第十一章动能定理本章内容1力的功力的功2质点的动能定理质点的动能定理3质点系的动能定理质点系的动能定理4功率与功率方程功率与功率方程 机械效率机械效率5势力场势力场 势能势能 机械能守恒定理机械能守恒定理6动力学普遍定理的综合应用动力学普遍定理的综合应用01力的功在机械运动中，功是度量力在一段路程上对物体作用的积累效应，力做功的结果是物体的机械能（包括动能和势能）发生了变化一、常力的功（11-1）图11-1 （11-2）即作用在质点上的常力沿直线路程所做的功等于力与质点位移矢量的数量积式中，为力F与直线方向的夹角若用s表示质点的位移矢量，则二、变力的功设质点M在变力F的作用下沿曲线运动，如图11-2所示由于质点M从M1运动到M2的的过程中，力F的大小和方向都是变化的，为了计算变力F在路程中所做的功，必须将质点走过的路程分成许多微小的弧段ds，每一微小弧段ds则可视为直线位移而在这一微小弧段ds中，力F可视为常力，F在微小弧段ds中所做的功可写为（11-3）式中， 称为变力F的元功；是F与质点的速度v之间的夹角，它可视为力F与ds直线之间的夹角图11-2（11-4）设dr为质点M的微小位移，于是式（11-3）和（11-4）可表示为（11-5）（11-6）若以矢量式表示F和dr，则根据矢量运算法则，则得力的元功解析表示式为（11-7）于是，力F在M1M2路程上的功的解析表示式为（11-8）功的量纲为力的量纲与长度的量纲的乘积，即 。
在国际单位制中，功的单位为J，即1 N的力移动1 m所做的功三、合力的功或 （11-9）式（11-9）表明，作用于质点的所有力的合力在任一路程中所做的功，等于各分力在同一路程中所做功的代数和利用式（11-9），可以方便地通过作用于质点的分力的功来计算出合力的功四、几种常见力的功1 1重力的功重力的功或（11-10）式中，z1和z2分别为质点M在M1和M2位置上沿z轴的坐标图11-3若令 表示质点下降或上升的高度，则式（11-10）也可写成（11-11）（11-10）式（11-11）中，当质点下降时用正号，上升时用负号，即质点在运动过程中重力的功等于其重量与下降或上升高度的乘积，下降时取正值，上升时取负值11-12）应用质心坐标公式为式中， 和 分别表示质点系质心C在初始位置和末了位置沿轴z的坐标；M为质点系的总质量将其代入式（11-12），得（11-13）现在再研究质点系重力的功质点系重力的功等于各质点重力功的代数和，因此有令 表示质点系的总重量， 表示质心下降或上升的高度，则式（11-13）可写为式（11-14）表明，质点系在运动过程中其重力所做的功，等于质点系总重量与其质心下降或上升高度的乘积，下降时取正值，上升时取负值。
任何物体皆可看成是质点系，因此，其重力所做的功均可按式（11-14）进行计算11-14）2弹性力的功根据式（11-5），弹性力F的元功为由于则图11-4 （11-15）即弹性力的功等于弹簧刚度系数与始末位置弹簧变形量平方之差的乘积的一半由此可知，刚度系数确定后，弹性力的功只与弹簧在始末位置的变形量有关，而与变形的形式（拉伸或压缩）及弹性力作用点的轨迹无关于是，质点M由M1运动到M2时弹性力F的功为3作用在定轴转动刚体上的力的功由于刚体绕定轴转动时，其转角与某点运动的弧长的关系为因此，力F的元功又可表示为（11-16）图11-5即作用于定轴转动刚体上力的元功，等于该力对转轴的矩（简称转矩）和微转角的乘积 （11-17） （11-18）显然，当力矩转向与角位移的转向一致时，则功为正，反之为负若作用于刚体上的是力偶，其力偶矩为M，且力偶的作用面与轴Oz垂直，则力偶对Oz的矩即为力偶矩M，因此有（11-19）五、约束力的功与理想约束1 1光滑固定支承面和滚动铰链支座光滑固定支承面和滚动铰链支座这两类约束的约束力 总是和它作用点处的微小位移dr相垂直，如图11-6所示因此，这种约束力的功为零a） （b）图11-62 2光滑固定铰链支座和轴承光滑固定铰链支座和轴承这两种约束力作用点的位移为零，如图11-7所示。
因此，约束力之功为零a） （b）图11-73 3连接物体的光滑铰链连接物体的光滑铰链则这种约束力所做功的总和为零图11-84 4无重刚杆无重刚杆因为刚杆上A，B两点之间的距离在运动过程中始终保持不变，因此这两点的微小位移在其连线上的投影应相等，即则即无重刚杆的约束力做功之和为零图11-95 5不可伸长的柔索约束不可伸长的柔索约束由于 ，则由于柔索不可伸长，因此有于是即不可伸长的柔索的约束力做功之和为零图11-106刚体在固定面上无滑动的滚动刚体在固定面上无滑动的滚动刚体在固定面无滑动的滚动，P为瞬时速度中心 ，因此由此得. 即刚体在固定面无滑动的滚动时，约束力所做功之和为零图11-1102质点的动能定理一、质点的动能质点的动能等于质点质量与其速度平方之积的一半它是质点机械运动强度的另一种度量设质点质量为m，速度大小为v，则质点动能可表示为 （11-20）动能是标量，恒为正值或为零动能的量纲为质量的量纲与速度的量纲平方的乘积，即 ,与功的量纲相同在国际单位制中，动能的单位也是J二、质点的动能定理设质量为m的质点M在力F（合力）的作用下沿曲线运动，如图11-12所示由质点动力学基本方程考虑到 ，代入上式得等式两边均点乘dr，则有或写为则上式又可写为这就是质点动能定理的微分形式，即质点动能的微分，等于作用于质点上的力的元功。
（11-21）图11-12或质点动能定理建立了质点动能和力的功之间的关系，它把质点的速度、作用力和质点的路程联系在一起，对于需要求解这三个物理量的动力学问题，应用动能定理是方便的此外，通过动能定理对时间求导，式中将出现加速度，因此动能定理也常用来求解质点的加速度 （11-22）这就是质点动能定理的积分形式，即质点在某运动过程中动能的改变，等于作用于质点上的力在同一过程中所做的功将式（11-21）沿曲线M1M2积分，得例11-1 如图11-13所示，一物体M质量为m，静止地放在半径为R的光滑圆柱表面的顶点若给予物体小的干扰，它将沿圆柱表面的圆形轨道下滑，求物体开始离开圆柱表面时的角度解本题所求的角，实质上对应M由静止至离开圆柱表面这段过程所经过的路程，因此，可以考虑应用动能定理求解1）取研究对象取物体M为研究对象2）受力分析物体M受有重力mg和圆柱表面的约束FN作用3）运动分析并应用动能定理求，考虑物体M由静止至离 开圆柱表面这段过程，动能定理有如下形式：图11-13代入动能定理得（1）物体离开圆柱表面时的速度v2可用其他方程求出4）求速度v2物体M在离开圆柱表面处的动力学方程沿法线方向的投影形式为考虑到 ，且离开时 ，于是有由式（1）和（2）两式联立可解得 （2）例11-2解（1）取研究对象。
取车厢（视为质点）为研究对象2）受力分析并计算力的功车厢受有重力G、法向约束力FN及阻力F的作用在AB路程中，力所做的功为在BC过程中，力所做的功为图11-14（4）应用质点动能定理，求未知量为求速度v，在AB路程中应用质点动能定理有解得为求滑行距离s，在BC路程中应用质点动能定理解得显然，若测得水平滑行距离s，则可求得车厢运动的阻力因数为第三节 质点系的动能定理一、质点系的动能一、质点系的动能在某一瞬时质点系的动能等于同一瞬时质点系中各质点动能的总和，用T表示，即 （11-23）它是整个质点系机械运动量的一种度量，恒为正值二、刚体的动能二、刚体的动能刚体是最常见的质点系，由式（11-23）可以确定刚体平动、定轴转动和平面运动时的动能表达式1刚体平动时的动能刚体平动时的动能刚体平动时，同一瞬时刚体上各点的速度都相同，都等于刚体质心C的速度 因此，刚体平动时的动能可写为式中，M为刚体的质量，即刚体平动时的动能等于刚体的质量与其质心速度平方乘积的一半11-24）2刚体绕定轴转动时的动能（11-25）由于式中，r为质点至轴Oz的距离，代入式（11-25），得（11-26）式中， 是刚体对于轴Oz的转动惯量，即有 （11-27）即刚体绕定轴转动时的动能等于刚体对于转轴的转动惯量与其角速度平方乘积的一半。
图11-153刚体平面运体平面运动时的的动能能式中， ，是刚体对瞬时速度中心P的转动惯量，因此有 （11-28）图11-16式中， 是刚体质心C至瞬时速度中心P的距离将上式代入式（11-28），有由于 ，于是上式可写为（11-29）即刚体平面运动时的动能等于刚体随质心平动的动能与绕质心转动的动能之和例11-3系统由重物A、定滑轮B和圆轮C及绳子所组成，绳子的质量不计，重物做平动，滑轮做定轴转动，圆轮做平面运动，各物体的速度、角速度如图11-17所示，故系统的动能可表示为由运动学知又知，于是系统的动能为解 图11-17三、质点系的动能定理三、质点系的动能定理或（11-30）式（11-30）就是质点系动能定理的微分形式，即质点系动能的微分等于作用于系上所有主动力和约束力元功的总和若质点系的约束属于约束力的功为零的理想约束，则在式（11-30）中 ，于是有（11-31）式（11-31）表明，在约束力的功为零的理想约束下，质点系动能的微分，等于作用于质点系上所有主动力元功之和式（11-31）及下面即将导出的与其相对应的质点系动能定理得积分形式，其中不包含未知的约束力，因此用于求解动力学问题非常方便。
将式（11-30）进行积分，得（11-32）式（11-32）就是质点系动能定理的积分形式，即质点系在某运动过程中动能的改变，等于作用于系上所有主动力和约束力在同一过程中所做的功之和在质点系约束力做功之和为零的理想约束下，式（11-32）可写为（11-33）即在质点系约束力的功为零的理想约束下，质点系在某运动过程中动能的改变，等于作用于质点系上所有主动力在同一过程中所做功之和作用于质点系上的力也可分为外力和内力两大类，此时相应的动能定理中力的功也按此分外力和内力的功需要特别指明的是，两种力的分类方法是交错的，即主动力和约束力中既可包含外力，也可包含内力另一方面，外力和内力中既可包含主动力，也可包含约束力此外，外力和内力都可以做功，内力所做功之和不一定为零例如，汽车、火车等的内燃机所做的功，就是内力做功的实例因此，在计算功时，无论按哪种方式对力进行分类，每种力的功都应加以考虑，绝不能简单地认为所有约束力不做功或内力不做功 动能定理建立了质点和质点系的动能与力所做的功之间的关系，它把速度、主动力和位移联系在一起，适用于求这三个物理量的动力学问题利用动能定理的微分形式，也可求解加速度特别是对于复杂系统求解运动参数时比较方便。
由于应用动能定理仅能建立一个代数方程，因而它只能求解一个未知量，如果未知量较多，还需与动力学的其他定理联合求解这类问题将在本章第六节中进行讨论也应注意，动能定理一般不能求解约束力本题是质点系的动力学问题，需求重物M经过一段路程的速度、加速度、适合用质点系动能定理求解1）选取研究对象选齿轮，和轴，绳子及重物组成的系统为研究对象2）受力分析并计算力的功理想约束系统，约束力不做功，只有重物的重力这个主动力做功，且解例11-4 图11-18（3）分析运动并计算质点系动能系统开始静止， ，重物M做平动，齿轮，做定轴转动，此时系统的动能为（4）应用质点系动能定理，求速度在下降s这一运动过程，动能定理为将各值代入动能定理，有考虑系统由静止至A移动了一段距离s这一动过程，并应用动能定理求解1）选取研究对象选B轮、C轮、胶带、物体组成的系统为研究对象式中，解 例11-5 （2）受力分析并计算力的功理想约束系统，约束力不做功，系统中转矩M和重力G做的功为图11-19（3）分析运动并计算质点系动能系统开始静止， ，重物做平动，轮B，C做定轴转动，此时系统的动能为（4）应用质点系动能定理，求速度将上述计算结果代入动能定。