胡寿松自动控制原理习题解答第四章14-1 设单位反馈控制系统的开环传递函数K ∗ G(s) s 1试用解析法绘出 K ∗ 从零变到无穷时的闭环根轨迹图，并判断下列点是否在根轨迹上：（－２＋ｊ０） ， （０＋ｊ１） ， （－３＋ｊ２） 解： 有一个极点： （－1 ＋ｊ０） ，没有零点根轨迹如图中红线所示－２＋ｊ０）点在根轨迹上，而（０＋ｊ１） ， （－３＋ｊ２）点不在根轨迹上4-2 设单位反馈控制系统的开环传递函数K (3s 1) G(s) s(2s 1)试用解析法绘出开环增益 K 从零增加到无穷时的闭环根轨迹图 解：系统开环传递函数为 G(s) 3K / 2(s 1/ 3) K g (s 1/ 3)s(s 1/ 2) s(s 1 / 2)有两个极点： （ 0＋ｊ０） ， （－ 1/2＋ｊ０） ，有一个零点（ -1/3， j0） 根轨迹如图中红线所示4-3 已知开环零、极点分布如图 4-28 所示，试概略绘出相应的闭环根轨迹图胡寿松自动控制原理习题解答第四章21图 4-28 开环零、极点分布图4-4 设单位反馈控制系 统开环传递 函数如下， 试概略绘出 相应的闭环 根轨迹图 (要 求确定分离点坐标 d)： (1) G(s) Ks(0.2s 1)(0.5s 1)解：系统开环传递函数为 G(s) 10K K gs(s 5)(s 2) s(s 5)(s 2)有三个极点： （0 ＋ｊ０） ， （－ 2＋ｊ０） ， （－5 ＋ｊ０）没有零点。
分离点坐标计算如下：1 1 d d 21 0d 53d 2 14d 10 0 解方程的 d −3.7863 ， d 2 −0.88取分离点为 d −0.88根轨迹如图中红线所示胡寿松自动控制原理习题解答第四章31（2 ） G(s) K (s 1)s(2s 1)解：系统开环传递函数为 G(s) K / 2(s 1) K g (s 1)s(s 0.5) s(s 0.5)有两个极点： （0 ＋ｊ０） ， （－ 0.5＋ｊ０） ，有一个零点（－1 ＋ｊ０） 分离点坐标计算如下：1 1 d d 0.51d 1d 2 2d 0.5 0 解方程的 d −1.7 ， d 2 −0.29取分离点为 d1 −1.7 ， d 2 −0.29根轨迹如图中红线所示3) G(s) K * (s 5)s(s 2)(s 3)解：系统开环传递函数为 G(s) K * (s 5)s(s 2)(s 3)有三个极点： （0 ＋ｊ０） ， （－ 2＋ｊ０） ， （－2 ＋ｊ０） ，有一个零点（－5 ＋ｊ０） 。
分离点坐标计算如下：1 1 d d 21 d 31d 5 d 3 10d 2 25d 15 0 解 方 程 的 d1 −6.5171 ，胡寿松自动控制原理习题解答第四章4p d 2 −2.5964 ， d 3 −0.8865取分离点为 d −0.8865根轨迹如图中红线所示4-5 已知单位反馈控制 系统开环传 递函数如下 ，试概略画 出相应的闭 环根轨迹图 (要求算出起始 角 pi )：（１） G(s) K ∗ (s 2)(s 1 j 2)(s 1 − j 2)解：系统开环传递函数为 G(s) K ∗ (s 2) K g (s 2)(s 1 j 2)(s 1 − j2) (s 1 j 2)(s 1 − j2)有两个极点： p1 （- 1＋ｊ 2） ， p2 （－1 -ｊ2 ） ，有一个零点（－2 ，ｊ０） 起始角： m n i (2k 1) ∑ϕ z j pi − ∑ pi pi k 0,1,2,L j 1 j 1 ( j ≠i ) p1 ϕz1 p1− p2 p1 1800 450 − 900 1350 p2 ϕz1 p2− p1 p2 1800 − 450 900 2250根轨迹如图中红线所示。
胡寿松自动控制原理习题解答第四章5p （２） G(s) K ∗ (s 20)s(s 10 j10)(s 10 − j10)解：系统开环传递函数为 G(s) K ∗ (s 20)s(s 10 j10)(s 10 − j10)有三个极点： p1 （ 0， j0） ， p2 （- 10＋ｊ 10） ， p3 （－ 10-ｊ 10） ， 有一个零点 z1 （－20，ｊ０） 起始角： m n i (2k 1) ∑ϕ z j pi − ∑ pi pi k 0,1,2,L j 1 j 1 ( j ≠i ) p1 1800 p2 1800 ϕz1 p2− p1 p2 − p3 p2 1800 450 − 1350 − 900 00 p3 1800 ϕz1 p3− p1 p3 − p2 p3 1800 − 450 1350 900 00根轨迹如图中红线所示Im-20-10j10Re04-6 设单位反馈控制系统的开环传递函数如下，要求： K ∗(1) 确定 G(s) s(s 1)(s 10) 产生纯虚根的开环增益值。
解：系统特征方程为 s 3 11s 2 10s K * 0令 s j 代入特征方程中得：实部方程为： K * − 11 2 0虚部方程为： 10 − 3 0胡寿松自动控制原理习题解答第四章6p∗∗解上述方程得 ： 2 10 K * 110 开环增益按一般定义： K K * /10 11(2) 确定 G(s) K ∗ (s z)s 2 (s 10)(s 20)产生纯虚根为±ｊ1 的ｚ值和 K ∗ 值解：系统特征方程为 s 4 30s 3 200s 2 K * s K * z 0令 s j1 代入特征方程中得：实部方程为： K * z 1 − 200 0虚部方程为： K * − 30 0解上述方程得： K * 30 z 199 / 30（3 ） 概略绘出确定 G(s) K 的闭环根轨迹图 （要s(s 1)(s 3.5)(s 3 j 2)(s 3 − j 2)求确定根轨迹的分离点、起始角和与虚轴的交点） 解：系统开环传递函数为 G(s) Ks(s 1)(s 3.5)(s 3 j 2)(s 3 − j 2)有五个极点： p1 （ 0， j0） ， p2 （ -1， ｊ 0） ， p3 （－ 3.5， ｊ 0） ， p4 （－3 ， ｊ2 ） ，p5 （－ 3， -ｊ 2） ，没有零点。
分离点坐标计算如下：1 1 d d 11 d 3.51 d 3. j 21 0d 3. − j 24d 4 35d 3 111.5d 2 146d 45.5 0 解 方 程 的 d1 −3.5 ， d 2 −0.44 ，d 3 −2.4 j1.265 d 4 −2.4 − j1.265取分离点为 d −0.44起始角： m n i (2k 1) ∑ϕ z j pi − ∑ pi pi k 0,1,2,L j 1 j 1 ( j ≠i ) 胡寿松自动控制原理习题解答第四章7 p1 1800 p2 00 p3 1800 − p1 p3− p2 p3 − p4 p3 − p5 p3 1800 − 146.450 − 1350 − 900 − 75.7 930 p4 1800 − p1 p4− p2 p 4 − p3 p4 − p5 p3 1800 146.450 1350 900 75.7 −930根轨迹如图所示。
与虚轴的交点：令 s j 代入特征方程中s 5 10.5s 4 43.5s 3 79.5s 2 45.5s K * 0得到：胡寿松自动控制原理习题解答第四章8**实部方程为 ： 10.5 4 − 79.5 2 K * 0虚部方程为 ： 5 − 43.5 3 45.5 0解方程得到： 1 6.5136 2 1.0356 ， 将 1 6.5136 代入实部方程得到 K 0 不符合要求，将 2 1.0356 代入实部方程得到 K 73 满足要求所以取 1.0356 即根轨迹与虚轴的交点为 1.03564-7 设单位反馈系统的开环传递函数为K ∗ (s 2) G(s) s(s 1)其根轨迹图见图 4-2试 从数学上证明：复数根轨迹部分是以 (- 2， j0)为圆心，以 2 为半径的一个圆解：证明如下： 根据辐角条件可知，根轨迹各点应满足∠(s 2) − ∠s − ∠(s 1) 1800图 4-2 系统根轨迹图在复平面上 s j ，于是得∠( j 2) − ∠( j ) − ∠( j 1) 1800亦即 arctan 2 − arctan arctan 1 1800利用反正切公式arctan X − arctan Y可把上式改写为 arctan X − Y1 XY对上式的两边取正切，整理后即得圆方程式胡寿松自动控制原理习题解答第四章9p1p( 2) 2 2 2它的圆心为（ -2， j0）半径等于 2 。
这个圆与实轴的交点即为分离点和会合点4-8 已知开环传递函数为K *G(s)H (s) s(s 4)(s 2 4s 20)试概略画出闭环系统根轨迹图解：系统开环传递函数为K *G(s)H (s) s(s 4)(s 2 4s 20)有四个极点： p1 （ 0， j0） ， p2 （- 4， ｊ0 ） ， p3 （－ 2， ｊ 4） ， p4 （－ 2， -ｊ 4） ，没有零点 分离点坐标计算如下：1 1 d d 41 d 2. j 41 0d 2. − j 4即 (2d 2 8d 20)(2d 4) 0 解方程的 d −2 ， d 2 −2 j2.45 ， d 3 −2 − j2.45取分离点为 d1 −2 ， d 2 −2 j2.45 ， d 3 −2 − j2.45起始角： m n i (2k 1) ∑ϕ z j pi − ∑ pi pi k 0,1,2,L j 1 j 1 ( j ≠i ) p1 1800 p2 −900 903 p4 00根轨迹如图所示。