定义3设/(x),xeECcRr.E=LJB,B,B,..,只两两不交,使闵一J=coreBui=L2,...,8.则称T是E上的简单函数例.区间[0,1]上的狄利克雷函数区]…X是有现数是简单函精20儿怀经是简单函数注1可测集上的简单丽数是可测丽数证明:用定理3(2) 注2.设jg都是5上的简单函数,则(\丁ffgzglxh/Jstahs〔g(x)蓉0),nlaX壹/`[工〉,g〔亢)_『】nln哥/`[茅)『g(工′_}】c]贾(X)仆/'(X叶捌蜇足E上的简单函数. 注3.设八劝足E=U解上的简申阀数，则门/〔x)二量唧属〔x),x…互其巾卿(x)是的特征函数.司1注4可测函数与简单函数有着密切的联系,见P.82定理7. 引理设是可测集,一(x)和g(xj)是王上的可测函数则万丨>g]广>g]鄂是可测集定理4设一(xj),g(x)都是5上的可测函数,c是常数.则cUf(x),A(rjtg[x),Y弋弋1g(x〕弋7tqgtqrth7tjUt*外maX{/′〈〉〔),g(′\′〕},丨T1in{/'〔入^)】g[髯)}`|F(f(o
定理5设|丿(aj是5上一列(或有限个)可测函数,则htzinrflA(ohatzsup|力定理6设[丿(aj是5上一列可洲函数,则切部在5上可测-F(xJ=JimA(x),C()=J都是E上的可测函数、特别当Ptg=J方团存在时,Ffx是E-注.当FG=Jim月(存在时,利用等式E的可测函数.万(厂兰亡)=〔百自〔〕万〔/二〉皙_啬〕或万(厂…仁)=〔〕陋E〔濡…″+责〕也可以证明F(x)是E上的可测国数. 设了(是定义在上的函数,令[xj=maxi7(x),0[=70当(>0广zmexlytal<6达<0-,-f(),当r(aj<0十〔X)二_Inln趸/″〔X)…0}二maX{一/′(X),0}二婵0出rtJ>0则广tJz0广tJz0By(=广t0-广lft|-广(0+广(9=-maxiftg-7tj.交G广0分别称为f(x)的正部与负部. 注1,7(o)是可测函数心升(是两个非负可测函数厂(x),广(x)的差注2.设了()是定义在8上的函数,则E[夕>0jnE(广>0j=注3.设g(x),p(x)是E上两个非负实函数,则它们分别是棠个实函数f的正部与负部一E(g>0jAE(0>0j-Q 定理7(可测函数与简单函数的关系):(15设(x)是5上的非负可测函数,则存在E上的非负单调增加简单函数列(xjSpu(xj)<...