第1讲 实数（实数的有关概念和运算）（精讲）目录第一部分：知识点精准记忆第二部分：课前自我评估测试第三部分：典型例题剖析题型一：实数的概念及分类题型二：实数的大小比较题型三：近似数和科学记数法题型四：平方根、算数平方根与立方根题型五：实数的运算题型六：非负数的性质题型七：新定义题第四部分：中考真题感悟第一部分：知识点精准记忆知识点一：有理数、无理数整数和分数统称为有理数；无限不循环小数小数叫做无理数；有理数和无理数统称为实数．知识点二：实数的分类1、按实数的定义分类：2、按大小分类：知识点三：数轴、相反数、绝对值、倒数1、数轴规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴．数轴上的点与实数是一一对应的．2、相反数(1)只有符号不同的两个数,叫做互为相反数,0的相反数是0. (2)实数,互为相反数.3、绝对值(1)在数轴上,表示一个数的点到原点的距离就是这个数的绝对值.(2)一个正数的绝对值是它本身,一个负数的绝对值是它的相反数,0的绝对值是0,即: 绝对值具有非负性. （3）几何意义：表示在数轴上表示的点与原点的距离，离原点越远的数的绝对值大.4、倒数（高频考点）(1)乘积为1的两个数,叫做互为倒数,实数,互为倒数.(2)非零实数()的倒数是；零没有倒数.特别地,倒数是它本身的数是. 知识点四：科学计数法与近似数（高频考点）1、科学记数法：把一个数表示成的形式(其中，为整数)，这种记数法叫做科学记数法．2、和的确定(1)的确定：是整数位数只有一位的数，即；(2)的确定：当原数的绝对值大于或等于10时，等于原数的整数位数减1；当原数的绝对值小于1时，是负整数，它的绝对值等于原数中左起第一位非零数字前零的个数(含小数点前的零)．3、近似数：一般地,一个近似数四舍五入到哪一位,就说这个近似数精确到哪一位. 知识点五：实数的大小比较方法具体原理数轴比较法在数轴上，右边的点所表示的数总比左边的点所表示的数大作差法设，是两个任意实数，则①，②，③绝对值法①若，，且，则；②若，，且，则平方法①对任意正实数，，有；②对任意负实数，，有；做商法①任意正实数，②任意负实数，③任意实数，倒数法任意同号的数，知识点六：实数的运算1、常见的实数运算运算法则乘方， 零次幂负整数指数幂（，为正整数），特别的：去绝对值符号-1的奇偶次幂2、实数的四则运算（高频考点）(1)实数加法法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.互为相反数的两个数相加得0；③一个数同0相加，仍得这个数.(2)实数减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数.(3)实数乘法法则：①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.任何数与0相乘，都得0；②几个不是0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定．当负因数的个数为奇数时，积是负数，当负因数的个数为偶数时，积是正数；③几个数相乘，如果其中有因数为0，那么积等于0.(4)实数除法法则：①除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的倒数.0不能作除数；②两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除.0除以任何一个不等于0的数，都得0.(5)乘方的运算法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0.知识点七：平方根、算术平方根、立方根与非负数的性质项目平方根算术平方根立方根定义∵()，∴∵()，∴∵，∴性质正数互为相反数(两个)正数(一个)正数(一个)0000负数没有没有负数(一个)2.非负数的性质(1)常见的非负数有()，，；(2)若几个非负数的和为0，则这几个非负数同时为0.例如：若，则有.第二部分：课前自我评估测试1．（2022·河南·郑州市第四初级中学八年级阶段）在下列各数0.515115111511115…（相邻两个5之间的1的个数依次增加1），0.010，3π，，，，1.414中，有理数有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【详解】解：所给数中，0.010，，，1.414是有理数，一共4个．故选：D．2．（2022·山西实验中学模拟预测）的相反数是（ ）A．2022 B． C． D．【答案】A【详解】解：的相反数是，故选：A．3．（2022·江苏·无锡市港下中学八年级阶段）比较大小：________2．（填“”“”或“”）【答案】【详解】解：∵，∴，故答案为：．4．（2022·新疆·阿瓦提县第二中学七年级阶段）若，则_______．【答案】4043【详解】∵∴，∴．故答案为：4043．5．（2022·山东·胶州市第十中学七年级阶段）在我国“一带一路”战略下，途径城市和国家最多的一趟专列全程13000km，将13000用科学计数法表示应为___________.【答案】【详解】解：，故答案为：第三部分：典型例题剖析题型一：实数的概念及分类典型例题例题1．（2022·辽宁沈阳·八年级阶段）下列说法：①无理数是开方开不尽的数；②无限小数是无理数；③对于任意实数，都有；④两个无理数的和不一定是无理数；⑤满足的整数有4个．其中正确的个数是（ ）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【详解】解：①是无理数，但不是开方开不尽的数，故①说法错误；②是无限小数，但不是无理数，故②说法错误；③对于任意实数，都有，故③说法正确；④两个无理数的和可能是有理数，也可能是无理数，故④说法正确；⑤满足的整数有、0、1、2共4个，故⑤说法正确．故选：B．例题2．（2022·山东临沂·七年级期中）下列判断中不正确的是（ ）A．分数一定不是无理数 B．无理数都能用数轴上的点来表示C． D．的绝对值为【答案】C【详解】解：A选项，分数是有理数，一定不是无理数，故该选项不符合题意；B选项，无理数都能用数轴上的点来表示，故该选项不符合题意；C选项，∵17＞16，∴＞4，∴-＜-4，故该选项符合题意；D选项，-的绝对值为，故该选项不符合题意；故选：C．例题3．（2022·山东·乐陵市朱集镇三间堂中学七年级阶段）已知下列实数：①，②，③3.14，④，⑤0，⑥，⑦，⑧1.232232223…（每两个“3”之间依次多一个“2”），⑨．其中整数有：_________________________；分数有：_________________________；有理数有：_________________________；非负有理数有：_________________________；（只需填写序号）．【答案】⑤⑨；①②③⑥⑦；①②③⑤⑥⑦⑨；③⑤⑥⑦【详解】解：整数包括正整数、负整数和0．所以属于整数的有：⑤⑨．分数还包括有限小数和循环小数，所以属于分数的有：①②③⑥⑦．有限循环小数，开方开得尽的数是有理数，所以属于有理数的有：①②③⑤⑥⑦⑨．大于或等于0的有理数为非负有理数，所以属于非负有理数的有：③⑤⑥⑦故答案为：⑤⑨；①②③⑥⑦；①②③⑤⑥⑦⑨；③⑤⑥⑦．例题4．（2022·吉林四平·七年级期中）把下列各数分别填入相应集合内：0，，3.14，，，，．【答案】见解析【详解】解：根据题意，如图所示：同类题型归类练1．（2022·河南·南阳市第十三中学校八年级阶段）实数，0，，，，，，0.1010010001……（相邻两个1之间一次多一个0），其中无理数有（ ）个．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【详解】解：，＝4；故实数，0，，，，，，0.1010010001……（相邻两个1之间一次多一个0），其中无理数有-π，，0.1010010001…（相邻两个1之间一次多一个0），共有3个．故选：C．2．（2022·全国·八年级课时）有下列说法：①任何有理数都是有限小数；②实数与数轴上的点一一对应；③在1和3之间的无理数有且只有，，，这4个；④0.1010010001是无理数，其中正确的个数是（ ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【详解】解：①任何有理数都是有限小数或无限循环小数，故该项错误；②实数与数轴上的点一一对应，故该项正确；③在1和3之间的无理数有，，，等，故该项错误；④0.1010010001是有限小数，故该项错误；故选：A．3．（2022·江苏·苏州外国语学校七年级阶段）把下列各数填入相应的集合里：，，，0，，整数集合：{ }负分数集合：{ }无理数集合：{ }【答案】，，0；，；3π，【详解】解：，，，所给出的数中，整数集合：{，，0，}负分数集合：{，，}无理数集合：{，}故答案为：，，0；，；．题型二：实数的大小比较典型例题例题1．（2022·江苏·无锡市查桥中学七年级阶段）实数、、、在数轴上的对应点的位置如图所示，在这四个数中，绝对值最小的数（ ）A．a B．b C．c D．d【答案】C【详解】解：观察数轴，可知：实数c对应的点到原点的距离最小，实数c的绝对值最小的数是实数c．故选C．例题2．（2022·辽宁葫芦岛·七年级阶段）在，0，，中，最小的实数是( )A． B．0 C． D．【答案】D【详解】解：∵，∴，∴最小的实数是．故选D．例题3．（2022·西藏聂荣县教育体育局七年级期中）用“<”或“>”填空：（1）__________0.66667；（2）__________．【答案】 ＜ ＞【详解】解：（1）∵，∴＜0.66667；故答案为：＜；（2）∵，，，∴．故答案为：＞．例题4．（2022·江苏南通·七年级阶段）阅读材料：小明对不等式的有关知识进行了自主学习，他发现，对于任意两个实数和比较大小，有如下规律：若，则；若，则；若，则，上面的规律，反过来也成立．课上，通过老师和其他同学的交流，验证了上面的规律是正确的．参考小明发现的规律，解决问题：(1)比较大小： ___________＋； （填“＜”，“=”或“>"）(2)已知，且，若，， 试比较A和B的大小.【答案】(1)＞(2)（1）解：∵，∴，∴＞＋，故答案为：＞；（2）解：由题意可知：，，，，，，，.同类题型归类练1．（2022·江西·寻乌县教育局教学研究室二模）1，，0，中最小的数是（ ）A．1 B． C．0 D．【答案】B【详解】解：∵，∴最小的数的数是．故选：B．2．（2022·全国·八年级课时）下列各数：，，0，，，其中比－3小的数有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】A【详解】，，，，故选：A3．（2022·湖南·八年级单元测试）若实数a的位置如图所示，则a、、、，的大小关系是______（用＜号连接）【答案】【详解】。
