1四年级数学奥数习题讲义-第十八周 数数图形（二）专题简析：在解决数图形问题时，首先要认真分析图形的组成规律，根据图形特点选择适当的方法，既可以逐个计数，也可以把图形分成若干个部分，先对每部分按照各自构成的规律数出图形的个数，再把他们的个数合起来 2例 1：数一数下图中有多少个长方形？ CDBA分析与解答：图中的 AB 边上有线段 1+2+3=6 条，把 AB 边上的每一条线段作为长，AD 边上的每一条线段作为宽，每一个长配一个宽，就组成一个长方形，所以，图中共有 6×3=18 个长方形数长方形可以用下面的公式：长边上的线段×短边上的线段=长方形的个数练习一：数一数，下面各图中分别有几个长方形？(1) (2)(3) 3例 2：数一数，下图中有多少个正方形？（每个小方格是边长为 1的正方形） 分析与解答：图中边长为 1 个长度单位的正方形有 3×3=9 个，边长为 2 个长度单位的正方形有 2×2=4 个，边长为 3 个长度单位的正方形有 1×1=1 个所以图中的正方形总数为：1+4+9=14 个经进一步分析可以发现，由相同的 n×n 个小方格组成的几行几列的正方形其中所含的正方形总数为：1×1＋2×2＋…＋n×n。
练习二：数一数下列各图中分别有多少个正方形？（每个小方格为边长是 1 的小正方形） (1) (2) (3) 4例 3：数一数下图中有多少个正方形？（其中每个小方格都是边长为 1 个长度单位的正方形） 分析与解答：边长是 1 个长度单位的正方形有 3×2=6 个，边长是2 个长度单位的正方形有 2×1=2 个所以，图中正方形的总数为：6+2=8 个经进一步分析可以发现，一般情况下，如果一个长方形的长被分成 m 等份，宽被分成 n 等份（长和宽的每一份都是相等的）那么正方形的总数为：mn+(m－1)(n－1)＋(m－2)(n－2)＋…＋(m－n＋1)n练习三1．数一数下列各图中分别有多少个正方形1) (2)2．下图中有多少个长方形，其中有多少个是正方形？ (3) 5例 4：从广州到北京的某次快车中途要停靠 8 个大站，铁路局要为这次快车准备多少种不同车的车票？这些车票中有多少种不同的票价？分析与解答：这道题是数线段的方法在实际生活中的应用，连同广州、北京在内，这条铁路上共有 10 个站，共有 1+2+3+…+9=45条线段，因此要准备 45 种不同的车票。
由于这些车站之间的距离各不相等，因此，有多少种不同的车票，就有多少种不同的票价，所以共有 45 种不同的票价练习四1，从上海到武汉的航运线上，有 9 个停靠码头，航运公司要为这段航运线准备多少种不同的船票？2，从上海至青岛的某次直快列车，中途要停靠 6 个大站，这次列车有几种不同票价？3，从成都到南京的快车，中途要停靠 9 个站，有几种不同的票价？ 6例 5：求下列图中线段长度的总和 （单位：厘米） EDCBA3241分析与解答：要求图中的线段长度总和，可以这样计算： AB+AC+AD+AE+BC+BD+BE+CD+CE+DE =1+（1+4）+（1+4+2）+（1+4+2+3）+4+（4+2）+（4+2+3）+2+（2+3）=352 厘米从上面的计算中可以发现这样一个规律，算式中长 1 厘米的基本线段（我们把不能再划分的线段称为基本线段）出现了 4 次，长 4 厘米的线段出现了（3×2）次，长 2 厘米的线段出现了（2×3）次，长 3 厘米的线段出现了（1×4）次，所以，各线段长度的总和还可以这样算：1×4+4×（3×2）+2×（2×3）+3×（1×4）=1×（5－1）+4×（5－2）×2+2×（5－3）×3+3×（5－4）×4=52 厘米上式中的 5 是线段上的 5 个点，如果设线段上的点数为 n，基本线段分别为 a1、a2、…a(n－1)。
以上各线段长度的总和为 L，那么 L= a1×(n－1)×1+ a2×(n－2)×2+ a3×(n－3)×3+…+ a(n－1)×1×(n－1) 7练 习 五1，一条线段上有 21 个点（包括两个端点） ，相邻两点的距离都是 4 厘米，所有线段长度的总和是多少？2，求下图中所有线段的总和 （单位：米） 4623，求下图中所有线段的总和 （单位：厘米） 9548 。