北师大版九年级上相似三角形[知识点练习例题]......学生编号学生姓名授课教师指导学科九年级数学教材版本上教课题名称相似三角形课时进度总第（）课时授课时间7月28日授课目的掌握相似三角形的看法、性质及判断方法，能够灵巧应用相似三角形的性质和判断方法方法解决实诘问题重点难点重点：相似三角形的看法、判判定理和相似三角形的性质难点：如何依照问题的结论，在较复杂的图形中找到所要证明的相似三角形．同步授课内容及授课步骤知识点概括：1、三角形相似的判断方法（ 1）定义法：对应角相等，对应边成比率的两个三角形相似 2）平行法：平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延伸线)订交，所构成的三角形与原三角形相似 3）判判定理1：假如一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似简述为：两角对应相等，两三角形相似 4）判判定理2：假如一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比率，并且夹角相等，那么这两个三角形相似简述为：两边对应成比率且夹角相等，两三角形相似 5）判判定理3：假如一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比率，那么这两个三角形相似简述为：三边对应成比率，两三角形相似。
6）判断直角三角形相似的方法：①以上各样判断均合用②假如一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比率，那么这两个直角三角形相似③直角三角形被斜边上的高分红的两个直角三角形与原三角形相似 直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比率中项每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比率中项如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高，则有射影定理以下：（ 1）（AD）2=BD·DC，2（2）（AB）=BD·BC，（3）（AC）2=CD·BC学习参照......注：由上述射影定理还可以够证明勾股定理即（AB）2+（AC）2=（BC）2典型例题：例1如图，已知等腰△2ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D，CG‖AB，BG分别交AD，AC于E、F，求证：BE＝EF·EG证明：如图，连接EC，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠ABC＝∠ACB，AD垂直均分BC∴ BE＝EC，∠1＝∠2，∴∠ABC-∠1＝∠ACB-∠2，即∠3＝∠4，又CG∥AB，∴∠G＝∠3，∴∠4＝∠GCEEF又∵∠CEG＝∠CEF，∴△CEF∽△GEC，∴EG=CE22∴EC＝EG·EF，故EB=EF·EG【解题技巧点拨】此题必定综合运用等腰三角形的三线合一的性质，线段的垂直均分线的性质和相似三角形的基本图形来获取证明．而其中利用线段的垂直均分线的性质获取BE=EC，把原来处在同一条直线上的三条线段BE，EF，EC变换到相似三角形的基本图形中是证明此题的重点。
FBFD例2已知：如图，AD是Rt△ABC斜BC上的高，E是AC的中点，ED与AB的延伸线订交于F，求证：BA=AC证法一：如图，在Rt△ABC中，∵∠BAC＝Rt∠，AD⊥BC，∴∠3＝∠C，又E是Rt△ADC的斜边AC上的中点，学习参照......1∴ED=2AC＝EC，∴∠2＝∠C，又∠1＝∠2，∴∠1＝∠3，FBBD∴∠DFB＝∠AFD，∴△DFB∽△AFD，∴FD＝AD（1）BDBA又AD是Rt△ABC的斜边BC上的高，∴Rt△ABD∽Rt△CAD，∴AD=AC（2）FBBAFBFD由（1）（2）两式得FD=AC，故BA=ACFBFD证法二：过点A作AG∥EF交CB延伸线于点G，则BA=AG（1）∵E是AC的中点，ED∥AC，∴D是GC的中点，又AD⊥GC，∴AD是线段GC的垂直均分线，∴AG＝AC（2）FBFD由（1）（2）两式得：BA=AC，证毕解题技巧点拨】BD此题证法中，经过连续两次证明三角形相似，获取相应的比率式，此后经过中间比“AD”过渡，使问题得证，证法二中是运用平行线分线段成比率定理的推论，三角形的中位线的判断，线段的垂直均分线的判断与性质使问题得证．一、如何证明三角形相似例1、如图：点G在平行四边形ABCD的边DC的延伸线上,AG交BC、BD于点E、F，则△AGD∽∽。
AADAD42F3DBE1CGBCBEFC例2、已知△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD是角均分线，求证：△ABC∽△BCD例3：已知，如图，D为△ABC内一点连接ED、AD，以BC为边在△ABC外作∠CBE=∠ABD，∠BCE=∠BAD求证：△DBE∽△ABC学习参照......例4、矩形ABCD中，BC=3AB，E、F，是BC边的三均分点，连接AE、AF、AC，问图中能否存在非全等的相似三角形？请证明你的结论二、如何应用相似三角形证明比率式和乘积式例5、△ABC中，在AC上截取AD，在CB延伸线上截取BE，使AD=BE，求证：DFAC=BCFEADDFEBKCA1 E2BMC例6：已知：如图，在△0ABC中，∠BAC=90，M是BC的中点，DM⊥BC于点E，交BA的延伸线于点D22ME求证：（1）MA=MDME；（2）AEAD2MD例7：如图△ABC中，AD为中线，CF为任向来线，CF交AD于E，交AB于F，求证：AE：ED=2AF：FB三、如何用相似三角形证明两角相等、两线平行和线段相等例8：已知：如图E、F分别是正方形ABCD的边AB和AD上的点，且EBAF1求证：∠AEF=∠FBDABAD3FDDEDAACRCCE1GASQEFOF2EPO3DACABBFGBBDBC学习参照......例9、在平行四边形ABCD内，AR、BR、CP、DP各为四角的均分线，求证：SQ∥AB，RP∥BC例10、已知A、C、E和B、F、D分别是∠O的两边上的点，且AB∥ED，BC∥FE，求证：AF∥CD例11、直角三角形ABC中，∠ACB=90°，BCDE是正方形，AE交BC于F，FG∥AC交AB于G，求证：FC=FG例12、Rt△ABC锐角C的均分线交AB于E，交斜边上的高AD于O，过O引BC的平行线交AB于F，求证：AE=BF课后作业学生姓名所属年级九年级指导学科数学任课教师作业时限90分钟部署时间月日一、填空题1.已知：在△ABC中，P是AB上一点，连接CP，当满足条件∠ACP=或∠APC=或AC2=时，△ACP∽△ABC．2.两个相似三角形周长之比为4∶9，面积之和为291，则面积分别是。
3.如图，DEFG是Rt△ABC的内接正方形，若CF＝8，DG＝42，则BE＝4．如图，直角梯形ABCD中，AD‖BC，AD⊥CD，AC⊥AB，已知AD＝4，BC＝9，则AC＝5．△ABC中，AB＝15，AC＝9，点D是AC上的点，且AD=3，E在AB上，△ADE与△ABC相似，则AE的长等于学习参照......6.如图，在正方形网格上画有梯形ABCD，则∠BDC的度数为7.△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BC＝1，BD均分∠ABC交于D，则BD＝，AD＝，设AB＝x,则对于x的方程是.8．如图，已知D是等边△ABC的BC边上一点，把△ABC向下折叠，折痕为MN，使点A落在点D处，若BD∶DC＝2∶3，则AM∶MN=二、选择题AD19. 如图，在正△ABC中，D、E分别在AC、AB上，且AC=3，AE=BE，则有（）A．△AED∽△BEDB．△AED∽△CBDC．△AED∽△ABDD．△BAD∽△BCD10．如图，在△ABC中，D为AC边上一点，∠DBC＝∠A，BC=6，AC＝3，则CD的长为（）35A.1B.2C.2D.2学习参照......11．如图，□ABCD中，G是BC延伸线上一点，AG与BD交于点E，与DC交于点F，则图中相似三角形共有（）A．3对B．4对C．5对D．6对12．P是Rt△ABC的斜边BC上异于B、C的一点，过点P作直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，满足这。