巧用两线合一”构建且证明等腰三角形问题学习了等腰三角形的三线合一后，笔者认为，可以根据学生的实际情况，补充“三线合一”的逆命题的教学，因为这种逆命题虽然不能作为定理用，但它在解题中非常常见的掌握了它，可以为我们解题增加一种重要思路它有以下几种形式：①一边上的高与这边上的中线重合的三角形是等腰三角形.（线段垂直平分线的性质）②一边上的高与这边所对角的平分线重合的三角形是等腰三角形.③一边上的中线与这边所对角的平分线重合的三角形是等腰三角形^因此，三角形“一边上的高、这边上的中线及这边所对角的平分线”三线中“两线合一”就能证明它是等腰三角形.为了便于记忆，笔者简言之：两线合一，必等腰本文重点利用该逆命题作为一种思路正确地添加辅助线，构建等腰三角形且证明之来解决问题我们先来证明“三线合一”性质的逆命题三种情形的正确性:BC边上的高证明①：已知：如图1,△ABC中，AD是BC边上的中线，又是求证：△ABC是等腰三角形分析：AD就是BC边上的垂直平分线，利用线段垂直平分线的性质，可以推出AB=AC所以△ABC是等腰三角形具体证明过程略证明②：已知：如图1,4ABC中，AD是/BAC的角平分线，AD是BC边上的高。
求证：△ABC是等腰三角形分析：利用ASA的方法来证明△ABD^4ACD由此推出AB=AC导出△ABC是等腰三角形具体证明过程略证明③：已知：如图2,4ABC中，AD是/BAC的角平分线，AD是BC边上的中线求证：△ABC是等腰三角形方法一：分析：要证△ABC是等腰三角形就是要证AB=AC直接通过证明这两条线段所在的三角形全等不行，那就换种思路，经验告诉我们，在有中点的几何证明题中常用的添辅助线的方法是“倍长中线法”（即通过延长三角形的中线使之加倍，以便构造出全等三角形来解决问题的方法），即延长AD到E点，使DE=AD由此问题就解决了证明：如图2,延长AD到E点，使DE=AD连接BE在△AD的4EDB中AD=DE/ADChEDBCD=BD..△ADe△EDB• .AC=BE,/CAD叱BED.「AD是/BAC的角平分线• •.ZBAD=ZCAD/BED=ZBADAB=BE又「AC=BEAB=AC• •.△ABC是等腰三角形方法二：分析：上面的“倍长中线法”稍微有点麻烦，经验告诉我们，遇到角的平分线，我们可以利用角的平分线的性质：过角的平分线上一点向角的两边作垂线，从而构造出了高，再利用面积公式开辟出新思维。
具体做法是：如图2,过点D作DUAB,DEIAC垂足分别为F、E又因AD是/BAC的角平分线，所以DF=DE因为BD=DC利用"等底同高的三角形面积相等”的原理，所以?皿益必⑴，再根据“等积三角形高相等则底也相等”，因为、由=之Sub/，又因df=DE，所以AB=AC可见“面积法”给解题带来了简便，这种方法也正是被人们易忽视的很容易形成思维定势，证明当然，学生在作出角的平分线上一点到角的两边的距离时,两组直角三角形分别全等，从而证明/B=ZC,所以AB=AC此法明显较麻烦些，但是思路要给予肯定需要提醒读者的是：以上我们证明了“三线合一”的逆定理的正确性，但是这种逆命题不能作为定理来用，掌握了它和它的证明过程，其目的是为我们解题增加一种重要思路和方法二、利用“三线合一”性质的逆命题添加辅助线，构建且证明等腰三角形来解决问题1、逆命题①的应用（即线段垂直平分线的性质的应用）例1人教版八（上）第十二章章节复习题中的第5题：如图4,DkE分别是ABAC的中点，CDLAB于D,BEXAC于E,求证：AC=AB &图4经笔者验证，学生一拿到题目就找全等三角形或构建全等三角形，所以连接AO（图略），证明△AO二△AO豉者三组直角三角形分别全等，其中还要用到线段的垂直平分线的性质，证明OA=OB=QC方法相当地麻烦。
分析：题目没有直接给出“CDBE分别是ARAC的垂直平分线”这样的语句，所以学生最初拿到这个题目，很难把分立的垂直和平分两个条件联系在一起如果学生有“两线合一，必等腰”的思维，很容易想到CDBE分别可以是以ARAC为底边的等腰三角形底边上的高和中线，即“两线合一”，因此添加辅助线，构造等腰三角形简单证明：连结BC,.「CD!AB,AD=BDAC=BC（注：利用线段垂直平分线的性质）同理可得：AB=BCAC=AB由于逆命题①的应用与线段垂直平分线的性质相一致，所以笔者在此就不过多的举例2、逆命题②的应用例2已知：如图5,在△ABC中，AD平分/BAGCDLAD,D为垂足，AB>AC求证：/2=Z1+ZB分析：由“AD平分/BAGCDLAD'可以想到AD可以是同一个等腰三角形底边上的高和底边所对角的平分线，即“两线合一”，因此添加辅助线，构造等腰三角形简单证明：延长CD交AB于点E,由题目提供的条件，可证△AED^△ACD/2=/AEG又/AEC=/1+ZB,所以结论得证例3在学习等腰三角形知识时，会遇到这个典型题目：如图6,在^ABC中，/BAC=90,AB=ACBE平分/ABG且CD±BE交BE的延长线于点D,国62求证：CD=2be分析：由已知条件可知：BD满足了逆命题②的“两线合一”，所以延长CD和BA,交于点F,补全等腰三角形。
简单证明：由所添辅助线可证△BF阴△BCD可知△BCF是等腰三角形2CD=DF=：CF再证△ABE^△ACFBE=CFJCD=-BE可见，学会“两线合一，必等腰”的思维，对满足“三线合一”性质的逆命题的条件，添加适当的辅助线来构造等腰三角形，为我们解决相关问题开辟了新思维笔者认为，三个逆命题中以逆命题②在几何证明的应用中尤为突出例4逆命题②还可以与中位线综合应用：已知：如图7,在△ABC中，AD平分/BAG交BC于点D,过点C作AD的垂线，交AD的延长线于点E,F为BC的中点，连结EF求证：EF//AREF=2(AC-AB)分析：由已知可知，线段AE既是/BAC的角平分线，又是EC边上的高，即“两线合一”，就想到把AE所在的等腰三角形构造出来，因而就可添辅助线：分别延长CEAB交于点G简单证明：由所添辅助线可证△AG&△ACE得出△AGB等腰三角形，AG=ACEG=CE又•••点F是BC的中点£5是4BGC的中位线221EF//AB,EF=2BG=-(AG-AB尸二(AC-AB)3、逆命题③应用：例5已知：如图8,4ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CDDE//AC、DF//AB分别与ABAC相交于点E,Fo求证：DE=DF酉8分析：根据已知条件，利用相似性知识，可证：点E,F分别是ABAC的中点(初中阶段不能用三角形的中位线的逆定理)，又因点D是BC的中点，再利用三角形中位线的22性质可知，DE=2aC,DF=?AB,可见只要证明AC=AB题目所求证的结论就可得证。
因为AD既是/BAC的角平分线，又是BC边上的中线，即“两线合一”，所以△ABC是等腰三角形可证，方法见逆命题③的证明证明：过程略还有的题目没有直接给出“两线合一”的条件，而是需要证明其中一个条件或者通过作辅助线构建另一个条件，使题目符合“两线合一”思路例6如图9,梯形ABCD43,AB//CQE是BC的中点，DE平分/ADC求证：AD=CD+AB?F例7图9分析：拿到这个题目，学生的思维很活跃，有的用“截长补短法”；有的用“角的平分线性质”；有的用“梯形问题转化为三角形问题”的方法；笔者发现有几个学生延长DGAE相交于点F,易证△AB9△FCE所以AB=CFAE=EF可见只要证明AD=FD题目所求证的结论就可得证可是学生想到这一步，思维受阻：DE此时既是/ADC的角平分线，又是AF边上的中线，△DAF肯定是等腰三角形，就是不知道怎么证明可见，学生如果有“两线合一，必等腰”的思维和掌握了它的证明方法，那么此法是可行只是此法用于这个题目较为麻烦、不可取，但是对于学生的思维火花还是要给予肯定的由于笔者在研究过程中，发现逆命题③的应用不是很多，所以在此就不过多的举例三、请读者小试牛刀学习了以上“两线合一，必等腰”的新思路，笔者最后再一次警告读者：由于“三线合一”性质的逆命题①与线段垂直平分线的性质相吻合，所以可直接应用；但是运用逆命题②或③添加辅助线构造的等腰三角形必须先要证明，不能作为定理用，切记切记！谨防与“三线合一”性质搞混淆。
请读者试解下面问题（前2题提示，后3题不予提示）1、已知，如图10,4ABC中，/BAC=90°,ADLBC于D,/ABC的平分线交AD于E,交AC于P,/CAD的平分线交BP于Q求证：△QAD^等腰三角形提示：可证/AQB=90,延长AQ此题把逆命题②与直角三角形的性质综合应用）解法：ADLBC于D,/ADF=/ADB=90,/ABC+/BAD=90,/CAD+/BAD=90,/ABC=/BAD/ABC/2=/BAD/2,/DBE=/QAE,/BED=/AEQ,[对顶角],故/BDE=/AQE=90,/ABQ=/FBQ,BQ=BQ,/BQA=/BQF=9RTABQARTABQF,[ASA]AQ=FQ,Q为RT^ADF斜边AF的中点，AQ=DQ,^QAD是等腰三角形.ffi102、如图（图略，读者自己画），在^ABC中（AAAQ,M为BC的中点，AD平分/BAC交BC于点D,BE，AD于E,CF^AD于F.求证：ME=MF（提示：延长BE、CF.）3、如图（图略），BE、CF是△ABC的角平分线，AMLCF于MAN^BE于N.求证：MN//BC.（画图时，注意AAAQ解法:BE为/ABC的角平分线，BE±AG,/BAM=/BGM,.ABG为等腰三角形，BM也为等腰三角形的中线，即AM=GM.同理AN=DN,・•.MN为△ADG的中位线，MN//BC.4、如图（图略），已知梯形ABCM,AB//CD，/C的平分线CE!AD于E,且DE=2AECE把梯形ABC防成两部分，求这两部分面积之比.（画图时，注意AB为上底，CD为下底，E点段AD上）5、BQCE是△ABC的两个外角的平分线，ADLBD于D,AE±CE于E.求证：（1）DE//BC（2）DE等于△ABC的周长的一半.（画图时，注意BD,CE在直线BC的同侧）强化了学生通等腰三角形“三线合一”性质的逆命题的应用不断为学生开辟了新思维，过添加辅助线解题的能力，而且在添加辅助线的过程中也蕴含着化归的数学思想。