称f (t)为原函数，F(s)为象函数。
由拉普拉斯变换的定义式，可以从已知的原函数求取对应的象函数例2-1求单位阶跃函数l(t)的象函数.解： 单位阶跃函数是在t = 0时刻，幅值从0跳变为1的函数数学表达式为「0, t < 01(t)斗[1, t > 0根据式(A-1)有. 1 . 1F(s) = L[1(t)] = J g1(t)e-stdt = —— e-st |g =0 s 0 s例2-2求单位冲激函数5 (t)的象函数1t=0解：L[5 (t)] = ^8 5 (t )e - stdt = e-st0 -例2-3求指数函数f (t) = e—t的象函数，其中a是常数 解：F(S)= L[e-at ] = J® e—at e—st dt =^8 e—( s+a)t dt00令 s = s + a1则与求单位阶跃函数同理，就可求得F (s) = L[e - at ]=—s 1=1s+a例 2-4 求单位斜坡函数的象函数.解： 单位斜坡函数的定义式为r(t)由式(A-l)有s2F (s) = L[t] = J 8 te-stdt = — — e-st0s实用上，常把原函数和象函数之间的对应关系列成对照表的形式通过查表，十分方便。
常用函数的拉普拉斯变换对照表见表A-1表 A-1 常用函数拉普拉斯变换对照表序号原函数f (t)象函数F (s)1<5(t)121(t)13e — a ts + a4tnn!sn+15te - a t(s + a)26t ne - a tn!(s + a) n+17sin® ts 2 +rn 28cos® tss 2 +rn 291(e a t - e 0『)p _a1(s + a)(s + P)101P (0 e a t - a e 0 0p — as(s + a)(s + P)111—(1 - e- a t) a1s (s +a)121「1 1c [1 + c (0 e a t - a e 0 t)]ap a _ p1s (s + a)(s + P)13e- a t sin® t(s + a )2 +0 214e- a t cos® ts + a(s + a )2 +0 2151(e a t + a t - 1) a 21s2(s +a )16i ®n e_翎 sinw Jl-g2t<1 弋 2 n0 2 ”卞 n (0〈g〈1)s 2 + 2go s + 0 2n n17_ 1 : , e_純 sing Ql-g2t -q)迪仗2 nJl-g 2T = arctg 匕gs (0〈g〈1)s 2 + 2go s + 0 2n n181 11 ——. e-g^n sing Jl -g21 +q)Jl 仗 2 nJl - g 2T = arctg 匕gO 2 -- (O〈g〈Ds(s2 + 2go s + 02) n n二、 拉普拉斯变换的主要运算定理常用函数的拉普拉斯变换可从对照表 A-1 查到，但两个函数代数和的拉氏变换，或一个函数导数的拉氏变换，就无法直接查表得到。
根据定义式(A-1)求，不够方便而根据这 里介绍的主要运算定理，结合查表，就可方便地求得主要运算定理共有9个，此处给出本课程最常用的4 个定理这些运算定理均可通过拉 氏变换定义式加以证明本书略去了证明过程一) 叠加定理 两个函数代数和的拉氏变换等于两个函数拉氏变换的代数和即L[f (t) 土 f (t)]二 L[f (t)] 土 L[f (t)]1 2 1 2 上述结论可推广到多函数代数和的情况二) 比例定理函数的K倍的拉氏变换等于该函数的拉氏变换的K倍，其中K为常数即L[Kf (t)]二 KL[f (t)](三) 微分定理设 F(s)二 L[f (t)]，则有L[畔]=sF (s) - f (0)dtL[df) ] = s 2 F (s) - sf (0) - f '(0)dt2L[dnf (t) ] = snF(s) - sn-1 f (0) - sn-2f '(0) f (n-1) (0)dtn式中(0)，f'(0)，・・・f (n T)(0)为函数f (t)及其各阶导数在t = 0时的值当 f (0) = f '(0)=…二 f (n-1)(0)二 0 时，有L[攀]=sF (s)dtL[ ] = snF (s)dtn(四) 积分定理设 F(s) — L[f (t)]，则有L[Jf (t )dt ] =1F (s) +1 f(-1)(0)ssL[J] f (t )dt 2 =丄 F (s) + 丄 f(-i)(0) +1 f( -2)(0)s2 s2 sL[JJ... J f (t )dtn ]=丄 F (s) + — f (-1) (0) + …+ - f (- n) (0) sn sn s式中，f(-1) (0), f(-2) (0),…f(-n) (0)为f (t)的各重积分在t二0时的值。
如果 f -1 (0) = f (-2) (0)=…二 f (- n) (0)，则有L[ J f (t )dt ] =1F (s)sL[JJ f (t )dt 2]=丄 F (s)s2lJJ.J f (t )dtn =丄 F (s)sn(五) 终值定理原函数在t X 时的值，可以通过将象函数乘以s 后,求S T 0的极限得到，条件是等 式两边的极限存在lim f (t) = lim sF (s)t S s T0终值定理在分析研究系统的稳态性能时经常用到例2-5求函数f (t)二Kt的拉氏变换.解：已知t的象函数为1L(t)—-s2根据比例定理， Kt 的拉氏变换为F (s)二 L[Kt]二 KL[t]二—s2例2-6求函数f (t)二1(t) + e-at的拉氏变换.11解：已知1(t)和e-at的拉氏变换分别为-和 ，根据叠加定理，f (t)的拉氏变换可求得s s + a如下F (s) = L[1(t)] + L[e - at ] = - + 丄=■(2竺 s s + a s (s + a)1例 2-7 已知 L[& (t)]二一，求 L[5 (t)]、L[6 '(t)].s解：由§(t)= ，根据微分定理，有dtL[5(t)]二 L[]sL[8(t)]-8(t)|dt t=o.L[8 '(t)]二 s-1 -§(t)|t=0111例2-8求 、一、一的原函数。
s2 s3 s n根据积分定理，有1解：由 L[8 (t)]=,所以同理I t 8 (t)dt 二 t8 (t),0L[t8 (t)] = L I t-08 = L〔8 (t)]=-s s 2t8 (t )L-1三、118 (t) 1=L2L-1LI t t8(t)dt] = 1 [/8(t)]=—0 」s s3拉普拉斯反变换s3L-1tn-18 (n -1)!tn-1(n — 1)!8 ⑴t2=习8 (t)(t)=丄sn拉普拉斯反变换的公式为sf (t) = L-i[ F (s)]=12 njj c+j f(s)estdsc —js式中 L—1 ——表示拉普拉斯反变换的符号 通常用部分分式展开法将复杂函数展开成有理分式函数之和，然后由拉氏变换表一查出 对应的反变换函数，即得所求的原函数 f (t) .B(s)在自动控制理论中，常遇到的象函数是 s 的有理分式，即r( ) B(s)F (s)=A(s) (s — s )(s — s )…(s — s )1这种形式的原函数一般不能直接通过查表求得象函数需要用部分分式展开法，将分子、分母多项式化成一些简单分式之和，F (s) = B(s)=A( s)CC1 + 2s —s s—s12C+・・・+ ns—sn而这些分式的原函数可由查表得到。
例2-9已知象函数F(s) =(2S + a)，求原函数f (t) s (s + a)解 首先用部分分式展开法，将所给象函数展开CCF (s ) = Ci + -C^ s s +a其中 C ， C 是待定系数，可用通分的方法求得 12C C C(s+a)+C s—1 + 1 = —i 2—s s + a s(s + a)将上式分子和已知象函数的分子比较，得C + C 212C 11从而可确定 C C 1. 即1211 F (s ) = - + — s s+a通过查表可得=1(t) + e-atf (t) = L-i 1 + 丄s s + a四、 用拉普拉斯变换方法求常微分方程的解 通过例子说明方法例 2-10 已知一阶系统的微分方程为T 学 + c (t) = r (t)dt式中r(t)为输入信号，c(t)为输出信号，T为时间常数，系统的初始条件为零求系统在单位阶跃输入信号下的输出(称为单位阶跃响应)解: 对微分方程两边进行拉氏变换，(用到微分定理、比例定理和叠加定理)得TsC(s)+C(s)= R(s)1因为r(t) = 1(t)，故有R(s)=，代入上式有s 1(Ts + 1)C (s)=-s由上式解出C(s)，得1 C CC(s) = E = 丁+TT+1应用通分的方法可求得待定系数：Ci =】，C2 =-T ，代入上式有C (s)=--丄-s Ts +1对上式进行拉氏反变换，查表A-1得c(t) = 1 — e-tT例 2-11 求下列二阶系统的单位阶跃响应。